Matematik Düellosundan Çıkan Bir Formülün Hikâyesi

Üçüncü dereceden (kübik) denklemlerin genel çözümlerinin bulunması hikâyesi, matematik tarihinin en ilginç hikâyelerinden biridir. Hikâye Rönesans İtalya’sında geçer. O dönemler matematikçiler arasında “düello” yapma geleneği vardır. Genelde matematik seyirlik bir aktivite olarak görülmez; ancak 1500’lerde durum farklıdır. Matematikçiler çeşitli sorular ortaya atıp birbirlerine meydan okuyarak kendilerine bir geçim yolu bulmuşlardı. Başka bir matematikçi bu meydan okumaya karşılık verdiğinde düello başlamış oluyordu. Matematiğe ilgili bir insan kitlesinin önünde yapılan bu gösterilerde seyirciler –hiç fikir sahibi olmasalar da- bahse girerlerdi. Bu düellolarda kazanan matematikçiler hem ortaya konan para ya da ziyafet gibi ödülleri elde ediyor, hem de itibar kazanarak, üniversitelerde daha iyi bir pozisyon bulma şansı yakalıyorlardı.

Niccoló Tartaglia (1499-1557).

O dönemin saygın matematikçilerinden Del Ferro’nun öğrencisi olan ve vasat bir matematikçi olarak bilinen Fiore, o sıralar çok meşhur olan üçüncü dereceden denklem soruları içeren bir düello başlattı. Tartaglia (italyanca’da kekeme) namı ile tanınan Niccolò Fontana adlı matematikçi ve mucit bu zor düelloyu kabul etti. 30’ar adet soru ortaya atılmıştı ve hepsi de üçüncü dereceden denklemlerin belli bir formu şeklindeydi. Tartaglia hepsini çözerek düelloyu kazandı. 30 akşam yemeği ödülü kazanmıştı ama bu ödülü istemedi. Çünkü asıl amacı itibar kazanmak ve topçulukla ilgili çalışmalarını tanıtabilmekti.

O dönem matematikçileri arasında ünlü olduğundan, kübiklerin çözüm yönteminin bulunmuş olduğu söylentileri hızla yayıldı.  Dönemin ilginç isimlerinden, tıp doktoru, astrolog ve matematikçi olan, aynı zamanda ilginç yaşamı ve kumarbazlığıyla tanınan Girolama Cardano, o sıralar kapsamlı bir matematik kitabı yazmakla uğraşmaktaydı. O çağa kadarki tüm cebir bilgilerini derlemeyi amaçladığı kitabına dönemin bu meşhur probleminin çözümünü de ekleyebilirse, bu eserin kendisine bolca ün ve para kazandırması gayet mümkündü. Cardano’nun aklını kurcalayan soru şuydu: düelloda tüm denklemleri çözmüş olan Tartaglia, gerçekten de genel bir çözüm yöntemi bulmuş olabilir miydi?

Cardano’nun Hırsı

Bunu öğrenebilmek için düellodaki sorularla 3 yıl boyunca uğraştı; ancak bir çözüm yöntemi

Giralomo Cardano (1501-1576)

bulamadı. En sonunda pes eden Cardano, ters bir adam olarak bilinen Tartaglia’ya bir aracı göndererek bir genel çözüm yöntemi olup olmadığını öğrenmeye çalıştı. Tartaglia bir yöntemi olduğunu ama bunu kimseye söylemeyeceğini iletti. Bu durumda Cardano Tartaglia’ya bir mektup yazdı: “eğer bu değerli yöntemi bana verirseniz, yayımlayacağım büyük matematik kitabında bu çözüm yöntemine sizin adınızla yer vereceğim ve tüm dünya sizi tanıyacak”. Tartaglia cevaben yazdığı mektupta bu teklifi kabul etmediğini şu sözlerle ifade etti: “ben yöntemimi bir başkasının değil kendi yazacağım kitapla dünyaya duyuracağım”.

Ancak Cardano yılmamıştı. Tartaglia’nın topçulukla ilgili kitabı olduğunu ve bu alanda çalışmalar yaptığını bilmekteydi. Bir sonraki mektubunda, onun topçulukla ilgili kitabından iki tane satın aldığını ve birini Milano’nun ünlü zenginlerinden birine hediye ettiğini yazdı. Bu mektup Tartaglia’yı heyecanlandırdı; çünkü bahsi geçen zengin zat, yenilikçi ve yeni fikirleri destekleyen biri olarak bilinmekteydi. Tartaglia için projelerine nihayet bir destek bulma umudu doğmuştu; eğer Cardano ona yardım ederse yeni tasarımlarına maddi destek sağlayacak kişilere ulaşabilecekti. Bu heyecanını gizlemeyen bir cevap yazdı ve söz konusu Sinyor’a ulaştırmasını rica ederek yeni birkaç tasarımını mektupla birlikte Cardano’ya gönderdi.

Cardano nihayet avını tuzağa düşürmüştü. Hemen ona bir cevap yazdı ve Tartaglia’yı Milano’ya davet etti. Tarataglia Milano’ya gitti ve böylece Cardano onu çözümü vermeye ikna etmek için uygun bir ortam yakalamış oldu. Cardano’nun uzun uğraşları sonuç verdi ve nihayet Tartagila ağzındaki baklayı çıkardı. “Çözüm yöntemini sana söylerim, ancak onu kitabında kullanmayacağına dair bana kutsal bir yemin etmelisin.” Cardano hemen kabul etti ve istediği yemini etti:

“Tanrı’nın kutsal İncil’i üzerine ve şerefli bir insan olarak size yemin ederim ki, onları bana öğretirseniz, keşiflerinizi asla basmayacağım…” [1].

Bu yemine güvenen Tartaglia çözüm yöntemini Cardano’ya bir şiir şeklinde söyledi. Söylediklerini günümüz cebir sembolleriyle şöyle ifade edebiliriz:

 x3+px=q denklemini çözmek mi istersin? İki sayı bul o zaman, 

Bunların  q olsun farkı,

Ve de p3/3 olsun çarpımları,

Aradığın sayı,

O iki sayının küpkökleri farkı!” [2].

Cardano büyük bir heyecanla soruları bu formüle göre çözmeye girişti. Ne var ki bir türlü doğru çözümlere ulaşamıyordu. Acaba yanlış mı anlamıştı şiirin dizelerini? Bu işte bir terslik olduğunu anlayan Cardano tekrar Tartaglia’nın kapısına gitmeye karar verdi. Ne var ki Tartaglia’nın Milano’yu terk ettiğini öğrendi. Hemen ona bir mektup daha yazdı, neden apar topar gittiğini, kendisine yardım edebileceğini filan anlattıktan sonra, mektubun satırları arasında, çözüm yöntemiyle ilgili sıkıntısını dile getirdi.

Tartaglia’nın cevabı kısaydı:

“Çözüm yöntemi doğru, ama içine küçük bir şifre koydum, p 3/3 değil (p/3)3 olacaktı! Artık çözümü biliyorsun. Sana yeminin hatırlatmak isterim, yeni kitabını bir an önce görmek istiyorum. Eğer yeminini bozarsan intikamım büyük olacak!” [2].

Tartaglia’nın gönülsüz de olsa sonunda açık ettiği çözüm yöntemi çağdaş sembollerle şöyledir:

x3+px=q denkleminin bir kökü a  ise b-c=q ve b.c=(p/3)3  olmak üzere

 a=\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{c} dir.

Burada bazı cebirsel işlemlerle  değişkenlerini ortadan kaldırabilir ve Tartaglia’nın işaret ettiği çözüm şöyle ifade edebiliriz:

x3+px=q denklemi için:

\[ x = \left( \frac{q}{2}+\sqrt {\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right) ^{1/3} + \left(\frac{q}{2}-\sqrt {\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}\right) ^{1/3}. \]

Aslında bu çözüm kübik (üçüncü dereceden) denklemlerin tümü için bir çözüm vermez. Genel olarak üçüncü dereceden bir denklem ax3+bx2+cx+d=0  şeklindedir. Tartaglia’nın çözümü, bu genel formda değil, sadece a=1 be b=0 olduğunda, yani özel bir formda kullanılabilir.

Cardano, sadece belli bir formdaki üçüncü dereceden denklemler için olan bu yöntemle yetinemezdi. Tüm üçüncü dereceden denklem biçimleri için de çözüm geliştirmeliydi. Belli ki Tartaglia da böylesi genel çözümlerle uğraşıyor ve bulunca o da kitap çıkaracaktı. Her ikisi de birbirlerinden habersiz olarak daha genel çözümler için uğraşıyorlardı.

Bir türlü genel çözüme ulaşamayan Cardano, pratik zekâsını kullanarak işin içinden sıyrılmayı başardı. Önce üçüncü dereceden denklemleri 13 tipe ayırdı. Bunlardan ilk üçü Tartaglia’nın çözümünü verdiği denklem tipleriydi. Cardano bazı matematik hileleriyle diğer 10 denklemi bu 3 denkleme dönüştürdü. Böylece hepsini çözmüş oldu!

Bu buluşu kitabında yayınladığı takdirde çok büyük bir üne kavuşacağı kesindi. Ama Tartaglia’ya yayınlamayacağına dair yemin etmişti.

Cardano’nun dahi öğrencisi Ferrari

Lodovico Ferrari

Cardano’nun sadece ev işlerine yardımcı olsun diye işe aldığı bir çocuk olan Ferrari, onun el yazması matematik çalışmalarını temize çekmeye ve giderek matematik problemleri çözmeye başladı. Genç bir dahi olduğunu kanıtlayan Ferrari, ustasının çalışmalarında ona çok yardımcı oluyordu. Birlikte Bologna’ya yaptıkları bir gezide, üçüncü dereceden denklem çözümleriyle uğraşmış eski bir saygın matematikçi olan Del Ferro’nun el yazması çalışmalarını incelediler ve Tartaglia ile aynı yöntemi kullandığını keşfettiler. Yani Tartaglia’dan çok daha önce, bu yöntemi bulan başka bir matematikçi vardı. Bu durumda yemin geçersiz olur muydu? Ferrari ustasının yemini bozup kitabında çözümü yayınlaması gerektiğini düşünüyor ve ısrar ediyordu. Cardano ise Tartaglia’ya sözünü tutmak eğilimdeydi. Cardano bir karar vermek zorundaydı.

Cardano, matematik tarihinde önemli bir yeri olacak olan kitabı Ars Magna (Büyük Sanat) adlı eserini 1545’de yayınladı.

Tartaglia’nın (ya da Del Ferro’nun) çözümü de kitapta yer alıyordu. Cardano çözümün kime ait olduğu konusunda yalan söylemiyor, her iki ismi de kitabında anıyordu:

“Bizim zamanımızda, Bolognalı del Ferro ‘küp artı tek kuvvet eşittir bir sabit’ halini çözmüş, çok şık ve güzel bir başarı… Arkadaşım Niccolò Tartaglia, del Ferro’nun öğrencisi Fiore’la girdiği yarışmada aynı hali çözmüş ve ricalarım üzerine o çözümü bana vermiştir.” [1].

Tartaglia kitabı görünce ortalığı ayağa kaldırdı. Cardano serinkanlı davrandı ve O’na cevap

Scipione del Ferro

vermedi. Onun yerine öğrencisi Ferrari, Tartaglia ile düelloya girişti ve yendi. Zavallı Tartaglia iyice gözden düşmüştü. Cardano’nun kitabı kübiklerin çözümünü içermesi bakımından çok büyük ses getirmişti ve Tartaglia’nın itirazları çok da taraftar toplamamıştı.

‘Anlamsız’ Sayı

Sıra dışı kahramanları olan bu ilginç hikâyeyle anılan üçüncü dereceden denklemin genel çözümü problemi, Cardano’nun eseri ile aslında tam olarak çözüme kavuşmamıştır. Kübik denklemlerin tipik olarak ya üç çözümü vardır ya da tek. Cardano üç çözüm olduğunda formülün bu üç çözümü de akla uygun olarak vermeyecek bir durum oluşturduğunu fark etmişti.

Örneğin x3+15x=4 denkleminin açıkça x=4 için çözümüne sahip olduğunu görüyor; ancak kendi formülünde

x=\left( 2+\sqrt { -121) } \right) ^{ \frac { 1 }{ 3 } }-\left( -2+\sqrt { -121 } \right)^{ \frac { 1 }{ 3 } }

gibi bir sonuca ulaşıyordu. Burada akla uygun olmayan şey negatif bir sayının karekökünün alınmasıydı. Çünkü dönemin matematiğine göre negatif sayıların karekökleri anlamsızdı. Cardano kitabında bazı aritmetik cambazlıklarla bu sorunu görmezden gelmeyi tavsiye ediyordu. Kendisi önemsemese de Cardano bu meseleyi eserine alarak matematik tarihi açısından çok önemli bir iş yapmış oldu. Kendinden sonraki 250 yıl boyunca matematikçilerin üzerinde kafa yoracakları ve sonunda sanal sayının keşfine yol açacak bir süreci başlatmış oldu.

Kaynakça:

[1 ] Ian Stewart. Güzellik Neden Gerçekliktir?. Alfa. 2012.

[2] Şahin Koçak, Vakıf Cafer.  Kareli ve Küplü “Şey”lerin Serüveni. TÜBİTAK Yayınları. 2016.

Murat YAMAN

Matematik Öğretmeni

Matematiksel

 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Pisagor ve Mükemmel Sayı­lar

Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda böleni var­dır. Ancak bazı sayıların ise bölen sayısı “tam …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');