Parabol İle İlgili İki Güzel Soru

“Parabol’ün Kareleştirilmesi” adlı yazımı bitirdikten sonra Paul LOCKHART’ın tübitak yayınlarından çıkan “ÖLÇÜM – Gerçeklik ve Hayal Gücü” kitabı elime geçti.

Şöyle kabaca karıştırırken son zamanlarda üzerine yoğunlaşmış olduğum şekli görünce duraksamak durumunda kaldım. İlgili bölümü hızlıca okuduktan sonra iki tane çözümü verilmemiş problem vardı. Birisini hemen çözebildim diğeri içinse bir iki gün kafa yormak durumunda kaldım.

Parabol
Problem 1: Parabolik bir kesitin (mavi bölge) bu kutunun tam olarak üçte ikisini doldurduğunu gösteriniz.
Parabol
Problem 2: Parabolik bir sektörün (gri) alanı neden parabolik dikdörtgenin (turuncu) alanının yarısına eşittir?

Bu soruların çözümünde Arşimet’in de kullanmış olduğu tüketme yöntemini kullandım. Çözüm ne kadar Arşimet’inkine benzer bilemiyorum. Ama olur da onun çözümünü bulursam onu da sizlerle paylaşırım. Bu yazıyı okuyanlar arasında bu çözümü bilenler varsa ve bizlerle bunu paylaşırlarsa çok seviniriz.

Bu yazıyı okumadan önce “Parabolün Kareleştirilmesi” https://www.matematiksel.org/parabolun-karelestirilmesi/ adlı yazıyı okumanızı öneririz. Çünkü buradaki problemlerin çözümünde bazı kabullerle işe başlanıyor. Bunların nereden geldiği ise bahsi edilen yazıda mevcuttur.

Problem 1:

Bir önceki yazımızda elde ettiğimiz sonuçtan (Bir parabol kesiminin alanı, içine çizilebilecek en büyük alanlı üçgenin alanının 4/3 katıdır.) hareketle bu soruyu rahatlıkla çözebiliriz.

DEC üçgeninin alanına 3S dersek şekildeki parabol kesiminin alanı 4S olacaktır. Ayrıca DEC üçgeninin alanı, kendisiyle aynı taban ve aynı yüksekliğe sahip ABCD dikdörtgeninin alanının da yarısına eşittir. Dolayısıyla ABCD dikdörtgeninin alanı da 6S olur. Problemimize dönersek Parabol kesiminin alanı ABCD dikdörtgeninin alanının 4/6 sını yani üçte ikisini doldurmuş olur.

Problem 2:

Parabol

F odaklı AH doğrultmana sahip parabol yukarıda resmedilmiştir. C ve D noktalarında parabole teğetler çizilerek DGC Arşimet üçgeni oluşturulmuştur. Yine bir önceki yazımızdan elde ettiğimiz sonuçlara göre şekle dikkatlice bakıldığında 2S, S ve 3S (|DG|=|GK| olduğundan DGC üçgeninin alanı CGK üçgeninin alanına eşit olacaktır.) bulundukları bölgelerin alanlarını göstermektedir.

CDF üçgeninin alanına A dersek ABKD dikdörtgeninin alanı 2A olacaktır. (Taban uzunlukları aynı ve bu tabanlara ait yükseklikleri aynı olan üçgen ve dikdörtgen alan ilişkisi)

Bu iki sonucu birleştirerek FDC parabolik sektörünün alanı A+2S iken ABCD parabolik dikdörtgeninin alanı 2A+4S dir. Yani FDC parabolik sektörünün alanı ABCD parabolik dikdörtgenin alanının yarısına eşittir.

Aynı sorudan hareketle FCE parabolik sektörünün alanı da BHEC parabolik dikdörtgeninin alanının yarısına eşittir. Bunu nasıl gösterebiliriz? Yine başa dönerek FDC parabolik sektörünün alanı ABCD parabolik dikdörtgeninin alanının yarısına eşitti. Aynı mantıkla FDE parabolik sektörünün alanı da AHED parabolik dikdörtgeninin alanının yarısına eşit olacaktır. O halde kalan kısımlar olan FCE parabolik sektörünün alanı da BHEC parabolik dikdörtgeninin alanının yarısına eşit çıkacaktır.

Kaynakça: Ölçüm – Gerçeklik ve Hayal Gücü, Paul LOCKHART, Tübitak yayınları

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu
Kapalı