İlginç Sayılar

Karmaşık Sayılarda i Üzeri i Kaçtır?

Lisede karmaşık sayılar konusunu görenler i sayısının kuvvetlerini hesaplamayı bilirler. Bilmeyenlere kısa bir ön bilgi verelim. “Hangi sayının karesi -1 yapar?” ya da cebirsel olarak ifade edersek x2=-1 sorunun cevabı -1’in karekökü diğer deyişle x=√ -1 olur. Ancak çift dereceli köklerin içinin negatif olamayacağını biliyoruz. İşte bu nedenle bu sayı reel sayılar kümemizde yer almaz. Karmaşık sayılar kümesinde bulunur ve √ -1 ifadesi de i (imaginary) yani sanal bir sayı olarak bilinir. Bu tanımdan sonra da i.i=i2=-1; i.i.i=i3=-i… biçiminde i sayının kuvvetlerini hesaplayabiliriz. Bu noktada meraklı bir kişinin aklına i üzeri i sayısının sonucunun ne olacağı da gelebilir.

Baştan söyleyelim, şaşırabilirsiniz. Çünkü bu sayının sonucu gerçek bir sayıdır ve tam olarak söylemek gerekirse 0.2078795763507619085… biçiminde uzayıp giden bir irrasyonel sayıdır. Bu sonucun nasıl ortaya çıktığını anlayabilmeniz için temel düzeyde logaritma ve ayrıca Euler özdeşliğini bilmeye ihtiyacınız var.

Euler Özdeşliği Nedir?

Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve ye=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=ex ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de koniklerdir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında herhangi bir doğrudan ilişki var mıdır? Böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini göstermiş ve sonucunda Euler Özdeşliği çıkmıştı. Bu özdeşlik  eix= cosx +isinx biçimindedir. ( İspatı için bu yazımıza göz atabilirsiniz. )

Henüz daha sorumuzun cevabına gelmedik ama yaklaşıyoruz. Euler özdeşliğinde x yerine açılar yerleştirerek ilginç sonuçlara ulaşabilirsiniz. Örneğin x=0 için e0=cos0+isin0 olur. ( cos0=1 ve sin0=0 dır) Bu da bize pek de ilginç olmayan e0=1 sonucunu verir. Aynı biçimde devam edersek e i.π/2 =cos π/2 +isin π/2 biçimindedir. ( cos π/2 =0 ve sin π/2 =1) Bu durumda sonucumuz e i.π/2 =i olacaktır. Bu bilgiyi akılda tutarak şimdi asıl sorumuza dönebiliriz.

i Üzeri i Kaçtır?

Şimdi i üzeri i sonucunu A’ya eşitleyelim. Önce her iki tarafın logaritmasını alalım. Daha sonrada bu işlemi tersine çevirelim. Başlayalım.

i i= A; her iki tarafında logaritmasını alınca log e ii=log e A . Temel logaritma kuralını uygulayalım ve üstteki i’den kurtulalım. Bu durumda i . log e i=log e A .Hatırlayalım; e i.π/2 sonucunun i yaptığını biliyoruz. Şimdi yerine yazalım. Eşitliğimiz i . log e e i.π/2 =log e A biçiminde oldu. Üstel fonksiyon ile logaritma fonksiyonu birbirinin tersidir. Bu nedenle log e e x=x yapar. Şimdi bu karlı uygulayalım. i.i. π/2 = log e A yani i2 . π/2 = log e A. Buradan – π/2 = log e A sonucuna ulaştık. Şimdi işlemi tersini çevirelim. Her iki tarafı da üstel olarak yazalım. e – π/2= e log e A elde ederiz. Gerekli sadeleştirmeleri de yaparsak geriye e – π/2 =A kalır.

A’yı en başta i i olarak kabul etmiştik. Bu durumda e – π/2= i i olur. Geldiğimiz son noktada dikkat ederseniz eşitliğin sağ tarafındaki tüm ifadeler irrasyonel sayılardır ve kaça eşit olduklarını biliyoruz. Şimdi yaklaşık π=3,14 ve e=2.71 sonuçlarını yerlerine yazıp gerekli hesaplamayı yaparsak i üzeri i yaklaşık olarak 0,20788 biçiminde olur. Böylece, sanal bir sayının sanal kuvveti gerçek sayı olur. Ayrıca hatırlatalım. Bizim hesaplamamızda ulaştığımız değer birçok değerden sadece biridir. π/2 yerine 3π/2 , 5π/2 gibi farklı değerler aldığımız zaman farklı sonuçlar elde ederiz.

Kaynaklar:

Matematiksel

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu