KALKÜLÜS

Limit Kavramına Neden İhtiyaç Duyuldu?

Yazımızın birinci bölümünde “Matematikte Limit Nedir?” diye sormuş ve anlatmaya çalışmıştık. Yazıda ele almış olduğumuz problemin çözümünde sonsuz sayıda toplamın sonlu bir sayıya eşit olduğuna tanık olmuştuk. Bu durumu temellendirmek adına kaldığımız yerden devam ediyoruz.

Limit Ne İşe Yarıyor?

İki eşitliğe dikkatlice bakıldığında ilkinde toplam sonlu sayıda terimden oluşmaktadır. İkincisinde ise sonsuz sayıda terim vardır. İlkinde eşitliğin sağ tarafında rn varken ikinci eşitlikte bu kaybolmaktadır.  Peki bu dönüşüm nasıl sağlanmaktadır ve rn in formülden çıkarılmasına ne neden olmaktadır?

Bunun cevabını vermeden bu seriyi  (2) rastgele kullanırsak anlamsız bazı şeyler elde edebiliriz. Nitekim 17. ve 18. yüzyıllarda birtakım matematikçiler gelişigüzel kullanımından dolayı büyük hatalara, saçmalıklara düşmüşlerdir.  

Guido Grandi (Pisa’lı papaz ve profesör) (2) nolu seride r yerine  -1 alarak 1-1+1-1+1-1+1-…=1/2 eşitliğini elde etmiş ve devamında eşitliğin solundaki sayıları çiftler halinde gruplandırarak (1-1)+(1-1)+(1-1)+…=0+0+0+…=0

Sonuç olarak 0=1/2 sonucuna ulaşmıştır.

Buradan da dünyanın yoktan var edilmiş olabileceğini matematiksel! olarak kanıtladığını iddia etmiştir. Yine aynı dönem matematikçilerinden Euler de benzer hatalara düşmüştür. Buna en büyük sebep ise serilerin yakınsaklığına aldırış etmemeleridir. Yeterince dikkat edilmezse aynı saçmalığa geometrik olarak da düşülebilir.

Şekil-4

Şekil 4’e bakıldığında (dıştan içe doğru) turuncu olan çember yayının kırmızı, mavi ve mor şeklinde gittikçe siyah çizgiye yaklaştığını, yakınsadığını dolayısıyla da eşit olduğunu söyleyebilir miyiz? Mümkün mü?

Gerçek, biraz lise geometri bilgisiyle turuncu, kırmızı, mavi ve mor çember yaylarının uzunluk olarak birbirine eşit olduğudur. Dolayısıyla hiçbir zaman siyah çizgiye yaklaşılamayacaktır.

Şimdi yaklaşım mantığına uygun örnekler verelim. Bunlardan ilki türevle, ikincisi ise integralle ilgilidir.

Şekil-5

Şekil-5 de görüldüğü üzere çembere P noktasında teğet çizilmek isteniyor. Ve bunun içinde P noktasının dışında bir A noktası alınarak çizilen kirişler, noktalar B, C, D ve E şeklinde gittikçe istenilen teğet doğrusuna yaklaşmaktadır.

Bu örnek aynı zamanda türev kavramının temel sorularından biridir. “Bir eğriye bir noktadan çizilen teğetin eğimi” nasıl bulunur? Bir doğrunun eğimini bulabilmek için iki noktaya ihtiyaç vardır. Elimizde ise sadece bir eğri (denklemi) ve teğet çizeceğimiz nokta vardır. İşte bu sorunun çözümü türevi gerektirir. Türev ise limit kavramı üzerinden tanımlanmıştır.

Şekil-6

Şekil-6 yı dikkatle irdelersek; eğrinin altına dikdörtgenler çizilmiştir. İlkinde 5, ikincisinde 8 ve  üçüncüsünde 15 tane dikdörtgen vardır. Eğrinin altında kalan alan gittikçe dikdörtgenlerle kaplanmıştır. Bu işlemi devam ettirdiğimizde dikdörtgenlerin kapladığı toplam alan, eğrinin altında kalan alana yaklaşacaktır. Bu sorunun çözümü ise integrali gerektirir. İntegralde türevde olduğu gibi limit kavramı üzerinden tanımlanmıştır.

Türev ve integral kavramlarıyla birlikte değişimin matematiğine de sahip olmaktayız. Böylece şimdiye kadar durağan yapılarla ilgilenen matematik bir anda evrenin her yerinde söz sahibi olduğunu göstermiştir. Limitin çok değerli bu iki kavramın tanımlarında (köklerinde) yer alması ise son derece mühimdir.

Şekil-7 Kalkülüs Kemeri

Limit Kendini Göstermeye Başlıyor!

dizisini ele alalım. Dizinin terimleri; {1/3,1/9,1/27…} şeklinde sonsuza kadar gidecektir.

Şekil-8

Dizinin elemanlarına bakarsak; Birinci terim ile yaklaşılan değer arasında 1/3 birim varken, ikinci terimin bu değerle arasındaki fark 1/9 birimdir. Onuncu terimde ise fark yaklaşık 0,00001693508 dir. Yüzüncü terimdeyse bu fark 0,000….00019403252 ( 40 küsur tane sıfır var) olacaktır.

Terimler ilerledikçe yaklaşılan değerle terimler arasındaki fark azalacaktır. Sonuç olarak dizi uzadıkça (sonsuza giderken) ardışık terimler arasındaki fark gittikçe küçülmektedir. Bu matematiksel işlemler ise bizi limit tanımına götürmektedir.

Burada dikkat edilecek bir husus vardır. Bu dizinin terimleri 0’a yaklaştığı gibi, -1’e , -2’ye vs. sayılarına da yaklaşmaktadır. Peki bizi bu dizinin terimlerinin 0’a yaklaştığını söylememize iten sebep ne olabilir?

Bu sorunun cevabını sonraki yazımızda verelim.

Matematiksel

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu