Temel Matematiksel Kavramlar

Limit Ne İşe Yarar?

Bu yazıda limitin tanımından hareketle bir önceki yazının ” Limit Kavramına Neden İhtiyaç Duyuldu? ” sonundaki sorunun cevabını verip limit kavramını nihayetlendirmek istiyoruz.

Limitin Tanımı

17. ve 18. yüzyıllarda serilerin, diferansiyel hesabın (Calculus) gelişigüzel dikkatsizce kullanılmasından ötürü ortaya çıkan sakıncalı durumlar ve saçmalıklar 19. yüzyılla birlikte bertaraf edilmeye çalışılmıştır. 19. yüzyıl matematiğinin en belirgin özelliği kesinliğin ve katı mantıksal bir yaklaşımının baskın olmasıdır. Önceden gelen belirsizliklerin ortadan kaldırılması bu sayede mümkün olmuştur. Bu dönem matematikçileri bu titizlikle çalışmalarını sürdürmüşlerdir.

Bu çabanın eseri olarak Newton ve Leibniz’le başlayan türev ve integralin sağlam bir zemine oturtulması sürecinde limit kavramsal olarak ortaya çıkarılmış ve matematiksel tanımının verilmesiyle birlikte sezgilerimize meze olmaktan kurtarılmıştır.

“Bir büyüklük kendisinden küçük olacak şekilde verilen herhangi bir ikinci büyüklüğe yaklaşabildiği zaman, ikinci büyüklüğün, birincinin limiti olduğu söylenir; bununla birlikte ilk büyüklük, yaklaştığı büyüklüğü hiçbir zaman aşamayacaktır.”[1]

“Bir değişken sabit bir değere peş peşe sonsuz hamle ile yeterince yaklaştığında (aralarındaki uzaklık istenildiği kadar küçük olduğunda) bu değere diğerlerinin limiti denir.” [2]

Yukarıdaki iki tanıma biraz daha yakından bakarsak iki dönem matematiği arasındaki farkı daha net bir şekilde görebiliriz. İlk tanım 18.yüzyıl matematikçisi d’Alembert’e diğeri ise 19. yüzyıl matematikçisi Cauchy’e (1789-1857)  aittir.

İlkinde tamamen sezgiler ön plandayken ikincisinde matematiksel dil biraz daha hakimdir. Buradan limit kavramının ilk sağlam tanımını Augustin-Louis Cauchy yapmıştır diyebiliriz.

Cauchy’e ait olan ikinci tanımda bir önceki yazının sonunda sorduğumuz sorunun cevabını bulabiliriz. Nitekim tanımdaki parantez içerisindeki cümleye dikkat edersek terimlerle yaklaşılan değerler arasındaki fark istenildiği kadar küçük olabilecek.

(1/3)n dizisinin terimleri 0’a yaklaşıyor derken tam olarak kast edilen budur. Yoksa bu dizi -1’e de yakınsıyor dersek dizinin terimleriyle yaklaşılan değer arasını istediğimiz kadar küçük yapamayız. Bu tanım bizi sınırlandırmış oluyor ve 0 demek mecburiyetinde bırakıyor. Birinci bölümde sorduğumuz soruya dönersek; (rn in formülden çıkarılmasına ne neden olmaktadır?) n sonsuza giderken rn in  yok olması problemi rn in 0 olması demektir. Bu da 0’a yakınsaması demektir. O zaman bu soruyu şöyle çevirebiliriz?

Hangi durumlarda n sonsuza giderken, rn 0’a yakınsar?

Bunun cevabını ise bizlere Cauchy vermiştir. Söz konusu serilerin (1) den (2) ye geçişte sadece |r|=<1 iken anlamlı olabileceğini göstermiştir. Yani (2) nolu seride r yerine basit kesir yazıldıkça çıkacak olan sonuçlar anlamlı olacaktır. Cauchy ile başlayan analizi temellendirme süreci Weierstrass ve arkadaşlarıyla devam etti. Weierstrass analizi geometrik akıl yürütme ve sezgisel anlayıştan kurtardı. Yani analizi aritmetikleştirdi. (bu deyiş 1895 te Felix Klein tarafından ortaya atılmıştır). Meşhur ifadeyle epsilon-delta tanımı böylelikle hayatımıza girmiş oldu. Ve şu an kullanmış olduğumuz “x, x0‘a yaklaşırken ki limit” standart görünümüne Weierstrass ile kavuşmuş oldu.[3]

Limit benim ne işime yarayacak?

Bu soruyu matematikçi kimliğim ile cevaplayacak olursam, buna verilecek cevabım iki türlüdür. İlki matematiğe katkı sağlamak, ikincisi ise hayatımı devam ettirmek. Dolayısıyla limitte bunun bir parçası. Fakat doğrudan matematikle ilgisi olmayan birine “Günlük yaşamda limit ne işine yarayacak?” diye sorulursa; buna cevap vermek pek kolay değil. Hatta doğrudan hiçbir işine yaramayacak desek çok da yanılmış olmayız. Tabi büyük resme odaklanırsak bazı şeyler değişecektir. Ama öncesinde şu soruya cevap verelim.

Bir şeyin yararlı olması ne demektir?

Bir şeyin yararlı olması demek, beşeri ihtiyaçları karşılama kapasitesine sahip olmak demektir.[4] İşe yararlılık durumu ise kişinin mesleğine, yaşına, hayattaki konumuna göre değişecektir. Kesin bir şekilde şunu söyleyebiliriz ki matematiği kullanmayan disiplin (dolayısıyla da birey) yoktur. Herkes bir ölçüde az veya çok, kıyısından da olsa matematiğe değecektir. Asıl sorumuzun cevabına dönersek; türev ve integral değişimin matematiğidir. Dolayısıyla değişimin olduğu her yerde bu iki kavram kendisini gösterecektir. Bunların olduğu her yerde de limit. Yaşadığımız evrende değişimin olmadığı an ve yer var mıdır? Böylelikle gezegenlerin hareketi, dünyanın herhangi bir anda nerede ve ne hızda olduğu, uçaktan atılan bir roketin izleyeceği yol ya da düşeceği yer, gibi hareketi ve değişimi ilgilendiren her problem artık matematiğin bu yeni dalıyla birlikte rahatlıkla çözüme ulaşmış oldu. Yazımın başında ” Matematikte Limit Nedir? “sorduğum soruların cevabına artık sahibiz. Bundan böyle gönül rahatlığıyla herhangi bir A noktasından B noktasına gidebiliriz. Yeter ki bu yol mevcut olsun.


  • [1] Burton, D.M. (2017). Matematik Tarihi Giriş. içinde (s.605). (Prof. Dr. Soner DURMUŞ Çev. Ed.). İstanbul: Nobel Yaşam.
  • [2] Argün, Z., Arıkan, A., Bulut, S.,Halıcıoğlu, S. (2014). Temel Matematik Kavramlarının Künyesi.içinde (s.318).Ankara: Gazi Kitabevi
  • [3] Burton, D.M. (2017). Matematik Tarihi Giriş. içinde (s.620). (Prof. Dr. Soner DURMUŞ Çev. Ed.). İstanbul: Nobel Yaşam
  • [4]  DAVIS, P.J., HERSH, R. Matematiğin Seyir Defteri. içinde(s.103). (Ender ABADOĞLU). Ankara: Doruk Yayıncılık

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir Yorum

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu