Kalkülüs: Değişimin Matematiğini Anlamak

Hayat sabit değildir, her dakika bir öncekinden farklıdır; dünya bir akış, bir değişim halindedir. Bu değişimi anlamlandırma çabamız ise bizi kalkülüse yani değişimin matematiğine taşır.

Kalkülüs insanın göğe bakıp güneş sisteminin ve ötesini anlama arzusu sonucu geliştirildi. Newton ile Leibniz’in ellerinde gezegenlerin hareketlerini hesaplamakta kullanıldı. Günümüzde ise değişimi tanımlamayı, ölçmeyi ve anlamayı istediğimiz her yerde karşımıza çıkmakta. Kalkülüs’ün temel fikri şudur: Değişimini ölçtüğümüz bir nicelik, değişkenlerin değerine dayanır.

Kalkülüs problemlerinin temelleri antik Yunan dönemine kadar gitse de, Newton ile Leibniz, Kalkülüs’ü birbirinden bağımsız olarak keşfeden ilk matematikçiler olarak anılır. Süreç biraz şaibelidir ama…

Newton, 1704 yılında yayımladığı Optik adlı eseri­nin sonuna, 38 yıl önce keşfettiği bu hesapla ilgili bilgileri eklemişti. Leibniz ise diferansiyel ve integral hesabı ile yaptığı çalışmaları çeşitli dergilerde makaleler halinde 1684 yılından itibaren yayımlamaya başlamıştı. Söylentiye göre Leibniz, Newton’un kalkülüs konulu çalışma notlarını görmüş ve onlardan yararlanarak ve başka notasyon kullanarak yayım konusunda ilk olmayı hedeflemişti.

Devamında, Newton, Leibniz’i fikirlerini çaldığını iddia ederek suçladı. Ancak finalde anlaşıldı ki her ikisi de birbirlerinden habersiz aynı sonuçlara varmıştı. Aklın yolu bir anlayacağınız…

On yedinci yüzyıla gelindiğinde cebir ile geometri arasında bir bağlantı kurunca, kalkülüs kesin olarak varlık kazanmış oldu. Birdenbire, hareket ve değişim analiz edebilir hale geldi.

Newton genel olarak fizikte kalkülüsü kullanan ilk kişi olsa da, Leibniz’in kurallar dizgesini oluşturan ve bugün kullandığımız işaretlerin çoğunu bulan kişi olduğunu artık biliyoruz. Leibniz “kalkülüs” terimini ortaya attı, Newton ise “akışkanlar bilimi” ni ortaya koydu.

Leibniz ile Newton arasında kalkülüs alanında yaşanan sorunlardan birisi de notasyon. Örneğin bir “x” büyüklüğünün “t” değişkenine göre değişme hızını Leibniz “dx/dt” ile gösterirken, Newton “x”in üzerinde bir nokta ile gösteriyordu. dx/dt notasyonu kalkülüs düşüncesine çok daha uyumluyken, Newton’un notasyonu hız ve ivmeyi daha iyi betimlemesine karşın iki değişkenli fonksiyonlar durumunda daha az etkin kalıyordu. Sonuçta günümüzde kazanan notasyon da Leibniz’in ki oldu.

Bu iki adamın geliştirdiği Kalkülüsün birbirini tamamlayan iki yönü vardır: “Diferansiyel Kalkülüs” ve “İntegral Kalkülüs”. Aslında bunlar bir madalyonun iki yüzünü oluşturur; aralarında ters bir ilişki vardır. Diferansiyel Kalkülüs “ayırmak”la, İntegral Kalkülüs ise “birleştirmek”le ilgilidir.

Diferansiyel Kalkülüsün başlıca amacı değişim oranını, değişimin ne kadar hızlı ya da yavaş gerçekleştiğini ölçmektir; bu orana “türev“denir. Türevi bulma sürecine diferansiyelini alma denir.

Şimdi bir örnek üzerinden konuyu açıklamaya çalışalım. Yeryüzünden uzaya doğru bir roket fırlattık ve bu roketin  x dakika sonra roketin anlık hızını öğrenmek istiyoruz. Gerçekte kat edilen mesafe ile sarf olunan süre arasındaki ilişki, roketle ilgili her tür etkene bağlı olacaktır; örneğin roketteki yakıtın miktarına, havanın direncine, roket uzaya yükselirken Dünya’nın çekiminde meydana gelen azalmaya. Alınan kilometreleri y, geçen süreyi x olarak düşünürek mesela y = x2  şeklinde bir ilişki olduğunu varsayalım. Bunun anlamı, roketin 1 dakika sonra 1 km, ama beş dakika sonra 25 km yol alacağıdır.

Roketin havalanmasından 5 dakika sonraki anlık hızı hesaplayabilmek için, öncelikle Leibniz’in Δx ve Δy yi bulmamız lazım. Δx = 0,01 dakika diyelim bu demektir ki zamanda (x) aldığımız iki nokta 5 dakika ile 5,01 dakikadır. y = x2 varsayımını kullanarak bu süre zarfında kat edilen mesafenin 0,1001 km olduğunu bulabiliriz. Sonucunda da, 0,1001 km’nin 0,01 dakikaya bölünmesiyle dakikada 10,0 1 km olarak anlık hızı hesaplayabiliriz. Daha bile kısa zaman aralıklarını dikkate alırsak, yani Kalkülüs’ün ardındaki temel fikir olan limit sürecini uygularsak, ortalama hız, roketin havada geçirdiği 5’inci dakikadaki anlık hızı olan 10 km’ye yaklaşacaktır.

Aslında varsayımımız, y=x2 ifadesi temelinde, x zamanı için hangi değeri seçersek seçelim anlık hız yine x’in iki katı olan sayıya eşit olacaktır. Leibniz bu sonucu dy/dx = 2x şeklinde ifade etmişti; burada dy/dx, y=x2‘nin türevidir.

Şimdi bir de madalyonun öteki tarafına bakalım…

İntegral Kalkülüs bu problemin ters kurulmuş biçimini çözmemizi sağlar: Roketin hızını bilebiliriz, ama bu kez de belli bir anda almış olduğu mesafeyi hesaplamak isteriz. Bu hesaplama hızın integralini bulmaya dayanır.

Şekil1

Başka bir roketin dakikada 10 km gibi sabit bir hızı (v) olduğunu varsayalım ve hız/zaman çizelgesini oluşturalım.( Şekil1)

Peki 5 dakika sonra roketin yüksekliği ne olur? Basit bir çarpma işlemi ile cevabımız 50’dir elbette. Grafiği incelediğimiz zaman görebileceğimiz gibi bu aynı zamanda oluşan dikdörtgenin alanına eşittir.

Şekil2

Tabii ki ivmelenme yüzünden roketimiz yukarı doğru sabit bir hızla yol almıyordur. Bu yüzden v hızının değişmekte olduğunu, herhangi bir anda, bir saatte alınan km sayısının, o ana kadar sarf edilen sürenin iki katı olacağını, yani v = 2x olduğunu varsayalım. Bu x ilerledikçe roketin daha hızlı hareket ettiği anlamına gelir. Grafiğini incelersek( Şekil2) burada da kat edilen mesafeyi, OAB üçgeninin alanı verecektir. Bu alan, OABC dikdörtgeninin alanının yarısına
eşittir. Dolayısıyla bu da x çarpı 2x bölü iki hesabıyla x2 cevabına bizi götürecektir.

Bir grafiğin altında kalan alanı bulmak İntegral Kalkülüs’ün temelidir. Bunun için de “toplam” anlamına gelen “sum” kelimesinin biraz bozulmuş hali olan bir notasyon kullanılmış (∫);  ∫vdx olarak ifade edilmiş ve buna v’nin integrali denmiştir.

Kısacası…

Diferansiyel Kalkülüs (hızı bulmak için): y = x2 veriliyse dy/dx= 2x olduğunu buluruz.
İntegral Kalkülüs (kat edilen mesafeyi bulmak için): v = 2x veriliyse ∫vdx = x2‘yi buluruz.

Newton’ın da Leibniz’in de fark ettiği üzere diferansiyeli alma ve integrali alma işlemleri birbirlerine ters işlemlerdir.

Kalkülüs, Newton ile Leibniz’in bugünlere kalan mirasıdır. Bilimin, sosyal bilimlerin, istatistiğin ya da herhangi bir mühendislik dalının, bu muhteşem düşüncelere borçlu olmayan bir tek köşesi bile yoktur.

Kaynaklar:

Dünyayı Değiştiren 100 Fikir – Prof. Dr. Ulrike Tillmann, Oxford Üniversitesi

Zeki Tez –  Matematiğin Kültürel Tarihi

Tony Crilly-Matematik Geleceği Kestirebilir mi?

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Kalkülüs ve Optimizasyon

Optimizasyon eldeki kısıtlı kaynakları en verimli biçimde kullanmak olarak tanımlanabilir kısaca. Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');