Fizik

Minkowski Uzayı: Uzayzamanda Metriğin Nedensellik ile İlişkisi

Görelilik Teorisinden önce uzay ve zaman birbirinden bağımsız kavramlar olarak düşünülüyordu ve bunlar x1, x2, x3, t gibi koordinatlarla belirlenirdi. Her ne kadar olaylar dört boyutlu uzayda gerçekleşse de, klasik fizikteki zaman ve uzayın mutlaklığına dair fikirler, olayların ayrı bir şekilde algılanmasına neden oluyordu. Görelilik Teorisi, uzay ve zamanın sadece bağlantılı kavramlar olmadığını, aynı zamanda birlikte bir sürekliliği ifade ettiğini gösterdi.

Minkowski uzayı, dört boyutlu uzayzaman geometrisinde özel göreliliği ifade etmek için kullanılır. Minkowski uzayı, üç boyutlu aşina olduğumuz Öklidyen uzaya eklenmiş bir zaman boyutu ile birlikte elde edilen dört boyutlu bir geometri olarak düşünülebilir.

Öklidyen Uzayda Mesafe Ölçeği

ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{3}

Öklid uzayında iki nokta arasındaki mesafe bir değişmezi ifade eder. Koordinat sistemi değişse dahi yer değiştirme sabit kalır. Çevresi bir metre olan çembersel bir cismi düz hale getirdiğimizde yine bir metre uzunluğa sahip olması buna örnek olarak gösterilebilir.

Kartezyan koordinatlar ve küresel koordinatlarda mesafe ölçeği eşittir; yarıçapı verir. (Kaynak: https://www.mathworks.com/)

Günlük hayattan da bildiğimiz üzere (ve denklem üzerinden de gördüğümüz gibi) mesafe Öklidyen uzayda her zaman pozitif olmalıdır. Sıfır olduğu durum ise hareketin olmadığı durumu ifade eder. Diğer bir deyiş ile iki nokta arasındaki mesafenin sıfır olduğu tek durum iki noktanın birlikte olduğu durumdur. Dört boyutlu uzayda elde edilen metriğin verdiği bilgiler ise bu durumdan çok daha farklıdır.

Minkowski Uzayında Mesafe Ölçeği

ds^{2}=-(cdt)^{2}+dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{3}

Evren dört boyutlu (3+1) bir Minkowskian (Lorentzian) manifolddur. Lorentz Grubu içerisinde yer aldığı için mesafe ölçeği dönüşümler altında değişmez kalır. Nedensellik ilişkileri, zamansal eğriler üzerinden tanımlanır yani nedensel olarak ayrılmış iki olay arasında, zaman benzeri jeodezik bir mesafe vardır. Özel göreliliği  Einstein’ın iki postulatı ile kısaca özetleyebiliriz:

  1. Tüm eylemsiz referans çerçevelerinde fizik yasaları aynıdır.
  2. Vakumdaki ışık hızı tüm referans çerçeveleri için aynıdır.

İkinci varsayımı kullanarak ışık hızıyla hareket eden bir parçacığın ya da ışık ışınının iki nokta arasında aldığı yolu  r2=(c.t)2 olarak yazabiliriz. Elde ettiğimiz bilgi bize Minkowski uzayzamanda ds2 = 0 yani mesafenin sıfır olduğu durumu ifade etmektedir. Öklidyen uzaydan farklı olarak uzay ve zamanı birlikte düşündüğümüzde objenin yalnızca ışık hızı ile hareket ettiği taktirde metriğin sıfır olduğunu görmüş oluyoruz. Artık genelleştirilmiş metrik denklemini yazarak olayların geçmiş ve gelecek ayrımını ya da mekânsal bağlantılarını inceleyebiliriz. Minkowski uzayında zamanın negatif eklenmesi metrikte üç farklı durumun ortaya çıkmasını sağlar. Metrik negatif, sıfır ya da pozitif değerler alabilir.

Nedensellik İlişkisi

Minkowski Uzayı (kaynak:https://en.wikipedia.org/)

Metriğin üç farklı sonucuna göre uzay üç bağımsız bölgeye bölünmüş olur. Olayların nedensellik yapılarını metriğin sonucu belirler.

ds2 ‘nin sıfır olduğu durum uzayzamanın bir ışık ışını ile birleştirilebileceğini öne sürer. Metriğin sıfırlanmasını sağlayan eleman ve olaylar ışıksaldır. Böylece ışık ışını ile birleştirebileceğimiz noktalarla elde edebileceğimiz bir ışık konisi oluşturabiliriz. 

ds2‘nin pozitif olduğu durum zamansal olarak adlandırılır yani iki olayın aynı yerde meydana geldiği ancak aynı anda gerçekleşmediği bir referans çerçevesi olduğu anlamına gelir. Bu olayların noktaları ışık konisinin içindedir ve asla ışık hızına ulaşmaz.

ds2‘nin negatif olduğu durumda ise uzamsal olaylar meydana gelir. Bu, iki olayın aynı anda farklı yerlerde meydana geldiği bir referans çerçevesi olduğu anlamına gelir. Bu olaylar ışık konisinin dışındadır ve ışık hızından hızlıdır.

Zamansal ve uzaysal durumu karşılaştıracak olursak; X ve Y iki farklı olay olsun. X olayında duvara lazer yansıttığımızı farz edelim ve Y olayındaysa duvardaki lazerle oynamaya çalışan bir kedi olsun. Zamansal durumda önce lazerin yansıdığını ve ardından kedinin lazerle oynamaya başladığını gözlemleriz. Diğer bir deyişle olaylar sırası ile meydana gelir. Uzaysal durumda ise ne kadar hızlı olursak olalım kedinin bizim yansıttığımız lazer ile oynadığını gözlemleyemeyiz, kedinin oynamaya başladığı olay biz gözlemleyemeden önce gerçekleşmiş olacaktır.

Minkowski Uzayzamanını sonsuza götürürsek ne olur?

Minkowski Uzayı Penrose Diagramı (Kaynak: https://ar.pinterest.com/

Bir Penrose diyagramı, herhangi bir geometrinin nedensel yapısını tam olarak açıklamak için düzenlenmiş bir tür uzay-zaman diyagramıdır. Sonsuzda neler olduğunu görebilmek için çeşitli konformal dönüşümler yapılarak sonlu koordinat aralıkları elde edilir. Oluşturduğumuz yeni koordinat ve metrik nedensellik ilişkisi hakkında bilgiler verir. Yukarıda Minkowski uzayına ait Penrose diyagramı verilmiştir. Minkowski metriğindeki uzaysal koordinatları küresel koordinatlara göre yazarsak;

ds2 = -dt2 + dr2 + r2(dθ2 + sinθ22) ,     (c=1) 

azimutal ve polar açıları ile ifade edilen r2(dθ2 + sinθ22) kısmı kompakt bir durum oluşturur ve sonlu bir tanıma sahiptir. Yarıçap  0<r<∞ aralığına ve zaman ise -∞<t<∞ aralığına sahiptir. Öyleyse yalnızca r ve t üzerinden konformal dönüşümler yaparak, sonlu bir sistem elde etmeye çalışmamız yeterli olacaktır. Her ne kadar diagram 2 boyutlu gibi görünse de (1 uzay ve 1 zaman boyutu), diyagram üzerindeki her nokta küresel bir yapıyı ifade ediyor.)

Konformal dönüşümler altında açı korunumludur; ışık konisinde ışık ışınının sahip olduğu açı korunurken, mesafe ölçeği bozulur. Ancak zamansal ve uzaysal eğriler diagram üzerinde de görüldüğü gibi her iki yönden de farklılaşırlar. Mesafe ölçeğinin bozulması sonucunda sonsuzluğu, sayfa üzerine sığacak sonlu alana sahip bir uzayzamana dönüştürebiliriz.

Işık konisinin null jeodesic üzerindedir (düz bir çizgi olarak düşünebiliriz.) böylece bozulmaya uğramaz. (kaynak: http://www.theculture.org/

Zamansal eğriler, gelecek zamansal sonsuzlukta ve geçmiş zamansal sonsuzlukta birleşirler. Benzer şekilde uzaysal eğriler ise sonsuz uzaklıktaki uzayzamanda birleşirler. Diyagram üzerinde ok ile gösterilen ışık ışını ise açısal bir bozulmaya uğramadan ilerler; ışık konisi bu bağlamda Minkowski uzayındaki ile benzerdir.

Kütleli bir gözlemci zamansal yol boyunca ilerler. i+ gelecek zamansal sonsuzluğu; i ise geçmiş zamansal sonsuzluğu temsil eder. (kaynak: https://www.researchgate.net/

Işık hızından düşük hızla ilerleyen bir gözlemcinin ışık konisi içerisinde yer aldığını değinmiştik. Gözlemcinin hareketini zamansal bir jeodezik ile takip edebiliriz. Zaman içinde ileriye doğru bir yol izlersek, gelecek zamansal sonsuzluk olarak adlandırılan bölgeye ulaşırız. Eğer zamanda geriye doğru bir yol izlersek, geçmiş zamansal sonsuzluğa ulaşmış oluruz. Böylece Minkowski uzayına karşılık gelen yeni konformal uzayda, uzayzamanın homojen ve simetrik yapısından dolayı, konumdan bağımsız olarak nedensellik ilişkilerini bu şekilde inceleyebilir ve uzayzamanın sürekliliğini görebiliriz.

Okumaya devam etmek isterseniz.

Kaynaklar:

  • Albert Einstein (1993),The Meaning of Relativity Four lectures deliveredat Princeton University, May, 1921, Alfa Yayınları 3rd ed.
  • Jeffrey Bennet (2018),Göreliliğin Anlamı, Nora Kitap/İstanbul, 1. basım
  • The Geometry of Relativistic Spacetime: from Euclid’s Geometry to Minkowski’s Spacetime; http://www.bourbaphy.fr/

Matematiksel

İrem Şalk

Çocukluğumda matematiğe ve lise ile birlikte ise fiziğe ilgi duymaya başladım. Şu an İTÜ-Fizik mühendisliği 4. Sınıf öğrencisiyim. Hayal etmeyi ve yeni şeyler keşfetmeyi sevmemin; doğa ve sanata olan düşkünlüğümün temelinde evrenin bu köşesinde anlamaya çalıştığımız doğa bilimlerini görüyorum. Bu yüzden, benim doğa da gördüğüm hayran bırakacak güzelliği, kaosu ve sadeliği, belirlenemez ve belirlenebilir davranışları imkanım olduğu kadar başkaları ile paylasabilmek için yazılar yazma kararı aldım. Hep birlikte yüzümüzü aydınlığa ve bilime dönebilmemiz umuduyla.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

twelve − eight =