Mozaiklerin Matematiği

Geometri geliştikçe sanat da gelişir. Hiç boşluk ya da üst üste binme olmadan duvarı hangi desen­lerle kaplayacağını belirlemek tam bir matematiksel mücadeledir ve daha önce bir banyo kaplaması yapan her kişinin bildiği bir gerçektir.

Sadece üç tane düzgün çokgen ile bir alanı herhangi bir yeri açıkta bırakmadan kaplamak ya da teknik ifadesiyle, mozaik döşeyebilmek mümkündür. Bunlar eşkenar üçgen, kare ve altıgendir.

Aslında mozaik  döşemek için üçgenin eşkenar olması gerekmemektedir. Kenarlar her­hangi bir ebatta olabilir. Herhangi bir tip üçgen kendi özdeş üçgeni ile tam ters biçimde birleşebilir ve ortaya güzel bir paralelkenar çıkartır. Sonuçta paralelkenarlar da kendileri ile özdeş olan başka paralelkenarlar ile aynı sırada birleşebilirler ve bu sıralar yan yana bir araya gelebilir. Aynı desenin sürekli bir araya geldiği bu tip mozaik işine periyodik denir.

Periyodik kaplamalar, sadece çokgensel bölgelerden biriyle yalnız öteleme dönüşümü kullanılarak düzlemde boşluk kalmayacak ve çakışmayacak şekilde düzlemin örtülmesidir. Yürürken basıp geçtiğimiz kaldırımlar buna en basit verilecek örnektir.

Kısacası periyodik kaplamalarda aynı şekil tekrar eder durur. Bu nedenle düzlemi doldurmak oldukça kolaydır. Periyodiklik, bir şekli başka bir pozisyona getirmek ve sonrasında bu şeklin, orijinal desenle mükemmel bir uyum içinde olacağını görmektir bir yerde.

Ancak sorun olan ve de bu yazının konusu olan periyodik değil aperiyodik kaplamalar. Aperiyodik kaplama; öteleme dönüşümü kullanılmadan düzlemde boşluk kalmayacak ve çakışmayacak biçimde yüzeyin çokgensel bölgeyle örtülmesidir.

Peki, periyodik olmayan yani belirli düzende tekrar etmeyen bu şekillerle bir zemin kaplamasının oluşturulması mümkün müdür?

Roger Penrose’un altı farklı parça kullanarak oluşturduğu mozaikte aslında dört farklı şekil var. Ancak mozaikteki farklı renklendirilmiş üç adet beşgen şekil farklı parçalar olarak kabul ediliyor.  Görsel kaynak: Wikipedia

Bu soru ilk defa 1961 yılında filozof ve matematikçi Hao Wang tarafından soruldu. Bundan birkaç yıl sonra Robert Berger yaklaşık 20.000 parça kullanarak aperiyodik bir mozaik oluşturmayı başardı ve ilerleyen yıllarda daha az sayıda parça kullanılarak aperiyodik mozaikler yapıldı.

Daha sonra Roger Penrose ok ve uçurtmasıyla ortaya çıktı. 1970
yılında bir evrenbilimci olan Penrose periyodik olmayan birkaç parça geliştirerek matematik dünyasını heyecana boğdu. Bir eşkenar dörtgeni, adlarına ok ve uçurtma dediği iki farklı şekil elde edilecek biçimde ikiye böldü.

Herhangi dörtkenarlı şekil ile periyodik mozaik işi yapılabileceği için, Penrose’un yapması gereken bu şekillerin
bir araya gelerek oluşturdukları desenleri periyodik olmasını kısıtlaya­cak bir biçimde nasıl birleşebileceğine dair bir kural formüle etmekti. Bunu her uçurtma ve okun üzerine bir yay çizerek ve yayların daima benzerleriyle birleştirilmesini şart koşarak yaptı.

Roger Penrose’un diğer bir aperiyodik mozaiğinde iç açıları 72°-108° ve 36°-144° olan eşkenar dörtgen şekilde iki farklı parça kullanılıyor. Görsel kaynak: Wikipedia

Penrose mozaiğini oluşturan parçalar kullanılarak periyodik olan yani belli aralıklarla düzenli olarak tekrar eden mozaikler oluşturulabilir.

İki farklı şekildeki parçalar kullanılarak oluşturulan Penrose mozaiklerinin dikkat çekici  bir özelliği ise, mozaiklerin kapladığı alan genişledikçe kullanılan parçaların sayılarının oranının, altın oran olarak bilinen 1,618 sayısına yaklaşması.

Beş yüz sene önce, Müslüman geometriciler, mozaik işlerinde
periyodik olmayan parçalan anlamış olabilirler. 2007 yılında Harvard Üniversitesi’nden Peter J. Lu Princeton Üniversitesi ‘nden Paul J. Ste­inhardt Özbekistan, Afganistan, İran, Irak ve Türkiye’deki mozaikler üzerine yaptıkları çalışmaların, zanaatkarların ‘batıdan beş yüz sene önce neredeyse mükemmel Penrose Kristalimsileri’ kullandıklarını gösterdiğini ileri sürdüler. Dolayısıyla Müslüman matematikçilerinin, bilim tarihçilerinin düşündüğünden daha ileri bir matematik kullanmış olması mümkün gözükmektedir. İsterseniz daha detaylı bilgiyi buradan da edinebilirsiniz: https://www.matematiksel.org/orta-cag-islam-sanatindaki-sasirtici-geometri/

Periyodik olmayan parçaların birleştirilebilmesi matematik için heyecan verici bir kırılma noktasıydı ancak daha sonra fizik ve kimyada olacağı kadar heyecan verici değildi. 1980’li yıllarda araştırmacılar var olduğuna inanmadıkları bir kristal keşfettiler. Bu küçük yapı periyodik olmayan bir desen sergiliyordu ve Penrose’un iki boyutlu yapısının üç boyutlu halini sergiliyordu . Bu yapıların varlığı -kristalimsiler- bi­lim insanlarının madde anlayışlarını değiştirdi, çünkü tüm kristallerin platonik katılardan çıkarılan simetrik örgüye sahip olmaları gerektiği yönündeki klasik görüşle çelişiyordu. Penrose belki kendi parçalarını eğlence olsun diye geliştirmişti ama doğal dünya hakkında gereğinden fazla isabetliydiler. 

Kaynaklar:

Dr. Tuba Sarıgül – Mozaiklerin Matematiği –  www.bilimgenc.tubitak.gov.tr 

Alex Bellos  – Alex Sayılar Diyarında

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Beatles’ın Gizemini Matematikle Çözmek

Beatles’ın tek bir notasının sırrının açıklanması 45 yıldan fazla sürmüştür. Müziğin yarattığı tınıyı matematik çözmüştür. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');