TOPOLOJİ

Königsberg Köprüsü ve Topolojinin Doğuşu

Bir grup bilim insanına göre topoloji, eski Prusya’daki Königsberg (günümüzdeki adıyla Kaliningrad) kentinin meraklı halkı sayesinde ortaya çıkmıştır.

Bu yazıyla hem topolojiye giriş yapıp hem de aslında topolojinin başlangıcı olan Königsberg köprüsü problemi ile tanışalım

Königsberg kentinin içinden Pregel nehri geçmekte ve bu nehir, şehri dört bölüme ayırmaktadır. Meşhur filozof Immanuel Kant’ın yaşadığı şehir, aynı zamanda matematikçi Leonhard Euler ile de bağıntılıdır.

Zamanında nehir üzerinde bu bölgeleri birleştiren yedi köprü varmış. Königsbergliler, merak ya da eğlence olsun diye bir oyun oynamaya başlamışlar.

Kentin belirli bir noktasından hareket edip her köprüyü bir ve yalnız bir kez geçerek başlangıç noktasına dönülebilir mi? 

Hiç birisi bu geziyi başaramamış elbette. Bu olay Leonhard Euler’ın kulağına gitmiş zamanla.

Euler yardıma yetişmiş, bir yol bulunmasının imkansız olduğunu kanıtlamıştır. Fakat aslında bundan daha fazlasını yapmıştır. Herhangi bir şehirde, herhangi bir köprü düzeninde bir yolu izlemenin mümkün olup olmadığını çabucak kontrol etmemizi mümkün kılan ölçütler üretmiştir.

Euler, kent akademisine söz konusu gezinin olanaklı olmadığını içeren problemin matematiksel kanıtını sundu. Euler, içinde uzaklık ve ölçü kavramı olmayan ama konumlarla ilgilenen yeni bir geometriden bahsetmekteydi.

Gerçekten bu problemde köprülerin uzaklığı, genişliği, Pregel ırmağından yüksekliği ve benzeri şeylerin önemi bulunmamaktadır. Bazı bilim insanları için topolojinin başlangıcı olarak düşünülen bu problem, aynı zamanda matematiğin bir başka dalı olan çizge kuramının temellerine dayanak oluşturmuştur.

Euler’in kanıtının devrimci yönü grafik kuramını kullanmış olmasıdır; çünkü gerçek Königsberg haritasının yerine kenarlar (köprüler) ve noktalardan (toprak alanlar) oluşan bir grafik çizmiştir.

Yararlandığı kavramlardan biri de bir köşenin derecesi olmuştur, yani bir köşede “buluşan” kenarların sayısı. Örneğin alttaki şekilde C’nin derecesi 5’tir.

Peki böyle bir gezinme nasıl mümkündür?

Euler’in teorisine göre “Bir şehirdeki köprülerin her birinin üzerinden yalnızca bir kez geçilebilmesi için, en fazla iki noktanın derecesi tek olmalıdır.”

Oysaki Königsberg’i temsil eden çizgeye baktığımızda her noktanın derecesinin tek olduğu görülmektedir. Bu da her köprüden bir kez geçen bir yürüyüşün imkansız olduğunu gösterir.

Bunun anlamı şudur: Bir köşeden geziye başlayan birisinin aynı köşeye farklı bir yoldan dönebilmesi için bu köşeye dönen farklı bir yolun olması gerekir. Yani çıkış – giriş yolu  yani noktanın derecesi çift olmalıdır.

Königsberg’de aşağıdaki şekilde olduğu gibi bir tane fazla köprü yapıldığını yani sekiz tane köprü kurulduğunu varsayalım.

Bu durumda bir köprüden (çizgiden) bir daha geçmeden bütün köprülerden geçilebilir mi? Evet geçilebilir.

Aslında bu sorudan sonra ortaya bir adına “El Sıkışma Teoremi” denilen bir soru daha atılmıştır. Üç noktasının derecesi tek olan bir çizge çizilebilir mi?

İsteyen deneyebilir ancak bunun imkansız olduğunu göreceksiniz. Çünkü herhangi bir çizgede tek dereceli noktaların sayısı da çift olmak zorundadır. Bu teorem çizge kuramının ilk teoremidir.

Tesisat problemi de eski bir bilmecedir. Üç eve elektrik, gaz ve su bağlamanız gerekiyor. Yalnız ufak bir sorun var: Bağlantıların birbirinin üzerinden geçmemesi gerekiyor.

Bunu yapmak mümkün değildir. Üç noktayı başka üç noktaya (toplam dokuz çizgiyle) bağlayan bir çizge, düzlem üzerinde hiç kesişme olmadan çizilemez. Buna düzlemsel olmayan çizge denir.

1930’da Polonyalı matematikçi Kazimierz Kuratowski, bir çizgenin ancak ve ancak bu ikisinden birini bir alt-çizge olarak barındırmaması durumunda düzlemsel olabileceğini söyleyerek teoremi ispatlamıştır.

Konu hakkında kısa bir video anlatım izlemek isterseniz…

Kaynaklar:

http://www.baskent.edu.tr/~tkaracay/etudio/agora/zv/2007/konigsberg.htm

Tony Crilly-Matematik Geleceği Kestirebilir mi?

Tonny Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu