Sayılar Teorisi

Monte Carlo Metodu İle Pi Sayısına Yaklaşım

π(pi) sayısı matematiksel bir sabittir ve bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranı şeklinde tanımlanabilir. Çemberin boyutu hangi oranda değişirse değişsin pi sayısı sabit kalmaya devam edecektir. Arşimet Sabiti, pi sayısının bilinen bir diğer adıdır. Bu adla anılmasının nedeni, ünlü matematikçi Arşimet’in geliştirmiş olduğu bir algoritmayla bu sayıya ulaşmaya çalışan tarihteki ilk kişi olmasıdır. Kesin bir sonuca ulaşmaktan ziyade Arşimet pi sayısı için bir çemberin içine ve dışına konumlandırdığı çokgenlerin çevre uzunluklarından faydalanarak bir aralık bulabilmiştir (3.1408<π< 3.1428). Bu aralığa son olarak 96 kenarlı çokgen kullanarak ulaşabilmiştir. Bu metot çokgenlerin kenar sayılarının arttırılarak çembere daha yakın bir form almasına dayalıdır. Çokgen kenar sayısı ne kadar artarsa pi sayısı için bulunan aralık da o kadar doğruyu yansıtacaktır.

Günümüze kadar olan süreçte gelişen tekniklerle pi sayısının gerçek değeri sınırlı da olsa bulunabilmiştir. Bilinen dünya rekoru 2019 yılının 14 Mart pi Günü’nde duyurulan 31 trilyon basamak ile Emma Haruka Iwao adlı Google çalışanına aittir. Bu rekor bulut hesaplama sistemleri sayesinde kırılabilmiştir. Pi sayısının bu yolculuğunda kullanılan ilginç bir yöntem de Monte Carlo Metodu olarak bilinir. Bu metodun altında yatan konsept rastgeleliğin birtakım problemleri çözmede belirleyici olabilme prensibidir. Bu yöntem sadece matematikte değil belirsizlik nedeniyle sonuca ulaşılmada zorluk yaşanan pek çok alanda kullanılabilmektedir.

Monte Carlo Metodu Nedir?

Monako’da birçok kumarhanesi ile ünlü bir bölgeden adını alan Monte Carlo metodu, matematik ve bilimde kritik rol oynar ve nükleer zincir reaksiyonlarının istatistiklerinden trafik akışlarının düzenlenmesine kadar değişen sorunları çözmek için rastgelelikten yararlanır. Yöntemin en eski ve en ünlü kullanımlarından biri, on sekizinci yüzyılda, Fransız doğa bilimci ve matematikçi Comte de Buffon‘un, bir iğneyi çizgili bir kağıdın üzerine tekrar tekrar düşürerek ve iğnenin bir çizgiye kaç kez dokunduğunu sayarak matematiksel sabit pi’nin değeri için bir tahmin yapılabileceğini ortaya koyması olarak bilinir.

Modern zamanlarda, Monte Carlo metodu Stanislaw Ulam, John von Neumann, Nicholas Metropolis ve Enrico Fermi gibi matematikçiler ve fizikçiler tarafından dünyanın dikkatini çekti. Fermi bu yaklaşımı nötronun özelliklerini incelemek için kullandı. Monte Carlo metodu, Amerika’nın II.Dünya Savaşı sırasında bir atom bombası geliştirme programı olan Manhattan Projesi için gerekli simülasyonlar için de çok önemliydi.

Pi sayısını bu metot aracılığıyla bulmak için izlenmesi gereken yol şu şekildedir.

monte carlo metodu pi sayısı
  • Bir kare ve karenin kenarlarına teğet bir iç çember çizilir.
  • Belirli sayıda nokta karenin üzerine eşit ve rastgele olacak şekilde dağıtılır.
  • Çemberin içine düşen nokta sayısı hesaplanır.
  • Çemberin içinde kalan noktalarla tüm noktalar arasındaki oran çember ile karenin alanlarının oranının bir tahminidir. Bu oranlar arasında kurulan ilişki ile pi sayısının yaklaşık değeri bulunmaya çalışılır.

Dairenin alanı πr2‘dir, Karenin alanı ise (2r)2 = 4r2‘dir. Çemberin alanını karenin alanına bölersek π / 4 elde ederiz. Kare içindeki nokta sayısı ile daire içindeki nokta sayısı arasında aynı oran geçerlidir. Bu metodu kullanırken dikkat edilmesi gereken iki önemli durum mevcuttur. Bunlardan ilki noktalama rastgele yapılmadığı takdirde yapılan tahmin tutarsız olacaktır. İkincisi de nokta sayısı az olursa düzgün bir dağılım elde edilemeyecektir ve sonuca yaklaşmak pek mümkün olmayacaktır. Nokta sayısı arttıkça yaklaşımın doğruluğu artacaktır.

Hazırlayan: Berkay Tüccar

Kaynaklar:

Göz Atmanız İçin:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.