Matematiğin gerçekten ne olduğunu Öklid’in Elementler isimli eserinin ilk iki cildini yazarak, okuduğumda anladım. Öklid bu on üç ciltlik eserinin her bir cildine (gerekiyorsa) bazı tanımlar ve postulatlarla başlıyor. Nihayetinde kendi hedeflediği yere gitme yolunda problemler ortaya atıyor. Bu problemleri (bazıları çizim, bazıları teorem vs. ) tek tek elindeki tanım ve postulatları ve bir önceki çözdüğü problemleri dayanak göstererek çözüme kavuşturup, ilerliyor. Bu şekilde tüm ciltleri bitiriyor. İlk cildiyle ilgili birkaç şey söylemek gerekirse; 23 tanım, 5 postulat ve 5 aksiyomla başlayan bu cildin ilk problemi eşkenar üçgen çizimidir. Cildin sonunda ise Pisagor teoreminin ispatı yer almakta. Son cildinde de Platonik cisimlerin çizimlerine yer vermiştir.
Geniş çerçevede bakarsak ilk problem olarak eşkenar üçgen çizimini seçmesi hiç de boşa değildir. Çünkü platonik cisimlere baktığımızda bunlar, her yüzü eşkenar üçgen olan dört yüzlü, sekiz yüzlü, yirmi yüzlü ve yüzleri kareler olan küp, bir de yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan oniki yüzlü. Bu eserin farkına ve de zevkine varır varmaz ilk aklıma gelen bunu öğrencilerimle de kesinlikle paylaşmalıyım oldu. O gün bugündür de o anı kovalamaktayım. Bir gün kendimi öğrencilerimle beraber bu kitabı okurken bulacağıma inanıyorum. Ve o anı sabırsızlıkla bekliyorum. Gelelim bu muhteşem eserin ilk problemine…
Öklid’in Elementler Kitabındaki Eşkenar Üçgen Çizimi
[AB] uzunluğu belli olan bir doğru parçası olsun. Bizden istenen [AB] doğru parçası üzerine bir eşkenar üçgen çizmek. A merkezli [AB] yarıçaplı BCD çemberini çiz sonra B merkezli [BA] yarıçaplı ACE çemberini çiz. [Postulat 3] Sonrasında [CA] ve [CB] doğru parçalarını çiz. [Postulat 1] A noktası BCD çemberinin merkezi bu sebeple [AC] doğru parçasını uzunluğu [AB] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. B noktası da ACE çemberinin merkezi bu sebeple [BC] doğru parçasının uzunluğu da [BA] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. [Tanım 15] [AC] doğru parçasının uzunluğunun [AB] ye eşit olduğunu göstermiştik.O halde [AC] ve [BC] doğru parçalarının uzunlukları [AB] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. Aynı şeye eşit olan iki şey birbirine eşittir. Bundan dolayı [AC] doğru parçasının uzunluğu da [BC] doğru parçasının uzunluğuna eşittir. [Aksiyom 1]. O halde [AC], [BC] ve [AB] doğru parçalarının uzunlukları birbirine eşittir. Bu yüzden ABC üçgeni eşkenar üçgendir ve bu üçgen [AB] doğru parçası üzerine çizilmiştir. [Tanım 20] Q.E.F.
Eşkenar Üçgen Çizelim
En sonda yer alan Q.E.F. ibaresi de latince quod erat faciendum kelimelerinin baş harflerinden meydana gelmektedir. Bu da “yapılması gereken de budur” anlamındadır. Şimdi adım adım biz de onun izinden gidelim. Bunun için elimizde kağıt ve kalemden başka cetvel ve pergel olacak. Mesela cetvelin üzerinde herhangi bir çentik olmasın. Yani dümdüz bir tahta parçası olsun. Adına da Çizgeç diyelim. Pergel ise bildiğimiz pergel. Sadece çember çizmek için işimize yarasın. Ancak yapabileceğimiz şeylerin sınırlı olduğunu hatırlayalım.
Herhangi bir noktadan herhangi bir noktaya bir doğru çizgi çizmek ve her iki taraftan doğrultusunu bozmadan kesiksiz bir şekilde sınırsızca uzatmak mümkün. Bir nokta etrafında istenen yarıçap uzunluğunda bir çember çizmek de mümkün. Ve herhangi bir zamanda herhangi bir yerde çizilen dik açıların hepsi birbirine eşit. Ve eğer herhangi iki doğruyu kesen bir doğru çizildiğinde aynı tarafta olan iç açılar iki dik açıdan küçük yaparsa bu iki doğru uzatıldığında açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişecektir.
1. Kalemimizle, cetvel yardımıyla dünyamızın herhangi bir yerine uzunluğu fark etmeksizin iki ucu sınırlı düz bir çizgi (doğru parçası) çizelim. Sonra pergelimizin iğneli ucunu çizginin başlangıç noktasına diğer ucunu çizginin sonuna koyup bir çember çizelim. Ve aynısını tersten de yapalım. Yani pergelin iğnesini çizginin sonuna batırıp, diğer ucunu başlangıç noktasına getirelim ve çemberi çizelim.
2- A merkezli c yarıçaplı soldaki çembere ait b ve c uzunlukları birbirine eşittir. Aynı şekilde B merkezli c yarıçaplı sağdaki çembere ait a ve c uzunlukları da birbirine eşittir. Aynı şeye eşit olan şeyler birbirine de eşittir. Buradan a, b ve c uzunluklarının üçünün de birbirine eşit olduğunu söyleriz. Karşımıza üç kenarı da birbirine eşit olan üç kenarlı ya da meşhur adıyla eşkenar üçgen çıktı.
Yolculuğumuzun ilk adımını böylece atmış olduk. Şimdi ikinci adıma geçelim. Elimizdeki araçlarla verilen bir doğru parçasını istediğimiz yere taşıyabilir miyiz?
Bir Doğru Parçasının Taşınması
Şu ana kadar dünyamızda düz çizgi, çember bir de eşkenar üçgen çizmeyi biliyoruz. [AB] doğru parçasını C noktasına taşımak istiyoruz. Madem eşkenar üçgen çizmeyi biliyoruz. C ve A noktalarını birleştirip eşkenar üçgeni kuralım. Sonrasında da [DA] doğru parçasını A yönünde uzatıp, A merkezli [AB] yarıçaplı çemberi çizip bu doğruyu kestiği noktayı işaretleyelim.
[AB] doğru parçasını C noktasına taşımak istiyoruz. Madem eşkenar üçgen çizmeyi biliyoruz. C ve A noktalarını birleştirip eşkenar üçgeni kuralım. Sonrasında da [DA] doğru parçasını A yönünde uzatıp, A merkezli [AB] yarıçaplı çemberi çizip bu doğruyu kestiği noktayı işaretleyelim.
[DC] doğru parçasını C yönünde uzatalım, D merkezli [DE] yarıçaplı çember çizip doğruyu kestiği noktayı işaretleyelim.
Şekle dikkatlice bakıldığında |AB|=|AE| ayrıca |DE|=|DF| ve |DA|=|DC| olduğundan |AB|=|CF| olur. Böylece [AB] doğru parçasını C noktasına taşımış olduk. “İki farklı doğru parçası verildiğinde büyük olandan küçüğe eşit olan kısmı ayırmak. ” Sıradaki görevimiz bu. Bazen bunları neden yapıyoruz diyebilirsiniz. Nasıl ki bir doğru parçasını taşımak için eşkenar üçgene ihtiyaç duyduk ileride yapacağımız başka şeylerde de şu an neden yapıyoruz dediğimiz şeyleri kullanacağız.
Bir önceki bölümde yaptıklarımızı sırasıyla yapıp, k doğru parçasını A noktasına taşıyalım. [AF] doğru parçası verilen k doğru parçasına eş olsun. Sonrasında A merkezli [AF] yarıçaplı çember [AB] doğru parçasını E noktasında kessin. |AF|=|AE| olduğundan, k ye eşit olan [AE] doğru parçası [AB] doğru parçasından ayrılmış oldu. Öklid’in elementler kitabındaki sorgulama mantığı ile devam edelim. Şimdi ki sorumuz şu: Karşılıklı kenar uzunlukları ve aralarındaki açıları aynı olan iki farklı üçgen gerçekten farklı mıdır?
Üçgenlerin Eşliği
Verilen üçgenlere bakıldığında b kenarı e kenarına, a kenarı d kenarına ve ACB açısı DFE açısına eşit olsun. Bu iki üçgeni üst üste koyduğumuzda birebir örtüşür mü?
C noktasını F ile üst üste getirelim A noktası ile de D üst üste gelsin. b kenarı e kenarına eşit olduğu için bu sağlanacaktır. a açısı ile b açısı da birbirine eşit olduğundan ve a kenarı d kenarına eşit olduğundan B ile E noktası da çakışacaktır. Peki bu durumda sorulacak soru şudur? AB kenarı DE kenarı ile çakışır mı? Başlangıç ve bitiş noktaları aynı olan iki doğru çakışmak zorundadır. Çünkü iki noktadan yalnız bir doğru geçer. O halde bu iki üçgen eş üçgenlerdir ve kalan diğer açılar da birbirine eşit olmak zorundadır.
İkizkenar Üçgenin Tanımı
Aşağıdaki ikizkenar üçgende a kenarı b kenarına eşit olsun. Bizim amacımız A açısının B açısına eşit olduğunu göstermek. CA doğrultusunda bir E noktası alınsın. |CE|=|CF| olacak şekilde CB doğrultusunda bir F noktası alınsın. Bunun nasıl yapılması gerektiğini önceki bölümlerden biliyoruz.
Aşağıdaki şekilde ECB üçgeni ile FCA üçgenleri eştir. Bir önceki bölümde ayrıntılı izah edilmişti. Çünkü |CE|=|CF| ,|AC|=|CB| ve C açısı ikisi için de ortak olduğundan bu iki üçgen eştir. Dolayısıyla AF kenarı da EB kenarına eşit olmak zorundadır. Ayrıca kalan diğer açılar da CEB açısı CFA açısına eşittir. |CE|=|CF| ve |AC|=|BC| olduğundan |AE|=|BF| olmak zorundadır. Eşit şeylerden eşit şeyler ayrılırsa kalanlar eşittir.
Şimdi AEB üçgeni ile BFA üçgenleri de eştir. Buradan işimize yarayan kısımları alalım. EAB açsısı FBA açısına, ABE açısı da BAF açısına eşittir. CAF açısının CBE açısına eşit olduğunu iki üçgenin eşliğinden biliyoruz. Eşit şeylerden eşit şeyler ayrılırsa kalanlar eşittir. gereğince CAB açısı da CBA açısına eşittir. Ayrıca EAB açısının FBA açısına eşit olduğunu da söyleyebiliriz.
Çakışan Üçgenler
Şu ana kadar 5 önerme verdik. 6. önermeyi vermeyeceğiz. Bunun sebebi hedefimizin Pisagor teoremi olmasıdır. Bu yolculukta 6. önerme bize fayda sağlamayacağından onu serüvenimize dahil etmedik. Şimdiki önermemiz şu. Bir doğru parçasının iki ucundan aynı tarafa doğru iki doğru çizildiğinde bir noktada kesişiyorlarsa, bu doğruların çıktığı noktalardan çıkan, onlara eşit olan ve onların uzatıldığı tarafa uzatılıp da başka bir noktada kesişen başka iki doğru yoktur. Farklı bir şekilde yorumlarsak; Aynı tabana ve aynı kenar uzunluklarına sahip iki üçgen tabanları üst üste oturtulduğunda tepe noktaları çakışır mı?
|AC|=|AD| durumunda ACD açısı ADC açısına, |BC|=|BD| durumunda da BCD açısı BDC açısına eşit olur. (Bölüm 5) O halde ACD açısı BCD açısından büyüktür. ACD açısına eşit olan ADC açısı da BCD açısından büyük olmalı. Halbuki ADC açısından daha büyük olan BDC açısının BCD açısına eşit olduğunu biliyoruz. O zaman burada bir saçmalık ortaya çıkmaktadır. Bu yüzden C ve D noktalarının çakışık olmaması bizi bir çıkmaza götürdüğünden C ve D noktaları üst üste olmalı.
İki Üçgenin Kenarları Eşitse Açıları Eş midir?
Bir sonraki önermemiz ise bize şunu söyler. İki farklı üçgenin karşılıklı kenarları birbirine eşitse bu iki üçgenin karşılıklı açıları da birbirine eşit olur.
|AC|=|DF|, |AB|=|DE| ve |CB|=|FE| olsun. ACB açısı DFE açısına eşit olmak zorundadır. Keza diğer açılar için de aynısı geçerlidir. ABC üçgenini DFE üçgeninin üstüne AB ve DE kenarları çakışacak şekilde koyduğumuzda sağ tarafta görüldüğü gibi bir şekil oluşmaz bunu bir önceki bölümde görmüştük. Şunu biliyoruz ki F ve G noktaları çakışırlar. Dolayısıyla ACB açısı DFE açısına CAB açısı FDE açısına ve CBA açısı da FED açısına eşit olmak durumunda kalacaklardır.
Öklid Postulatları İçinde Pisagor Teoremini Aramak
Gerçekten uğraşıldığında ve de kafa yorulduğunda Öklid Postulatları içinde Pisagor teoremini görebilmek mümkündür. Aşağıdaki diyagramda Euclid’in vermiş olduğu bu beş postulattan hareketle Pisagor teoreminin elde edilişi gösterilmektedir. Kutu içindeki numaralar Öklid Elementler adlı kitabı ilk cildindeki önermeleri ifade etmektedir. Bu önermelerin bazıları teorem (siyah) bazıları da çizim (kırmızı)dir.
- Herhangi bir noktadan başka herhangi bir noktaya bir doğru çizilebilir.
- Bir doğru istenildiği kadar yine bir doğru olacak şekilde uzatılabilir.
- Herhangi bir merkez ve bir uzunluk verildiğinde bir çember çizilebilir.
- Bütün dik açılar birbirine eşittir.
- Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde bu doğrunun aynı tarafındaki iç açılar iki dik açıdan küçükse, bu iki doğru o yönde uzatıldıklarında kesişir.
Mesela 5. önerme; 3 ve 4 nolu önermeler; 26. önerme 16, 3 ve 4 nolu önermeler kullanılarak ispatlanmıştır. Her bir önerme kendinden önceki önermeler yardımıyla ispatlanıp bu şekilde devam edildiğinde 47 nolu önermenin (Pisagor Teoremi) ispat edildiği görülmektedir. Her bir önermenin kendinden önceki önermeler yardımıyla ispatlanması sonsuz bir geriye gidişi gerektirmektedir. Bunun önüne geçmek için de bir yerde bu geriye gidişi durdurup orada ilk kabullerle işe başlanmalıdır. Bunlara da postulat, aksiyom denir. Biraz dikkatle bakıldığında bu diyagram bize matematiğin ne olduğunu da söylemektedir.
Öklid Postulatları
Diyagramda yer alan önermeler aşağıda verilmiştir. Bu önermelerle beraber diyagramdaki okları takip ederek pisagor teoremine ulaşmayı deneyiniz. Eminim güzel bir tecrübe olacaktır. Salt önermelerden hareketle bu yolculuk çok kolay olmayacaktır.
- 1. Verilen bir doğru parçası üzerine eşkenar bir üçgen çizmenin yolu.
- 2. Verilen bir noktadan başlamak üzere, verilen bir doğruya eşit bir doğru parçası çizmenin yolu.
- 3. Farklı uzunlukta iki doğru verildiğinde uzun olandan kısa olana eşit bir doğru çıkarmanın yolu.
- 4. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları ve bu eşit kenarlar arasındaki açıları birbirlerine eşitse, üçüncü kenarları da birbirine eşit olur; üçgenler bu durumda eşittir ve kalan açılar da birbirine eşittir, yani eşit kenarların karşılarındaki açılar birbirlerine eşit olur.
- 5. İkizkenar üçgenlerde taban açıları birbirine eşittir, ve eğer eşit olan kenarlar uzatılırsa tabanın altında kalan açılar da birbirine eşit olacaktır.
- 7. Bir doğru parçasının iki ucundan aynı tarafa doğru iki doğru çizildiğinde bir noktada kesişiyorlarsa, bu doğruların çıktığı noktalardan çıkan, onlara eşit olun ve onların uzatıldığı tarafa uzatılıp da başka bir noktada kesişen başka iki doğru yoktur.
- 8. Eğer iki üçgenin karşılıklı iki kenarları birbirlerine eşitse ve üstelik tabanları da birbirine eşitse, o zaman bu üçgenlerin eşit kenarlar arasında kalan açıları da eşittir.
- 9. Bir düzkenarlı bir açıyı ikiye bölmenin yolu.
- 10. Verilen bir sonlu doğruyu ikiye bölmenin yolu.
- 11. Bir doğruya üzerinde verilen bir noktadan dik bir doğru çizmenin yolu.
- 13. Bir doğruya çizilen başka bir doğru eğer açı oluşturuyorsa ya iki dik açı oluşturur ya da iki dik açıya eşit açılar oluşturur.
- 14. Eğer bir doğru parçasının üzerindeki bir noktadan, bu doğru parçasının aynı tarafında olmayacak şekilde çizilen iki doğrunun bu doğru parçasıyla oluşturdukları açılar iki dik açı ediyorsa, bu iki doğru aynı doğru üzerindedir.
- 15. Kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters köşe açıları eşittir.
- 16. Bir üçgenin bir kenarı uzatıldığında oluşan dış açı karşı iç açıların ikisinden de büyüktür.
- 18. Bir üçgende daha büyük kenar daha büyük açıyı görür.
- 19. Bir üçgende daha büyük açı daha büyük kenarı görür.
- 20. Bir üçgende herhangi iki kenar birlikte diğer kenardan büyüktür.
- 22. Kenarları, verilen üç doğru parçasına eşit olan bir üçgen çizmenin yolu.
- 23. Bir doğru üzerinde ve üzerindeki bir noktadan verilen bir düzkenar açıya eşit bir düzkenar açı çizmenin yolu.
- 26. Karşılıklı ikişer açıları aynı olan üçgenlerde eğer bu açılar arasında kalan kenarlar eşitse, ya da bu eşit açılardan birini gören kenar diğer üçgendeki eşit açılardan birini gören kenara eşitse, bu üçgenlerde diğer kenarlar da eşit olur ve birinin kalan açısı öbürünün kalan açısına eşit olur.
- 27. Eğer bir doğru, iki doğruyu kestiğinde oluşan ters iç açılar eşitse, o iki doğru paraleldir.
- 31. Verilen bir noktadan verilen bir doğruya paralel bir doğru çizmenin yolu.
- 34. Bir paralelkenarda karşılıklı kenarlar ve açılar eşittir, ve paralelkenarın köşegeni alanını ikiye böler.
- 35. Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan paralelkenarlar birbirine eşittir.
- 37. Aynı taban üzerinde ve aynı paraleller arasında olan üçgenler birbirine eşittir.
- 41. Eğer bir paralelkenar bir üçgenle aynı tabana sahipse ve üçgenle aynı paraleller arasındaysa paralelkenar üçgenin iki katıdır.
- 46. Bir doğru parçası üzerine bir kare çizmenin yolu.
- 47. Dik açılı üçgenlerde dik açıyı gören kenar üzerindeki kare, dik açıyı içeren kenarlar üzerindeki karelere eşittir.
Kaynakça:
- Öklid’in Elemanlar Eseri (Çev. Ali Sinan SERTÖZ)
- Yıldırım C., Matematiksel Düşünme, Remzi Kitabevi (2004)
Matematiksel
