Neden Bazı İrrasyonel Sayılar Diğerlerinden Daha İrrasyoneldir?

Pi (π) ve 2’nin karekökü (√2) gibi irrasyonel sayılar, matematiğin en ilginç kavramları arasında yer alır. Bu sayıların ortak özelliği, ondalık gösterimlerinin sonsuza kadar sürmesi ve hiçbir düzenli tekrar içermemesidir. Üstelik yalnızca soyut matematikte değil, çemberin çevresini ya da karenin köşegenini hesaplamak gibi en temel geometrik problemlerde de karşımıza çıkarlar.

Matematikçiler binlerce yıldır bu sayıların özelliklerini anlamaya çalışıyor. Buna rağmen irrasyonel sayıların davranışıyla ilgili birçok temel soru hâlâ yanıt bekliyor. Bu sorulardan biri, bir irrasyonel sayıya kesirlerle ne kadar yaklaşabileceğimizdir..

Bir kesir, irrasyonel bir sayıya ne kadar yaklaşabilir?

İlk bakışta irrasyonel bir sayıyı tam olarak bir kesirle yazmak mümkün değildir. Ancak ona çok yakın değerler veren kesirler bulmamız mümkündür.

Örneğin π sayısını günlük hesaplamalarda çoğu zaman 22/7 ya da daha hassas bir sonuç gerektiğinde 355/113 kesriyle yaklaşık olarak ifade ederiz. Bu kesirlerin hiçbiri π’ye tam olarak eşit değildir, ancak oldukça yakındırlar.

Bu durumda, en iyi yaklaşımı sağlayan kesirler nasıl bulunur? Bin yıldan daha uzun süre önce Antik Yunan matematikçisi İskenderiyeli Diophantus da bu soruyu sormuştu. İrrasyonel sayıdan mümkün olduğunca az farklı olan en küçük kesri bulup bulamayacağını merak etti. Basit görünen bu soru, matematik araştırmalarını bugün bile etkilemeye devam ediyor.

Alman matematikçi Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 19. yüzyılda Diophantus’un sorusunu ele aldı. Dirichlet bu konuda önemli bir sonuç elde etti ve her irrasyonel sayı için ona oldukça iyi yaklaşan sonsuz sayıda kesir bulunduğunu kanıtladı. Bunu şu eşitsizlikle ifade etti:​​

Burada α irrasyonel sayıyı, p/q ise ona yaklaşan kesri gösterir. Formül ilk bakışta karmaşık gibi gelse de aslında söylediği şey oldukça basittir.

Kesrin paydası (q) büyüdükçe, doğru kesir seçildiğinde hata payı hızla azalır. Başka bir ifadeyle, büyük paydalı kesirler irrasyonel sayıları daha hassas biçimde yaklaşık olarak verir. Örneğin 355/113 kesrinin π’ye, 22/7‘den çok daha yakın olmasının nedeni de budur.

Neden altın oran en irrasyonel sayıdır?

Dirichlet’in sonucu yeni bir soruyu gündeme getirdi. Acaba bütün irrasyonel sayıları kesirlerle aynı kolaylıkta yaklaşık olarak ifade etmek olası mıdır? Kısa süre sonra cevabın hayır olduğu anlaşılacaktı.

Bazı irrasyonel sayılar görece küçük paydalı kesirlerle bile oldukça doğru biçimde yaklaşık olarak ifade edilir. Ancak bazıları içinse aynı doğruluğa ulaşmak amacıyla çok daha büyük paydalara ihtiyaç vardır.

Bir sayıya yaklaşmak ne kadar zorsa, o sayı bu ölçüte göre o kadar irrasyoneldir. Bu açıdan bakıldığında aşağıda açılımını gördüğünüz altın oran yaklaşılması en zor sayılardan biridir. Bu nedenle matematikçiler onu çoğu zaman “en irrasyonel sayı” olarak tanımlar.

İrrasyonelliğin ölçüsü olarak Lagrange sayıları

Dirichlet’in sonucu önemliydi, ama matematikçiler bununla yetinmedi. Hata payını daha da küçültmenin mümkün olup olmadığını sordular. 1891’de Adolf Hurwitz bu konuda güçlü bir sonuç buldu:

Ancak bu sefer de dikkat çekici bir sınır ortaya çıktı. Altın oran bu sonucu daha fazla iyileştirmeye izin vermiyordu. Yani formüldeki √5 sabiti büyütülürse, eşitsizlik artık her irrasyonel sayı için geçerli olmuyordu.​

Altın oran genel sonucu engelliyorsa, onu dışarıda bırakalım. Geriye kalan irrasyonel sayılar için daha iyi bir sınır bulmamız mümkün müdür? Bu fikir 19. yüzyılın sonlarında matematikçi Andrey Markov’un aklına geldi. Üstelik yanı da olumluydu.

Altın oranla bağlantılı sayılar dışarıda bırakıldığında, hata payı için daha farklı bir sınıra ulaşıldı. Ancak bu kez sorun çıkaran sayı √2 oldu. Önceki eşitsizlikte altın oranın yaptığı gibi, α = √2 seçildiğinde daha iyi bir yaklaşım elde etmek mümkün olmuyordu.

Bunun üzerine Markov, √2’yi de kapsam dışı bıraktı. Böylece eşitsizliği bir kez daha iyileştirdi. Fakat süreç yine aynı şekilde ilerledi. Her iyileştirmede başka bir irrasyonel sayı sınır oluşturdu.

Bu çalışmalar sonucunda, eşitsizliğin sağ tarafındaki paydada yer alan sabitlerden oluşan bir dizi ortaya çıktı. İlk sabit Hurwitz’in bulduğu √5 idi. Ardından Markov’un ilk sonucundaki 2√2, sonra √(221/5) ve diğerleri geldi.

Bu tekrar eden süreç sonunda bir sabitler dizisi ortaya çıktı: Bu sabitlere Lagrange sayıları denir. Sayılar kuramında Lagrange sayıları, bir irrasyonel sayının kesirlerle ne kadar iyi yaklaşık olarak ifade edilebildiğini gösteren bir ölçü olarak kullanılır. Lagrange sayısı ne kadar küçükse, sayı o kadar “irrasyoneldir”; yani kesirlerle yaklaşılması o kadar zordur. Ancak konu burada bitmez.

Lagrange sayılarının da bir sınırı vardır.

Markov, bu Lagrange sayılarının √5 ile 3 arasında sonsuz sayıda değer aldığını gösterdi. Ancak bu değerler kesintisiz bir çizgi oluşturmaz. Başta tek tek noktalar hâlinde görünürler. Örneğin √5, 2√2 ve √(221/5) bu ayrık değerlerden bazılarıdır.

Sonra 3 değerinden itibaren yapı değişir. Lagrange sayıları artık daha karmaşık bir düzene geçer. Aralarında boşluklar bulunan, çok sayıda kesintisiz parçadan oluşan fraktal benzeri bir yapı ortaya çıkar.

Matematikçiler bu yapının genel özelliklerini biliyor. Ancak bütün boşlukların tam olarak nerede olduğunu ve hangi aralıklarda hiç Lagrange sayısı bulunmadığını hâlâ tam olarak bilmiyorlar. Üstelik bu fraktal yapı sonsuza kadar sürmez. Freiman sabiti (F) adı verilen bir noktada sona erer.

Gregory Freiman, 1968’de şunu kanıtladı: F değerine eşit ya da ondan büyük her gerçek sayı, Lagrange tayfında yer alır. Yani F’den sonra tayfta boşluk kalmaz. Bu noktadan itibaren Lagrange değerleri kesintisiz bir aralık oluşturur.

Bu sonuçlar yeni soruları da beraberinde getiriyor. Lagrange tayfı neden üç farklı bölümden oluşuyor? İlk bölümde neden yalnızca ayrık değerler yer alırken, ardından fraktal bir yapı ortaya çıkıyor ve sonunda tayf neden kesintisiz bir aralığa dönüşüyor? Bu üç bölüme karşılık gelen irrasyonel sayıların ortak özellikleri neler?

Freiman sabiti de benzer şekilde gizemini koruyor. Pi ya da Euler sayısı e gibi birçok matematiksel sabitin aksine, bu değer şimdiye kadar başka bir matematiksel bağlamda ortaya çıkmadı. Neden tam olarak bu sayı ortaya çıkıyor ve onu belirleyen temel özellikler neler? Matematikçiler bu sorulara henüz kesin bir yanıt verebilmiş değil.

Bir başka bilinmeyen de Freiman sabitine karşılık gelen irrasyonel sayı. Freiman, sonucunu belirli bir irrasyonel sayının Lagrange değerini hesaplayarak değil, sayı kuramına dayanan genel bir ispatla elde etti. Bu nedenle bu sınırın hangi irrasyonel sayıyla ilişkilendirileceği hâlâ açık bir problem olarak kabul ediliyor.

Sonuç Olarak

Diophantus’un bu soruyu ortaya atmasından bu yana geçen yaklaşık 1.700 yılda matematikçiler önemli ilerlemeler kaydetti. Yine de irrasyonel sayıların doğası ve kesirlerle ne kadar iyi yaklaşık olarak ifade edilebilecekleri konusunda cevaplanmayı bekleyen pek çok soru var.

Kaynaklar ve ileri okumalar için

• Manon Bischoff, “Why some irrational numbers are more irrational than others“, Scientific American, 19 Haziran 2026
• Ellenberg, J. (2021). The Golden Ratio Is Not What You Think It Is. Slate, 28 Haziran 2021.
• Moreira, Carlos. (2000). Geometric properties of the Markov and Lagrange spectra. Annals of Mathematics. 188. 10.4007/annals.2018.188.1.3.

Matematiksel