Karmaşık Sayılarda i Üzeri i Kaçtır?

Lisede karmaşık sayılar konusunu görenler i sayısının kuvvetlerini hesaplamayı bilirler. Bilmeyenlere kısa bir ön bilgi verelim. “Hangi sayının karesi -1 yapar?” ya da cebirsel olarak ifade edersek x²=-1 sorunun cevabı -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 olur. Ancak çift dereceli köklerin içinin negatif olamayacağını biliyoruz. İşte bu nedenle bu sayı reel sayılar kümemizde yer almaz.

Karmaşık sayılar kümesinde bulunur ve √ -1 ifadesi de i (imaginary) yani sanal bir sayı olarak bilinir. Bu tanımdan sonra da i.i=i²=-1; i.i.i=i³=-i… biçiminde i sayının kuvvetlerini hesaplayabiliriz. Bu noktada meraklı bir kişinin aklına i üzeri i sayısının sonucunun ne olacağı da gelebilir.

Baştan söyleyelim, şaşırabilirsiniz. Çünkü bu sayının sonucu gerçek bir sayıdır ve tam olarak söylemek gerekirse 0.2078795763507619085… biçiminde uzayıp giden bir irrasyonel sayıdır. Bu sonucun nasıl ortaya çıktığını anlayabilmeniz için temel düzeyde logaritma ve ayrıca Euler özdeşliğini bilmeye ihtiyacınız var.

Euler Özdeşliği Nedir?

Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve ye=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=e^x ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de koniklerdir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında herhangi bir doğrudan ilişki var mıdır?

Böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini göstermiş ve sonucunda Euler Özdeşliği çıkmıştı. Bu özdeşlik  e^ix= cosx +isinx biçimindedir. ( İspatı için bu yazımıza göz atabilirsiniz. )

Henüz daha sorumuzun cevabına gelmedik ama yaklaşıyoruz. Euler özdeşliğinde x yerine açılar yerleştirerek ilginç sonuçlara ulaşabilirsiniz. Örneğin x=0 için e⁰=cos0+isin0 olur. ( cos0=1 ve sin0=0 dır) Bu da bize pek de ilginç olmayan e⁰=1 sonucunu verir. Aynı biçimde devam edersek e ^i.π/2 =cos π/2 +isin π/2 biçimindedir. ( cos π/2 =0 ve sin π/2 =1) Bu durumda sonucumuz e ^i.π/2 =i olacaktır. Bu bilgiyi akılda tutarak şimdi asıl sorumuza dönebiliriz.

i Üzeri i Kaçtır?

Şimdi i üzeri i sonucunu A’ya eşitleyelim. Önce her iki tarafın logaritmasını alalım. Daha sonrada bu işlemi tersine çevirelim. Başlayalım.

i ⁱ= A; her iki tarafında logaritmasını alınca log _e iⁱ=log _e A . Temel logaritma kuralını uygulayalım ve üstteki i’den kurtulalım. Bu durumda i . log _e i=log _e A .Hatırlayalım; e ^i.π/2 sonucunun i yaptığını biliyoruz. Şimdi yerine yazalım. Eşitliğimiz i . log _e e ^i.π/2 =log _e A biçiminde oldu.

Üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu birbirinin tersidir. Bu nedenle log _e e ^x=x yapar. Şimdi bu karlı uygulayalım. i.i. π/2 = log _e A yani i² . π/2 = log _e A. Buradan – π/2 = log _e A sonucuna ulaştık. Şimdi işlemi tersini çevirelim. Her iki tarafı da üstel olarak yazalım. e ^{– π/2}= e ^{log _e A} elde ederiz. Gerekli sadeleştirmeleri de yaparsak geriye e ^{– π/2} =A kalır.

A’yı en başta i ⁱ olarak kabul etmiştik. Bu durumda e ^{– π/2}= i ⁱ olur. Geldiğimiz son noktada dikkat ederseniz eşitliğin sağ tarafındaki tüm ifadeler irrasyonel sayılardır ve kaça eşit olduklarını biliyoruz. Şimdi yaklaşık π=3,14 ve e=2.71 sonuçlarını yerlerine yazıp gerekli hesaplamayı yaparsak i üzeri i yaklaşık olarak 0,20788 biçiminde olur. Böylece, sanal bir sayının sanal kuvveti gerçek sayı olur. Ayrıca hatırlatalım. Bizim hesaplamamızda ulaştığımız değer birçok değerden sadece biridir. π/2 yerine 3π/2 , 5π/2 gibi farklı değerler aldığımız zaman farklı sonuçlar elde ederiz.

• Dünyayı Değiştiren Günümüzü Biçimlendiren 17 Denklem
• Hayal Edilemeyen Sayılar: Karmaşık Sayılar
• Euler Formülü Neden En Güzel Formüldür ve Onu Özel Kılan Şey Nedir?
• Logaritma Nedir? Logaritmaya Neden Halen İhtiyacımız Var?
• Euler Sayısı Diğer Adıyla e Sayısı Nedir ve Neden Önemlidir?

Kaynaklar ve ileri okumalar:

• What does i^i = ?; Yayınlanma tarihi: 12 Eylül 2017; Bağlantı: https://www.youtube.com
• What Is i Raised To The Power i?; Yayınlanma tarihi: 19 Ocak 2022; Bağlantı: https://www.scienceabc.com/

Dip Not:

Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım

Matematiksel