Kalkülüs ve Optimizasyon

Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en verimli biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir kısaca. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse de bir fonksiyonun minimize veya maksimize edilmesidir.

Kalkülüs’ün paha biçilmez değerde olduğu uygulama alanlarından biri, bir niceliğin istenen minimum ve maksimum değerini bulmaktır.

Aslında bu konuya muhtemel lise düzeyinde eğitim alan her öğrenci aşinadır. Ancak o süreçte yapılan şey, aslında kullanılan bilginin önemimin kavramaktan ziyade en kısa sürede soruya doğru cevabı bulabilmektir sadece.

Şimdi basit bir soru ile başlayalım.

Diyelim ki bir çiftçinin 800 metre çiti var ve düz bir nehre bitişik dikdörtgen bir alanı çitle çevirmek istiyor. Bu sonlu miktardaki çiti, en fazla yararı ve karı sağlayabilmek için en geniş arazi parçasını çevirmekte nasıl kullanmalıdır?

Nehri, dikdörtgenin eni yerine uzun kenarlardan biri olarak almanın çiftçinin yararına olacağı açıktır. Daha sonra bu bulmacayı çizerek ya da elindeki 800 metre çite uyacak çeşitli enleri ve boyları deneyerek doğru çözüme ulaşabilir. Ama eğer matematik biliyorsa bu kadara fazla çaba harcamasına gerek de yok aslında…

Çiftçi dikdörtgen tarlanın enini x ve boyu olan tek kenarı m olarak tanımlarsa, m uzunluğu (800 – 2x) biçiminde ifade edilebilir.

Tarlanın alanı x.m kadardır ancak bu yeni eşitliğimizi kullanarak bunu istersek Alan: x.(800-2x) olarak da yazabiliriz artık. Biraz düzenleme ile alanımız 800x – 2x2 biçimini alır.

Şimdi sorumuz şu…

Şimdi bu denklemde rastgele x değerleri deneyerek de yaklaşık cevaplar bulabilir çiftçimiz elbette ama unutmayın, o matematik biliyor, yani deneme yanılma metodunu kullanmasına pek gerek yok…

Yapması gereken farklı x değerleri için alanının değişen boyutlarını bir grafiğe çevirmek. Bu grafikte x için giderek artan değerler verdikçe y eksenine oturttuğu alan bir süre için artacak, bir yerlerde maksimum boyutuna ulaşacak ve devamında da azalmaya başlayacaktır. Problemimiz için ortaya çıkan eğri yandaki gibi olacaktır bu durumda.

Daha önceki yazılarda türevin değişim ile olan ilişkisinden bahsetmiştik ancak türevin bir başka önemli ve değerli yorumu daha vardır. Türev bir eğrinin eğimini verir bizlere.

Bir eğri üzerindeki bir noktanın dikliği, bu noktadaki teğet doğrusunun eğimi diye tanımlanır. Eğrinin en yüksek noktasında diklik sıfır olmalıdır bu durumda çünkü teğet yataydır. Dolayısıyla alanın türevini hesaplayıp  sıfıra eşitlersek bilinmeyen x değerini bulmak çok kolaydır.

Sorumuza dönersek, 800x – 2x2 nin türevi 800 – 4x’tir; 800 – 4x = O denklemini çözerek x = 200’ün optimum değer olduğunu, bize 80.000 metrekarelik bir alan verdiğini bulabilir çiftçimiz…

Kalkülüs olmasaydı ne yörüngede dolaşan uydular olurdu, ne ekonomi kuramı, ne istatistik ne de optimal hesaplamalar. Değişimin olduğu her yerde karşımıza kalkülüs çıkar anlayacağınız…

Kaynaklar: 

Tony Crilly – Matematik Geleceği Kestirebilir mi?

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Güvercin Yuvası Prensibi

Güvercin yuvası ilkesi, matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda bizi bir çok ilginç olgularla …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');