MATEMATİKMATEMATİK TARİHİ

Kaos Teorisi ve Matematik

İnsanı tarih boyunca çok uğraştıran doğa olayları vardır. Hareket ve zaman bunların başında gelir. Bu gün kaos teorisi diye nitelenen fenomenler hareket kavramıyla doğrudan ilişkilidir.

Basit hareketleri temsil eden diferensiyel denklemler ya da denklem sistemleri genellikle doğrusal (linear) dır. Bunların genel çözümü, analitik fonksiyonlardan oluşan bir uzaydır. Bu uzaya sistemin çözüm uzayı diyoruz.

Öte yandan, fiziksel sistem karmaşıklaştıkça, onu temsil eden diferensiyel denklemlerdeki değişkenlerin sayıları (boyut) artar; yani sistem çok değişkenli olur. Ayrıca denklemdeki terimlerin dereceleri yükselir; yani sistem nonlinear olur.

Genellikle, bu tip denklemlerin analitik bir çözüm uzayı yoktur. Bu olgu, kaos diye adlandırılan fenomenlerin matematik diliyle açıklanamama nedenidir.

Bir dinamik sistemin bir andaki konumunu, hızını, yönünü ve ona etkiyen kuvvetleri biliyor iken, onun daha sonraki ya da daha önceki bir zamandaki durumunu da bilmek istiyoruz.

Analitik çözüm var olduğunda, iyi tanımlı sınır koşulları çözüm uzayından bir tek fonksiyon seçer. Eğer denklem sistemimiz bir hareketi temsil ediyorsa, seçtiğimiz fonksiyon o hareketin yörüngesidir. Farklı başlangıç noktaları farklı fonksiyonlar seçer; yani farklı başlangıç noktaları hareketler için farklı yörüngeler belirler.

kaos

Analitik çözüm uzayı olmayışının üstesinden gelmek için, evre ve evre uzayı kavramlarını kullanırız. Evre uzayı,  çözüm uzayının rolünü üstlenecektir. Ama analitik çözüm uzayındaki deterministik sonuçlara ulaşamayız.  Neden böyle olduğunu açıklayabilmek için bir kaç kavram daha gerek.

Determinizm

Biraz felsefi açıdan tanımlarsak, Klasik Mekaniğin (Newton Mekaniği) özü determinizmdir. Determinizm, “bir fiziksel sistemin şimdiki durumu, önceki durumunun sonucudur” der. Dolayısıyla her olay ve hareketi önceden belirlemek mümkündür.

Isaac Newton’un ortaya koyduğu hareketin üç temel yasası modern bilimi bütünüyle determinizme dayalı kılmıştır. Bu yasalar, determinizmi yalnız ileriye değil, geriye doğru da çalışan sağlam bir araç olarak görür.

Gerçekten, Newton’un hareket yasalarına göre, şu andaki olay ve hareket önceki olay ve hareketten çıktığı gibi, bundan sonra olacak olay veya hareket de şu andaki olay veya hareketin sonucu olacaktır.

Klasik fizikçi açısından, Halley kuyruklu yıldızının 2061 yılında yeniden dünyayı ziyaret edeceğini kesinlikle öngörebilmek ya da gelecek güneş tutulmasının ne zaman olacağını ve dünyanın neresinden en iyi görüneceğini şimdiden şaşmaz biçimde hesaplayabilmek, determinizmin yadsınamaz zaferidir.

Determinizmin matematiksel dili çok açıktır. Başlangıç koşullarını bilince, ona uyan biricik analitik çözümü, çözüm uzayından seçebiliriz.

Bu çözüme f diyelim. Herhangi bir t anında sistemin durumunu biliyorsak, f  fonksiyonunu biliyoruz demektir. Artık her a için f(t+a) ve f(t-a) değerlerini hesaplamak mümkündür.

Matematiksel açıdan bakınca çözüm fonksiyonunun grafiği üstünde gerçekleşen bu olgu, fiziksel açıdan bakınca söz konusu dinamik sistemin kendi yörüngesi üzerinde belli bir yerden ileriye ya da geriye doğru hareket ettirilebilmesi demektir.

Öyleyse, determinizmin uygulanabilmesi için, sistemin analitik çözümüne ve iyi belirlenmiş başlangıç koşullarına gerekseme vardır.  Çok kolaymış gibi görünen bu iş, gerçekte pek çok sistem için imkansızdır.

Bu imkansızlık kaos diye anılan fenomenleri yaratır.

rastgele dağılım ve zarlar

Tanrı Zar Atar mı?

Newton fiziği dorukta iken, 20.yüzyıl içinde onun eksiğini tamamlamak için yapılan çalışmalarda iki yeni teori ortaya çıktı: Kuantum Mekaniği ve Görelilik Kuramı.

Görelilik Kuramı, bu yazının kapsamı dışındadır. Kaos’un olasılığa dayalı yanıyla yakın ilişkisi nedeniyle, Kuantum Mekaniğine bir kaç tümce ayırmakta yarar vardır.

Atomun yapısını açıklamak için, atom altı parçacıkların hareketlerinin belirlenmesi gerekiyordu. Bu parçacıklara determinizm ilkesini uygulayabilmek için belli bir andaki konumlarının, hızlarının ve yönlerinin bilinmesi gerekiyordu.

Ama aynı anda konumlarını ve hızlarını ölçebilme olanağı yoktu; hız bilinirse konum bilinmiyor, konum bilinirse hız bilinmiyordu. Buna çare olarak “olasılık” kuramı kullanıldı.

Parçacıkların hızları ya da konumları belli olasılıklarla belirlendi. Dönemin en renkli kişilerinden Albert Einstein bu görüşe karşı durup “Tanrının zar attığına inanamam!” diyecektir. Ama, olayın çok inandırıcı yanı vardır. Yapılan tahmin bir parçacık için değil, milyonlarcası içindir.

Bir para atıp tura geleceğini tahmin ederseniz, ya yüzde yüz tutturur ya da yüzde yüz yanılmış olursunuz. Ama 1.000.000 milyon para atıp 500.000 tanesinin tura geleceğini söylerseniz yanılma payınız çok azalır.

Olasılığın kullanılışı, determinizmden bir sapıştır. Ancak, Kuantum Fiziği’nin görkemli doğuşu bile determinizmin önemini yok edemedi.

Bütün bunlardan önce, hemen 20.yüzyıl başlarken Newton Mekaniğine duyulan güveni sarsan görüşlerin ortaya çıkışını anımsamalıyız. 1898 yılında Fransız matematikçi Jacques Hadamard başlangıç koşulunda bir hata yapıldığında sistemin uzun dönemde öngörülemez olacağını belirtti.

1906 yılında Pierre Duhem benzer yargıya vardı. Ünlü Fransız Matematikçisi ve düşünürü Henri Poincaré 1900 yılında güneş sisteminin kararlı olup olmadığının kanıtlanamayacağını gösterdi.

Ölçümlemede Belirsizlik

Başlangıç koşulları dediğimiz sayıları nasıl belirleyeceğiz? Deneysel bilimlerde bunun tek yolu gözlemleme ve ölçümlemedir. Ama gözlemler, deneyler, ölçümler gerçek sayısal değerleri veremez; onları ancak belli bir yaklaşıklıkla, yani belli bir hatayla bulabiliriz.

Her ölçümlemede kaçınılmaz olan alet ve insan hatalarını bir yana koysak bile, kuramsal olarak hiç bir alet her zaman gerçek değerleri veremez. Çünkü gerçel sayıların ondalık temsilleri sonsuz haneyi gerektirir. Sonsuz haneli bir ölçüm aleti yapılamayacağı gibi, sonsuz haneli sayılarla işlemler de yapılamaz.

İrrasyonel sayı içeren basit bir toplama işleminde bile, o sayı yerine sonlu haneli yaklaşık bir değerini (rasyonel sayı) kullanırız. Ölçümlemede Belirsizlik dediğimiz bu olgu, bir fiziksel sistemin başlangıç koşullarının kesin olarak belirlenemeyeceği anlamına gelir. 

Bu olgunun determinizm ilkesinde yarattığı olumsuzluğu saptayan ilk kişi Henri Poincaré (1854-1912)  ‘dir. Şimdi bunun ilginç öyküsüne geçebiliriz. 

Kelebek Etkisi

Newton yasaları iki gök cisminin hareketine mükemmel uyum sağlar, ama ikiden çok cisim olduğunda analitik çözüm elde edilemez. Üç Cisim Problemi diye anılan bu problemin çözümü 20.yüzyıla girerken astronomide popüler bir konu oldu. Norveç Kralı II.Oscar, güneş sisteminin kararlı olup olmadığını ispatlayana ödül vereceğini duyurdu.

Henri Poincaré 1900 yılında, güneş sisteminin hareketini belirleyen denklem sisteminin çözümünün başlangıç koşullarına hassas bağımlı olduğunu, ancak başlangıç koşullarının asla doğru olarak saptanamayacağını, dolayısıyla güneş sisteminin kararlı olup olmadığının belirlenemeyeceğini gösterdi.

Bu öngörülemez durum için “kaos” terimini kullanan ilk kişi de odur. Böylece, Poincaré, istenen problemi çözmeden ödülün sahibi oldu. Ama unutmamak gerekir ki, bir problemin çözülemeyeceğini kanıtlamak, bazen problem çözmekten çok daha zordur.

Şimdi Poincaré’nin büyük bulgusunun matematiksel açıdan basit açıklamasını yapabiliriz. Dinamik sistemin analitik çözümü varsa, belli bir başlangıç değeri yakınındaki değerler için fonksiyon (yörünge) değerleri de birbirine yakındır (süreklilik).

Determinizm asıl gücünü buradan alır. Bu sistemlerde başlangıç koşulları kesinlikle belirlenemese bile, gerçek başlangıç değerlerine yakın değerlerin alınması sonuçta önemli farklar yaratmaz.

Analitik çözüm olmadığı zaman, çözüm yerine yerel noktalarda doğrusal yaklaşımlar kullanılır; onlardan sayısal çözümler elde edilir. O sayısal çözümler evreleri oluşturur.

Evreler başlangıç koşulları olarak alınır. Bu nedenle, evre uzayı çözüm uzayı yerine geçer. Doğrusal yaklaşımlar, boyut sayısına göre teğet doğru, teğet düzlem, hiper düzlem adlarını alırlar. Çözüm analitik olmadığından, birbirine çok yakın noktalardaki teğetler birbirinden çok uzakta olabilir.

Başka bir deyişle, analitik çözümlerde ortaya çıkan düzgünlük (süreklilik) koşulları sağlanmadığından, birbirine çok yakın başlangıç noktalarında bile birbirlerinden çok uzakta değerler alabilirler.

Bu kısa açıklamadan sonra, konu ile ilgilenen fizikçilerin kaos terimine yükledikleri anlamı ortaya koyabiliriz: Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık.

Fizikçilerin bunu ifade eden güzel bir deyimleri var: “Çin’de bir kelebek kanat çırparsa Teksas’ta kasırga olabilir”.  Bu sözde hiçbir politik ima olmadığını söylemeye gerek yoktur. Sadece, söylemek istedikleri şey, başlangıç koşullarındaki çok küçük değişim sistemin davranışında çok büyük fark yaratabilir.

Hoşgeldin Kaos!

Aya insan indiren, Mars’a uydu gönderen ve bu hareketlerin her saniyesini önceden öngören determinizmin büyük gücünü yanımızda hissetmek hepimize huzur veriyor. Ama, bir bilardo topunun masada nereye çarpacağını hesaplayamamak, üç gün sonrasının hava durumunu doğru tahmin edememek ya da bir dünya savaşının sonuçlarını öngörememek gibi olgular, kaygı verici değilse bile, determinizmin verdiği huzura gölge düşürecek kadar hayal kırıcıdır.

Konuşma diline indirirsek, davranışı önceden öngörülemeyen dinamik sistemleri ya da onların davranışlarını kaos olarak niteliyoruz. Fizikçilerin kaos terimine yükledikleri bu anlam ile sokaktaki adamın, hele hele politikacıların kaos terimine yükledikleri anlam çok farklıdır. Fizikçilerin söylediklerini, matematik diliyle ifade edersek kaosu daha iyi tanımlamış oluruz.

Nonlinear dinamik sistemlerin çoğu için öngörü yapmaya engel olan üç neden vardır:

  1. Sistemin analitik çözümü yoktur.
  2. Herhangi bir başlangıç koşulunu kesinlikle belirleyemeyiz (Ölçümlemede Belirsizlik İlkesi).
  3. Başlangıç koşullarında meydana gelen çok küçük değişim(ler) sonuçta çok büyük farklara neden olabilir (Başlangıç koşullarına hassas bağımlılık – Kelebek etkisi).
grafiksel kelebek

Poincaré ‘nin 1900 yılında ortaya koyduğu kaos kavramı, meteorolojist Edward Lorenz’in 1963 yılında meteorolojik değişimlerin başlangıç koşullarına hassas bağımlılığı diye ifade edilen gözlemlerine kadar kimsenin ilgisini çekmedi.

Çünkü fizikçiler, yirminci yüzyılın ilk yarısında daha çekici bir konuyla; yani Kuantum Fiziği ile ilgilenmeye başladılar ve Poincaré ’nin önemli buluşunu ihmal ettiler.

Lorenz, Poincaré ‘nin 63 yıl önceki bulgusunu ondan habersiz olarak yeniden buldu. Ele aldığı dinamik sistem için başlangıç koşullarında oluşacak küçük değişimlerin sonuca çok büyük etkiler yaptığını gözlemledi. Böylece, uzun süreli hava tahminleri yapmanın olanaksız olduğunu ortaya koydu.

Matematikçiler, Çin’de kanat çırpan kelebeğin nasıl olup da Teksas’ta kasırga yaratacağını açıklayan matematiksel modelden çok, Teksas’ta olan kasırgayı Çin’de hangi kelebeğin hangi kanat çırpışıyla yarattığını bilmek isterler. Günün birinde kaos bir bilim olacaksa, matematikçiler o kelebeği bulmak zorundadır.

Timur Karaçay

Konu ile ilgili bir başka yazımıza göz atmak isterseniz: Kaosla Dans

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Editör

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı