Matematik Sizi Şaşırtabilir

1+2+3+4+5+6+………= -1/12

Tüm pozitif sayıların toplamı negatif mi? Hem de bir de rasyonel sayı. Böyle bir şey mümkün olabilir mi dersiniz? Yukarıdaki sonuç size tamamen yanlış gelebilir, ama değil…

***

Gerçeğine geçmeden önce basit bir ispat verelim sizlere…

Önce aşağıdaki sonsuz toplamı düşünelim:

X = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …

Biraz düzenleyelim.

X = 1 – (1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …)

Sonuçta bunların her ikisi de aynı bilinmeyene eşit olduğuna göre;

X = 1 – X , 2X = 1, X = 1/2 sonucuna ulaşabiliriz.

Şimdi başka bir toplam seçelim.

Y = 1 – 2 + 3 – 4 + 5 – …

Düzenleyelim…

Y = 0 + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 + …

Taraf tarafa toplayalım.

Y + Y = (1 – 2 + 3 – 4 + 5 …) + (0 + 1 – 2 + 3 – 4 + 5 …)

2Y = 1 + 0 – 2 + 1 + 3 – 2 – 4 + 3 + 5 – 4 …

2Y = 1 – (2-1) + (3-2) – (4-3) + …

2Y = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 …

Bu sonuç X ile aynı, hemen birbirine eşitleyelim.

2Y = X , 2Y = 1/2 , Y = 1/4

Şimdi baştaki sorumuza geri dönelim…

S = 1 + 2 + 3 + 4 + …

Yukarıda tanımlanan Y sonsuz toplamını S’den çıkartırsak:

S – Y = 1 – 1 + 2 + 2 + 3 – 3 + 4 + 4 + …

S – Y = 4 + 8 + 12 + 16 + … elde ederiz.

Y’nin yukarıda hesapladığımız değerini ise yerine yerleştirirsek:

S – 1/4 = 4 x (1 + 2 + 3 + 4 + …)

S – 1/4 = 4S

3S = -1/4 ve S = -1/12 buluruz.

***

Peki hatalar nerede?

Aslında bir değil birden fazla yerde hata bulunmakta yukarıdaki ispatta…

Matematikte bazı tanımlamalar vardır ve bunlarla oynamak sakıncalıdır. Sonsuzluk bunlardan biridir.

Sonsuz bir sayı değildir ve onunla istediğiniz gibi dört işlem yapamazsınız. farkındaysanız yukarıdaki işlemde bolca dört işleme yer verildi.

Yani, normal sayılara uygulanan cebirsel kurallar sonsuzluğa uygulanmaz. Daha spesifik olarak, normal sayılar için geçerli olan cebirsel kurallar, yakınsak olmayan sonsuz toplamlar için geçerli değildir.

Bu arada hatırlatalım:

Eğer bir dizi herhangi bir limite sahip ise, bu diziye yakınsak dizi, aksi durumda da ıraksak dizi denir.

Ancak X ve Y değerleri için seçtiğimiz diziler ise ıraksaktır.

Bir diğeri diziler yakınsak olduğunda yani dizilerin limitleri bulunduğunda bu dizilerle toplama, çıkarma yapabilirsiniz ancak yukarıda da dediğimiz gibi bunu ıraksak da yapamazsınız.

Şimdi hazır durun evet ispatlama biçimimiz hatalı ama sonuç doğru. Üstelik bu sonuç fizikte de sıklıkla kullanılıyor.

Aslında, teorik fizik ve ileri matematik alanındaki pek çok araştırma makalesi bu sonucu kullanıyor. Bu aslında fizikte sicim teorisi kapsamında, 26 boyutun varlığını açıklamak için kullanılan sonuçlardan birisi,

Bu sonuç aslında s = -1 için Riemann Zeta fonksiyonuyla ilgili. İspatına burada yer vermeyeceğiz ancak aşağıdaki videoda Euler tarafından yapılan güzel bir ispatını inceleyebilirsiniz.

Kısacası hesap makinesinin tuşlarına ardı arkasına tüm sayıları yazsanız ve asla durmasanız, sonuçta elde edeceğiniz sonuç –1/12 olabilir…

Matematik gerçekten insanı şaşırtabiliyor…

Not: Video dili İngilizcedir.

Konu ile ilgili bir başka yazı: https://prateekvjoshi.com/2014/01/24/1-2-3-4-5-112/

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı