Modern Matematiğin Başlamasını Sağlayan Yıkım Paradoksunun Mimarı: Bertrand Russell

Kendi içinde çelişkiliymiş gibi görünen, mantıksal olarak hem doğruluğu hem de yanlışlığı gösterilebilen önermelere paradoks ya da çatışkı adı verilir. Şimdiye kadar matematiksel pek çok çatışkı elde edilmiştir, bunlardan belki de en etkilisi Bertrand Russell’in ortaya attığıdır.

Bu çatışkının içeriğine girmeden önce benzer bir tanesine değinmek istiyorum.

Kataloglar Paradoksu

Kitapların artmasıyla kataloglar arttı, katalogların artması onları da sınıflandırmayı gerektirdi ve katalogların da kataloğu yapılmaya başlandı. Bazı kataloglar kendi isimlerini listelerine almazken bazıları alıyordu. Örneğin;  “Beyaz Kapaklı Kitaplar” kataloğu hazırlanacaksa ve hazırlanan bu kataloğun kapağı beyazsa kendi adını da içermesi gerekiyor, beyaz değilse gruba dâhil olmadığı için içermemesi gerekiyordu.

Bu önermeden yola çıkarak “Kendi Adını İçermeyen Kataloglar Kataloğu” yapılmak istendi. Esas karmaşa sonrasında başladı. Katalog kendi adını içermeli miydi, içermemeli miydi?

  • Kendi adını içermeyen kataloglar kataloğu, kendi adını içerirse adıyla çelişkili bir durum ortaya çıktığından içermemesi gerekiyordu.
  • Kendi adını içermeyen kataloglar kataloğu, kendi adını içermezse ‘kendi adını içermeyen katalog’ listesine dâhil edilmiş buna rağmen ismi listeye eklenmemiş oluyor ve yine çelişki oluşuyordu.

Bu çatışkının ortadan kalkması için getirilen çözüm önerisi böyle bir kataloğun yapılamayacağını belirtmek oldu.

Gelelim tür olarak katalog paradoksuna oldukça benzeyen Russell paradoksuna…

1800’lerin sonunda ve 1900’lerin başında matematikte en önemli sorunlardan biri, matematiğin çelişkili olup olmadığı sorusuydu. Frege ve Hilbert bu konuya ilgi duyan iki ünlü matematikçiydi. Matematikte çelişki olmadığını kanıtlamak için de matematiğin sezgilerimizden bağımsız bir hale getirilip biçimselleştirilmesi ve aksiyomlaştırılması gerekiyordu.

Analitik felsefenin kurucusu kabul edilen, Alman mantıkçı ve matematikçi Gottlob Frege, (1848-1925) 1893 yılında ilk ve tek cildini yayımladığı Die Grundgeseztz der Arithmetik (Aritmetiğin Temelleri) adlı eserinde aritmetiği sağlam temellere dayanan bir kümeler kuramına indirgemek ister.

Birinci cilt belki de dilin karmaşıklığından dolayı umduğu ilgiyi görmez. 1902’de yapıtın ikinci cildi tamamlanmış ve baskıya verilmişken 54 yaşındaki matematikçi, 30 yaşındaki Bertrand Russell’dan, “Sevgili Meslektaşım” diye başlayan bir mektup alır.

Russell, bu mektupta Aritmetiğin Temelleri’nin birinci cildini okuyup oldukça etkilendiğini ve faydalandığını belirtir. Mektubunun ortalarında da, bulduğu paradoksu açıklar.

Frege, mektubu okuduğunda büyük bir düş kırıklığına uğrar, yıllarını verdiği matematiği biçimselleştirme uğraşı (sayı kavramını mantığa indirgeme) büyük bir yenilgi almıştır. Kitabını baskıdan çekip temel değişiklikleri yapması için çok geç olduğundan bir sonsöz yazmakla yetinmek zorunda kalır.  Sonsöz şöyle başlar:

“ Bir bilim insanı için, yapıtı biter bitmez temellerinin yıkılmasından daha korkunç bir şey düşünülemez. Yapıt tam baskıya hazırlanırken Bay Bertrand Russell’dan aldığım bir mektup beni işte bu duruma soktu.”

Peki, Russell’in tüm nesnelerin bir küme olarak nitelendirilebileceğine dair kabulüne bulduğu çatışkı neydi?

Tüm kümeler kümesini alalım. Bu kümeye X adını verelim. X de bir küme olduğundan X X olur elbette.

X’in bazı kümeleri kendi kendisinin elemanı olabilirler. Örneğin X, yukarıda gördüğümüz gibi, kendi kendisinin elemanı olan kümelerden biridir. X’in bazı kümeleri de kendi kendisinin elemanı olmazlar. Örneğin doğal sayılar kümesi N, bir doğal sayı olmadığından, kendi kendisinin bir elemanı değildir. Şimdi, kendi kendisinin elemanı olmayan kümelerden oluşan kümeyi alalım:

                                                                   Y = {x :  x x}

Tanımdan dolayı, bir x kümesinin Y ’de olması için yeter ve gerek koşul x’ in kendi kendisinin elemanı olmamasıdır. Daha matematiksel olarak, her x kümesi için,

                                                                   x ∈ Y ⇔ x x

önermesi geçerlidir. Bu önerme her x kümesi için geçerli olduğundan, özel olarak Y kümesi için de geçerlidir. Dolayısıyla, yukarıdaki önermede x yerine Y koyarsak doğru bir önerme elde ederiz:

                                                                   Y ∈ Y ⇔ Y Y.

Bu son önermenin ne dediğine bakalım: Y, Y’nin bir elemanıysa Y, Y’nin bir elemanı olamaz ve Y, Y’nin bir elemanı değilse Y, Y’nin bir elemanı olur…

Bu, bariz bir çelişkidir. Bu sorunu çözmenin tek bir yolu vardır, o da Y’yi küme olmaktan men etmek! Nitekim sorun nasıl çözülürse çözülsün, sonunda Y’ yi bir biçimde küme olmaktan men ederek çözülür. Sorun sadece Y’de değildir. Sorun aslında X’ tedir. X bir kümeyse, Y ’nin bir küme olmasını engellemek insafsızlık olur. Dolayısıyla Y ’den önce X’ in bir küme olmasını engellemek gerekmektedir.

Çelişki nasıl giderildi?

Bu paradoks, kümeler kuramının diğer paradoksları gibi bugün ortadan kalkmıştır. Russell, paradoksu ortadan kaldırmak amacıyla 1908’de Tipler Kuramı adı verilen bir kuram ortaya atmıştır. Bu kuram kümeleri derecelendirerek “tüm kümelerin kümesi” ni yasaklamış olup durumu paradoks olmaktan çıkarmıştır.

KAYNAKLAR:

Ali NESİN – Sezgisel Kümeler Kitabı / Nesin Yayıncılık Ltd. Şti. / S. 265, 266

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/makaleler/202_214_paradoks.pdf

Gamze Dönmez

Okumayı pek çok eyleme tercih eden, araştırmayı, öğrenmeyi, öğretmeyi ve yeniden öğrenmeyi çok seven, amatör olarak öykü yazarlığı yapan bir ilköğretim matematik öğretmeniyim. Öğrenme psikolojisi, gelişim psikolojisi, olasılık, geometri ve mantık en çok dikkatimi çeken alanlardan. Merak uyandırıp geri çekilmenin merak gidermekten daha faydalı olduğunu düşünüyorum. Bilginin ve bilmenin gücüne sonsuz saygı duyuyorum. Paylaşmak güzeldir!

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı