Matematikte gerçeklere deneyle, gözlemle değil, çoğu zaman akıl yürütmeyle ulaşılır. Matematiksel akıl yürütme, matematiksel bir bilgi ağının üzerinde hem ilerler hem de yapılanır. Kısacası akıl yürütme ve bunun için sezgilerimize güvenme matematiğin tüm dallarının ayrılmaz bir parçasıdır. Aynı zamanda problem çözme becerilerinin temelidir.
Ancak bu noktada dikkatli olmak gerekir. Akıl yürütme elbette, her zaman doğru sonuçlara ulaşmaz. Örneğin, bazı ikna edici kalıplara bakarak genellemeler yapmak yanıltıcı olabilir. Bir model tutarlı göründüğünde bir genelleme yapmaya çalışmak kolaydır. Bununla birlikte, kalıplar bazen belirli bir noktaya kadar tutarlı olur. Beklenmedik anda ortaya çıkan bir tutarsızlık kalıbı bozabilir.
Bu durumdan genelde okullarda pek bahsedilmez. Bu, bazen öğretmenin de konu hakkında bilgisi olmadığından bazen de öğrencilere beklenmedik tutarsızlıklar göstererek kafalarını karıştırmak istememesinden kaynaklanır. Öğrencilerden belli bir kalıba bakarak akıl yürütmeleri, belli bir kural bulmaları ve bu kurala göre de problemi çözmeleri istenir. Şimdi biz de sizden isteyelim. Aşağıdaki soruyu ele alarak böyle bir örneğe bakalım.
Hatalı Bir Akıl Yürütme Örneği
Şimdi bu soruya göz atalım. 1’den büyük her tek sayı, a (2’nin kuvveti) + (bir asal sayı) toplamı olarak ifade edilebilir mi? . Bu tip bir soru ile karşılaşan herkesin yapacağı şey doğal olarak bazı denemeler yapmak olacaktır. Şimdi biz de bu denemeleri yapalım.
3 = 20 + 2
5 = 21 + 3
7 = 22 + 3
9 = 22 + 5
11 = 23 + 3
13 = 23 + 5
15 = 23 + 7
17 = 22 + 13
19 = 24 + 3
Bu biçimde denemeye devam ederseniz yavaş yavaş ikna olursunuz. Bir kural bulduğunuzu düşünebilirsiniz. Gerçekten de 125 sayısına kadar herhangi bir sıkıntı yoktur. 125 = 26 + 61. Ancak ya 127 sayısı?
Bu sayı için ne kadar denerseniz deneyin verilen şartı sağlayan iki sayının toplamını yazamazsınız. Oysa ki 129’dan sonra tekrar işler yoluna girmeye başlar. 129 = 25 + 97 ve 131 = 27 + 3. Ancak ne yazık ki sadece bir tane bile kural dışı bulmamız baştaki sorunun geçerliliğini zedeleyecektir. Yukarıda okuduğunuz soru aslında ilk olarak Fransız matematikçi Alphonse de Polignac (1817-1890) tarafından önerildi. Şu sayılarla 251, 331, 337, 373 ve 509 sayılarında bize sorun çıkarıyor.
İkinci Bir Örnek
Hatalı akıl yürütme konusunda ikna olmadıysanız bir örnek daha verelim. Şimdi aşağıdaki görseldeki sayıları inceleyelim. Gerçekten sayılar ile ilintili güzel bir ilişkiyi ortaya koyuyor gibi gözüküyor değil mi? Hatta belki de bunun üzerine bir kural bile geliştirebiliriz.
1n + 13n + 28n + 70n + 82n + 124n + 139n + 151n = 4n + 7n + 34n + 61n + 91n + 118n + 145n + 148n .
Yukarıdaki sayılara göz attığınız zaman aslında n=7 sayısına kadar herhangi bir sorunun çıkmadığını sizler de fark edeceksiniz. Ancak 8 sayısını bulduğumuzu düşündüğümüz kurala yerleştirdiğimiz de işler değişir. 8 sayısı için sağ taraf ve sol taraf farklı sonuçlar üretir.
Bu iki örnek matematikte hatalı varsayımlarda bulunabileceğimizi, akıl yürüterek vardığımız sonuçlara güvenmememiz gerektiğini ortaya koyar. Bu nedenle, bu tür hatalardan kaçınmak için, matematikte kanıt önemlidir.
Sadece varsayımsal olarak yaptığımız genellemeler bizi yanlış çıkarımlar yapmaya yönlendirecektir. Öğretmenler genellikle problem çözümünde doğru cevabı sorar ama o cevaba öğrencinin hangi işlemleri kullanarak ulaştığını ve neden o işlemi seçtiğini sormaz. Oysa ki akıl yürütmenin öğrenilmesi yalnız matematik eğitiminde değil, eğitimin her alanında vazgeçilemez bir gereksinimdir.
Yazının devamında bir başka hatalı alık yürütme örneği için de bu yazıya göz atabilirsiniz: Sürpriz Sınav Paradoksu: Öğrencilere Sürpriz Sınav Yapmak Matematiksel Olarak İmkansız mıdır?
Kaynak: Alfred S. Posamentier; Mathematics Entertainments for the Millions; WSPC (July 21, 2020);
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
