Geometri

Matematiksel Anlamda Boyut Nedir?

Nokta sıfır boyutludur, doğru bir boyutludur, düzlem iki boyutludur ve uzay üç boyutludur. Bize ilkokulda, ortaokulda, lisede hep böyle öğretildi. Peki ya hepsi bu kadar mı? Dördüncü, beşinci, altıncı, … boyutlarda neler var? Peki, boyut tam olarak nedir? Şimdi boyutun tanımını verelim. En basit tanımıyla; bir nesnenin boyutu, o nesnenin üzerindeki bir noktayı belirtmek için gereken minimum koordinat sayısı olarak tanımlanır. Bu tanıma göre yukarıda verilen örneklerin doğru olduğu bariz bir şekilde görülür: Nokta sıfır boyutludur çünkü üzerinde belirtebileceğimiz tek nokta kendisidir. Doğru bir boyutludur çünkü üzerinden alınan bir nokta tek koordinatla belirtilebilir, örneğin reel sayı doğrusundaki 3 sayısı. Aynı şekilde ikinci ve üçüncü boyutlar için iki ve üç boyutlu koordinat sistemlerinden seçilen noktalar örnek verilebilir.

Dördüncü Boyut Nedir?

İnsanlara, dördüncü boyutun gerçekten de var olabileceğinin düşüncesi Edwin A. Abbott’un Düzdünya adlı romanıyla yayılmaya başlamıştı. Bu kitapta, genel olarak, iki boyutlu bir dünyada yaşayan karenin üçüncü boyuttan bir küre tarafından ziyaret edilmesi ve onun üçüncü boyutu anlamasındaki zorluklar konu alınmıştı. Daha sonradan Einstein ortaya çıkınca dört-boyutlu uzay fikri daha ciddi bir hal aldı. Einstein’a göre dördüncü boyut zamandı. Bu da dört-boyutlu geometriyi çoğu insan için daha anlaşılabilir kılıyordu. Fakat matematikçiler için ise dört ve üzeri boyutlar ne kadar soyut gözükseler de kolayca anlaşılabilirler. Matematikçiler için dört ve üzeri boyutlar sadece birer tümevarımsal basamaklardır. Örnek olarak aşağıdaki gibi bir çember denkleminin boyutlara göre değişimi verilebilir.

Şimdi birlikte bu tümevarımsal düşünceyi kullanarak bir dört-boyutlu bir küp inşa edelim. Bunun için bize köşe sayısı ve kenar sayısını bulmak yetecektir. Aslında bir n-boyutlu küpün köşelerini, n-boyutlu bir koordinat sisteminde sadece sıfır ve birlerden oluşan noktaların kümesi olarak düşünebiliriz. Örneğin, bir küpün köşelerini şekilde gösterildiği gibi ele alabiliriz (fakat aynı şeyler iki-boyutlu küp, yani kare, için ve bir-boyutlu küp, yani doğru parçası, için de doğrudur).

Bir n-boyutlu küp, n-boyutlu koordinat sistemindeki sıfır ve birlerden oluşan bütün noktaları içerdiğinden dolayı bu küpün 2n tane köşesi vardır. Kenar sayısı ise biraz daha uğraştırıcıdır. Yukarıdaki küpümüzde hangi noktaların hangi noktalar arasında kenar olduğuna bakalım. Sadece koordinatları arasında bir sayı farklılığı olan noktalar birbirleriyle eşleşmiş.

Buradan güzel bir mantık yürütmeyle kenar sayısının da kapalı formülünü bulabiliriz. N-boyutlu küpün her köşesi n tane köşeyle bağlantılıdır diyebiliriz çünkü her köşenin n bileşenli koordinatı vardır. O zaman n.2n bize kenar sayısının iki katını verir çünkü bu çarpımda her köşe ayrı ayrı incelenirken aynı kenarlar ikişer kere sayılmıştır. Demek ki kenar sayımız da n.2n-1. Buradan da n=4 için, dört-boyutlu küpümüzün köşe sayısı 16 ve kenar sayısı 32 diyebiliriz. Aşağıda da teserakt da denilen dört-boyutlu küpün iki boyuttaki izdüşümü verilmiştir (kenar ve köşe sayıları tam da bulduğumuz gibidir). Şimdi ise daha tehlikeli bir soru soralım: Peki boyutlar hep birer doğal sayı olmak zorunda mıdır?

Kesirli Boyutlar

Bu sorunun cevabı hayır. Kesirli boyutlar vardır. Hatta irrasyonel boyutlar bile mevcuttur. Bu tarz doğal sayı olmayan boyutlar en güzel örnekle fraktallarda bulunur. Örneklendirmeden önce boyut hesabı için kullanılan bir formül verelim:

Bu formül sadece fraktallar da geçerli değildir. Bir doğru parçası alalım bu doğru parçasını yarı yarıya ölçeklendirirsek elimize iki tane küçük doğru parçası geçer. Bu sefer bir kare alalım bu kareyi de yarı yarıya ölçeklendirirsek elimize dört tane küçük kare geçer. Aynı şekilde, bir küp alalım bu küpü de yarı yarıya ölçeklendirirsek elimize sekiz tane küçük küp geçer. 

Ve bu durumların hepsi verdiğimiz formüle uyar: 1/2 =(1/2)1; 1/4 = (1/2)2; 1/8= (1/2)3 . Fakat bir fraktalı hesaba kattığımızda her şey değişir. Mesela Sierpinski üçgenini düşünelim. Aynı şekilde Sierpinski üçgenini yarı yarıya ölçeklendirmek isteseydik elimizde bu sefer üç tane kopya olurdu.

Ve buradan da anlaşılacağı gibi boyutumuz irrasyonel bir sayıdır. Bir örnek daha verelim. Şimdi de Koch eğrisinin boyutunu bulalım. Koch eğrisini üçte bir ölçeklendirmek istersek elimize dört tane küçük kopya geçer.

Fraktalların boyutunun hesaplanmasındaki tek yöntem bu değildir. Kutu sayma metodu denen diğer bir yöntemle matematikte fraktal olarak kabul edilen Britanya ve Norveç gibi ülkelerin kıyı şeritlerinin boyutları hesaplanabilir. Bunların boyutları da sırasıyla yaklaşık olarak 1,21 ve 1,52’dir.

Evren Kaç Boyutludur?

Evren ilk kez Öklid tarafından üç boyutlu olarak tanımlanmıştı ve de bu uzun süre doğru olarak kabul edilmişti. Einstein ise ilk kez evrenin dört boyutlu olduğunu gösterdi ve dördüncü boyutu zaman olarak tanımlandı. Günümüze geldiğimizde ise hala kanıtlanmamış olan sicim teorisi uzay-zamanın 10 ya da 26 boyutlu olduğu söylüyor. Peki biz neden sadece üç uzay ve bir zaman boyutunun farkına varabiliyoruz? Hawking’in bu soruya cevabı şöyle: Diğer boyutlar uzayda çok küçük kıvrımlılardır, bir inçin da biri kadar. O kadar küçük ki onları fark edemiyoruz. Şöyle düşünün, elinize bir tane küçük çubuk alın. Eğer bu çubuğa yakından bakarsanız bu çubuğu iki boyutlu olarak görürsünüz (en ve boy). Şimdi ise aynı çubuğa uzaktan bakın. Bu sefer çubuğu enini göremeyeceksiniz ve o size sadece bir boyutluymuş (boy) gibi gelecek. Uzay-zaman da böyledir. Küçük bir ölçekten baktığınızda 10 boyutludur ve çok kıvrımlıdır fakat büyük ölçekten baktığınızda ise ekstra boyutları göremezsiniz.


Öğrenmeye devam edelim:

Kaynakça:

  • https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4&t
  • -Crilly, T. (2014). Gercekten bilmeniz gereken 50 matematik fikri. İstanbul: Domingo
  • -Hawking, S. (2016). A brief history of time. Great Britain: Penguin Random House UK
  • -Gowers, T.(2013). Matematik. Ankara: Dost Kitabevi Yayınları
  • -Abbott, E. (2019). Düzdünya. İstanbul: Sola Unitas Yayınları
Ana sayfa » MATEMATİK » Geometri » Matematiksel Anlamda Boyut Nedir?

Övünç Özgün Eker

Boğaziçi Üniversitesi matematik bölümü öğrencisiyim. Matematikle alakalı yeni şeyler öğrenmeyi oldum olası sevmişimdir. Bu yüzden de matematik hakkında okumaya uzun süredir meraklıyım. Öğrendiklerimi paylaşmayı da çok severim bu yüzden de buradayım! İyi okumalar...

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu