Sayılar Teorisi

Ramanujan Kongrüansları ve Ayrıştırma Sayıları

Ramanujan, Hindistan’da bir postanede memurluk yaparken, kendi kendine matematik çalışan bir matematik aşığı idi. Sonraları “eğitimsiz” bu deha, tüm zamanların en büyük matematiksel akıllarından biri olarak kabul edildiği muazzam bir öykünün baş kahramanı oldu. 1914’te Hardy’nin kendisini İngiltere’ye davet etmesi üzerine, matematikteki en büyüleyici işbirliklerinden birini başlatmak üzere yola koyuldu. Ramanujan, İngiltere’de Hardy ile beraber çeşitli konularda çalıştı. Hindistan’da yeteri kadar eğitim almamıştı ve matematiksel ifadeleri kullanırken kendi geliştirdiği notasyonları kullanıyordu.

Cambridge Üniversitesinde 1-2 yılda aldığı eğitimlerle kafasındaki fikirleri matematiksel olarak daha düzgün ifade edebilir hale geldi ve bu aşamadan sonra kaleme aldığı makaleler artık dünya standartlarındaydı. Ramanujan ve Hardy bir doğal sayının ayrıştırma sayısını hesaplayan bir yol geliştirdiler. Bu, Hindistan’dan gelen bu genç adamın Kraliyet Bilimler Akademisine (Royal Society) aday gösterilmesine neden oldu. Ramanujan sadece 30 yaşında iken, bu akademiye üye olan en genç bilim insanlarından biri oldu.

ramanujan
Ramanujan’ın Kraliyet Bilimler Akademisine üye adaylık sertifikası

Ayrıştırma Sayısı (Partition Numbers)

Herhangi bir doğal sayıyı, kaç farklı şekilde doğal sayıların toplamı olarak yazabiliriz? Örneğin 3 sayısını 3 farklı şekilde yazabiliriz: 3=3; 3=2+1; 3=1+1+1; Şimdi de 4 sayısını yazmaya çalışalım: 4=4; 4=3+1; 4= 2+2; 4= 2+1+1 ve 4= 1+1+1+1

Küçük doğal sayılar için bu el yordamıyla yapmak kolaydır. Ama sayılar büyüdükçe hesap yapmak da güçleşiyor.  Hal böyleyken, matematikçiler “Acaba bu hesabı yapmanın daha kolay bir yolu var mıdır?” diye düşünmüşlerdir. n bir doğal sayı ve P(n) de  n’nin tüm bölüntülerinin sayısı olsun. Görüldüğü üzere P(3)=3  ve P(4)=5 tir. Diğer ilk 10 sayı içinde bölüntü sayısı aşağıda görüldüğü gibidir.

Hardy ve Ramanujan da bu problemle ilgilendiler ve bunun için ayrıştırma sayılarının tablosunu oluşturan “insan hesap makinesi” Percy MacMahon ile çalıştılar. Her ne kadar bu tablodaki sayılar arasında bir ilişki görünmese bile Ramanujan, bir şeyler hissetmişti.

İlk 10 doğal sayı için ayrıştırma sayıları

Ramanujan 4,9,14 gibi n=5k+4 formundaki sayıların ayrıştırma sayılarının 5’e tam bölündüğünü ortaya koydu. Benzer şekilde n= 7k+5 şeklindeki sayıların 7’ye ve n=11k+6 şeklindeki sayıların da 11’e tam bölündüğünü belirtti. Bu ifadelere Ramanujan kongrüansları denir. Ramanujan’ı Kraliyet Bilimler Akademisi üyesi yapan asimptotik formül, bölüntü sayılarının yaklaşık değerini hesaplamamızı sağlıyordu. 

Hardy ve Ramanujan formülün ne kadar iyi çalıştığını anlamak için MacMahon’un verileriyle kıyaslama yaptılar.

W(n):MacMahon’ın verileri

Tablodan da anlaşılacağı üzere, formül neredeyse istenen sonuçları veriyor.

Göz Atmak isterseniz

Kaynakça: Ramanujan: Dream of the possible;https://plus.maths.org/

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.