MATEMATİK

Karmaşık Sayılar Neden Kıyaslanamaz?

Lise yıllarında karmaşık sayılar sıralanamaz denir, geçilir. Aslında bu doğru değildir. Karmaşık sayılar tabii ki kıyaslanabilir.

Bir şeyleri nasıl kıyaslayacağımız bizim takdirimizde olan bir durumdur. Örneğin, sözlükler kelimeleri, basit bir alfabetik sıralamaya ve kelimelerin sözlük sıralamasına göre kıyaslar. iki kelime kıyaslanırken kelimelerdeki ilk farklı harf bulunur ve kelimenin öncelik durumu, o harfin öncelik durumuna göre belirlenir.

Bu, elbette, kelimeleri kıyaslamanın tek yolu değildir, fakat birçok durum için elverişli bir yöntemdir. Kelimeler herhangi bir kıyaslanma yöntemiyle “doğmamıştır” fakat yukarıda bahsettiğimiz kıyaslama yöntemi, insan eliyle oluşturulmuş bir yöntem olmakla birlikte, oldukça güzel ve kullanışlı bir yöntemdir.

İsimlerden oluşan uzun bir listeye bakarken, listenin alfabetik sıraya göre hazırlanmış olması işleri ciddi anlamda kolaylaştırır.

Şimdi vereceğimiz yöntem, karmaşık sayıları sıralamak için kullanılabilecek bir yöntemdir. Kıyaslamak istenilen iki karmaşık sayı, önce modül olarak kıyaslanır ve küçük modüle sahip olan sayı küçük sayı olarak işaretlenir.

Eğer iki sayının modülü birbirine eşitse, sayıların, 0 dahil ve 2π hariç olmak üzere, argümanları kıyaslanır.

Bu kadar!

Aynı modül değerine ve aynı argümana sahip sayılar birbirine eşittir ve bu yöntem herhangi iki kompleks sayı çifti için her zaman çalışır.

Bu kıyaslama ile

  • 1 < 4 < -7
  • i < 3
  • 1 < i < -1 < -i 
  • 3+3i < 5 < 3+4i < 5i < -5 gibi sıralamalar yapılabilir.

Bu sıralama, bir tam sıralamanın bütün özelliklerini gerçekler: Yani, herhangi iki kompleks sayı kıyaslanabilirdir, hiçbir sayı kendisinden daha küçük değildir, a < b ve b < a eşitsizliklerinden yalnızca birisi doğrudur, ve geçişme özelliği vardır, yani eğer a < b ve b < c ise a < c olur.

Bu yöntem, kompleks sayıları sıralamak için mümkün olan tek yöntem değildir. Fakat, bu yöntem, geometrik sezgiye de en uygun olan yöntemdir.

Kompleks sayıların bu kıyaslamasından, okullarda bahsedilmiyor olmasının sebebi, veya daha kötüsü okullarda “kompleks sayıların kıyaslanamaz” olduğunun söylenmesinin sebebi, bu tam sıralamayla yapılabilecek çok fazla şeyin olmamasıdır.

Asıl mesele, bu sıralamanın karmaşık sayılar cebriyle iyi çalışmıyor olmasıdır.

Bu iyi çalışmama haline örnek olarak,  i < -1 eşitsizliğinin her iki tarafına 1 eklendikten sonra elde edilen i+1< 0 eşitsizliği gösterilebilir. Elde edilen bu eşitsizlik yanlış bir eşitsizliktir. Bu durumda, “bir eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenirse eşitsizlik bozulmaz” savı artık çalışmaz.

Bu çalışmama durumu, bu kıyaslamanın toplama (ve ayrıca çarpma) işlemine uyumlu olmadığı anlamına gelir. Aslında, karmaşık sayılardaki hiçbir kıyaslama bu işlemlere uyumlu değildir.

“Karmaşık sayılar kıyaslanamaz” denmesinin arkasında yatan asıl sebep budur. Böyle diyerek, aslında, bu sayılardaki hiçbir kıyaslamanın, cebirsel işlemlerle iyi geçinemediğini ifade edilmek istenir.

Kaynak ve ileri okuma: https://qr.ae/TJN2GW

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Fatma Ayca Cetinkaya

Matematik alanındaki lisans derecemi Ankara Üniversitesi'nden, yüksek lisans ve doktora derecelerimi Mersin Üniversitesi'nden aldım. Halen Mersin Üniversitesi Matematik bölümünde Doktor Öğretim Üyesi unvanıyla çalışmaktayım.
Kapalı