Geometri

Mozaiklerin Ardındaki Matematik

Odanızın duvarına asılı duran Escher posterinin matematikle sandığınızdan daha fazla bağlantısı var. Escher’in çizimleri, şekillerin üst üste binmemesi ve aralarında boşluk kalmaması için iki boyutlu bir düzlemin geometrik şekillerle kaplanması anlamına gelen tessellation diğer bir değişle mozaikleme örnekleridir.

Sadece üç tane düzgün çokgen ile bir alanı herhangi bir yeri açıkta bırakmadan kaplamak ya da teknik ifadesiyle, mozaik döşeyebilmek mümkündür. Bunlar eşkenar üçgen, kare ve altıgendir. Ancak Escher’in çizimlerinin de kanıtladığı gibi, bu şekillerin üçgen veya kare olması gerekmez; ayrıca kuşlar, melekler, balıklar veya damlalar gibi şeylerle de bir düzlemi kaplayabilirsiniz.

Aslında, bir yapboz bulmacayı da bir tür mozaik ile kaplama örneği olarak düşünebilirsiniz. Parçalar bu bulmacada da üst üste binme ve boşluk olmadan tamamen doldurmak için birbirine uyum sağlamaktadır. Ancak mozaikler yalnızca Escher posterlerinde veya bulmacalarda bulunmaz.

İspanya’da bulunan Alhambra sarayının karmaşık duvar süslemelerinde, bir bal peteğindeki altı kenarlı hücrelerde, antik Roma binalarındaki duvarları ve zeminleri kaplayan geometrik desenlerde, yorganlardaki şekillerde, mozaikler her yerdedir.

Mozaiklerin Şekilleri

Zaman içinde yapılan çalışmalar sonucunda matematikçiler mozaiklerin belirli şekillerde meydana geldiğini keşfetmişlerdir. Bazı mozaikler periyodiktir, kalıplar tekrar eder ve bazıları periyodik değildir ve bunların içinde tekrar eden kalıp yoktur. Periyodik kaplamalar, sadece çokgensel bölgelerden biriyle yalnız öteleme dönüşümü kullanılarak düzlemde boşluk kalmayacak ve çakışmayacak şekilde düzlemin örtülmesidir. Yürürken basıp geçtiğimiz kaldırımlar buna en basit verilecek örnektir. Kısacası periyodik kaplamalarda aynı şekil tekrar eder durur. Bu nedenle düzlemi doldurmak oldukça kolaydır.

Periyodik olmayan yani belirli düzende tekrar etmeyen şekillerle bir zeminin kaplaması mümkün müdür?

Bu soru ilk defa 1961 yılında filozof ve matematikçi Hao Wang tarafından soruldu. Bundan birkaç yıl sonra Robert Berger yaklaşık 20.000 parça kullanarak aperiyodik bir mozaik oluşturmayı başardı ve ilerleyen yıllarda daha az sayıda parça kullanılarak aperiyodik mozaikler yapıldı.

Penrose Karoları
Roger Penrose’un altı farklı parça kullanarak oluşturduğu mozaikte aslında dört farklı şekil var. Ancak mozaikteki farklı renklendirilmiş üç adet beşgen şekil farklı parçalar olarak kabul ediliyor. İlk bakışta desenler tekrar ediyormuş gibi görünse de daha yakından bakıldığında desenlerin tam olarak aynı şekilde tekrar etmediği fark edilebilir. Roger Penrose daha sonra iki farklı şekle sahip parçalar kullanarak aperiyodik mozaikler oluşturmayı başardı.

Daha sonra Roger Penrose ok ve uçurtmasıyla ortaya çıktı. 1970
yılında bir evrenbilimci olan Penrose periyodik olmayan birkaç parça geliştirerek matematik dünyasını heyecana boğdu. Bir eşkenar dörtgeni, adlarına ok ve uçurtma dediği iki farklı şekil elde edilecek biçimde ikiye böldü.

Herhangi dört kenarlı şekil ile periyodik mozaik işi yapılabileceği için, Penrose’un yapması gereken bu şekillerin bir araya gelerek oluşturdukları desenleri periyodik olmasını kısıtlaya­cak bir biçimde nasıl birleşebileceğine dair bir kural formüle etmekti. Bunu her uçurtma ve okun üzerine bir yay çizerek ve yayların daima benzerleriyle birleştirilmesini şart koşarak yaptı.

Penrose Karoları
Penrose mozaiğinde uçurtma ve ok adı verilen parçalar (parçalar birleştirildiğinde iç açıları 72°-108° olan bir eşkenar dörtgen elde ediliyor) bir araya getirilerek aperiyodik mozaik desenleri oluşturmak mümkün. Roger Penrose’un diğer bir aperiyodik mozaiğinde iç açıları 72°-108° ve 36°-144° olan eşkenar dörtgen şekilde iki farklı parça kullanılıyor.

Penrose mozaiğini oluşturan parçalar kullanılarak periyodik olan yani belli aralıklarla düzenli olarak tekrar eden mozaikler oluşturulabilir. İki farklı şekildeki parçalar kullanılarak oluşturulan Penrose mozaiklerinin dikkat çekici  bir özelliği ise, mozaiklerin kapladığı alan genişledikçe kullanılan parçaların sayılarının oranının, altın oran olarak bilinen 1,618 sayısına yaklaşması.

Müslüman geometriciler, mozaik işlerinde
periyodik olmayan parçaları anlamış olabilirler.

2007 yılında Harvard Üniversitesi’nden araştırmacılar Özbekistan, Afganistan, İran, Irak ve Türkiye’deki mozaikler üzerine yaptıkları çalışmalar sonucunda, zanaatkarların ‘batıdan beş yüz sene önce neredeyse mükemmel Penrose Kristalimsileri’ kullandıklarını gösterdiğini ileri sürdüler. Dolayısıyla Müslüman matematikçilerinin, bilim tarihçilerinin düşündüğünden daha ileri bir matematik kullanmış olması mümkün gözükmektedir. İsterseniz daha detaylı bilgiyi buradan da edinebilirsiniz: https://www.matematiksel.org/orta-cag-islam-sanatindaki-sasirtici-geometri/

Periyodik olmayan parçaların birleştirilebilmesi matematik için heyecan verici bir kırılma noktasıydı ancak daha sonra fizik ve kimyada olacağı kadar heyecan verici değildi.

1980’li yıllarda araştırmacılar var olduğuna inanmadıkları bir kristal keşfettiler. Bu küçük yapı periyodik olmayan bir desen ve Penrose’un iki boyutlu yapısının üç boyutlu halini sergiliyordu. Bu yapıların varlığı bi­lim insanlarının madde anlayışlarını değiştirdi, çünkü tüm kristallerin platonik katılardan çıkarılan simetrik örgüye sahip olmaları gerektiği yönündeki klasik görüşle bu durum çelişiyordu.

Penrose belki kendi parçalarını eğlence olsun diye geliştirmişti ama doğal dünya hakkında gereğinden fazla isabetliydiler. 

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.