Bir araç kullandığınızda hız göstergesine bakarak hızınızın arttığını veya azaldığını gözlemlemeniz kolaydır. Peki ama bir bilgisayar bunu nasıl yapar? Bir arabanın hızı veya bir sonraki şeritten ne kadar uzakta olduğunuz gibi, değişen süreçleri hesaplamak bir bilgisayar için kolay değildir.
Bilgisayarlar her şeyi matematiksel olarak çözmek zorundadır. Ancak bu matematiksel yöntemlerin tasarlanması çok da kolay değildir. İngilizler için Isaac Newton bu matematiksel buluştan sorumludur. Kimileri için de bu Alman Gottfried Wilhelm Leibniz’in başarısıdır.
Aslında her ikisi de tamamen aynı fikri ortaya atmıştı. İkisi de değişimi Kalkülüs sayesinde hesaplayabileceğimizi buldu. Günümüzde matematiksel analizin başlangıcı olan Kalkülüs, Latincede calculus saymak ya da hesap yapmak için kullanılan çakıl taşı anlamına gelir. Aşağıda okuyacağınız da ilginç ortaya çıkış sürecidir.
Newton Leibniz’e Karşı
Newton ve Leibniz, 1660 ile 1690 yılları arasında, birbirinden tamamen bağımsız olarak, yeni bir matematik biçimi tasarladılar. Sonucunda ikisi de diğerinin tam olarak aynı fikre sahip olduğuna inanamadı. Yeni yöntemleri, bir şeyin zamanla ne kadar değiştiğini ölçmelerini sağladı.
Çalışmalarının iki bileşenini bizler günümüzde türev ve integral olarak biliyoruz. Her ikisi de çığır açan teorilere imza atmış iki matematikçiydi. Ama tarih kitaplarına ilk kimin adı yazılmalıydı? Özellikle Newton İngiliz ve Leibniz Alman olduğu için bu önemli bir sorundu. İki ülke o dönemde birbirleriyle pek iyi ilişkiler içinde olmadığından, sansasyonel keşifleri zaman içinde ulusal bir gurur meselesi haline geldi.
1684’te Leibniz, değişimi hesaplamak için bir yöntem olan keşfini duyurdu. 1693’te de kalkülüsü açıklayan ilk kitabını yayınladı. Newton ise neredeyse hiçbir şey yayınlamadı. Yakınları onun yeni bir matematiksel yöntem keşfettiğini biliyordu, ancak kimse tam olarak ne olduğunu bilmiyordu.
Newton yöntemini olabildiğince gizli tutarak bu yöntemi kullanan ilk kişi olmayı planlıyordu. Leibniz’in aniden aynı matematiksel yöntemin keşfini ortaya koyması onu elbette fazlasıyla da sinirlendirdi. Aslında bir yerde o da haklı elbette ama aklın yolu anlaşılan birdi. Ama Newton bu durumu kolay kabullenmeyecekti.
Kalkülüs Savaşları
Newton, Leibniz’e 1676’da yeni yöntemini şifreli bir biçimde açıklayan bir mektup göndermişti. Kullandığı şifrenin çözülemez cinsten olduğu düşünülürse muhtemelen biraz da bu mektubu boy göstermek adına yollamıştı. Ancak bu mektup kalkülüs savaşlarının merkezinde yer aldı.
Newton, Leibniz’i fikirlerini çalmakla suçladı. Bunu bilim tarihindeki en tatsız tartışmalardan biri takip etti. Leibniz kendini savunan bir kitap yazdı ve dönemin en ünlü bilim kurumu olan Royal Society’den yardım istedi. Dernek, hangisinin teoriyi önce bulduğunu belirlemek için bağımsız bir araştırma başlattı.
Ne yazık ki, soruşturma hiç de bağımsız değildi. Newton o sırada bu derneğin başkanıydı. Komite gerçekte hiçbir şey yapmadı. Newton gizlice raporu kendisi yazdı, doğal olarak yeni yöntemi kendisini icat ettiğini, Leibniz’in de yenilgisini kabul etmeyi reddeden bir hırsız olduğunu kaleme aldı.
Rapor elbette hiçbir şeyi çözmedi. Leibniz, Royal Society’nin raporuna bir yanıt vererek itibarını savundu. Ancak Leibniz’in 1716’daki ölümünden çok sonrasına kadar tartışma devam etti. Günümüzde Newton’un gerçekten de ilk önce teoriyi bulduğunu biliyoruz. Ancak o zamanlar Leibniz, matematik hakkında henüz hiçbir şey bilmeyen yirmi yaşında bir gençti. Yine de Newton’un fikirlerini çalmamıştı.
Kalkülüs Neden Bu Kadar Önemlidir?
Newton ve Leibniz’in tasarladığı şey bir şeylerin ne kadar değiştiğini hesaplamanın bir yoluydu. O zamandan önce, yalnızca aynı kalan bir şeyi saymak veya ölçmek mümkündü. Newton ve Leibniz, sonsuzluğu kullanarak ortaklaşa bir devrime imza atmışlardı.
Değişim hızının hesaplanması her türlü durumda yararlıdır. Arabanızdaki hız sabitleyici, sürekli olarak ne kadar hızlanması veya yavaşlaması gerektiğini hesaplamak zorundadır. Lüks kahve makineniz, bir espresso için suyu tam olarak doğru sıcaklığa bu sayede getirir. Bir tümörün ne kadar hızlı büyüdüğünü görmek için değişime bakarız. Tüm bunları yapmak için aynı tekniği kullanıyoruz. Ne tür bir değişim olduğu önemli değildir. Çünkü hepsinin arka planında kullanılan matematik aynıdır.
Sonsuzluk ile Kalkülüs’ün İlgisi Ne?
Konuyu daha iyi anlamak için bir örnek üzerinden hareket edelim. Diyelim ki bir trafik polisisiniz ve hız ihlali yapılıp yapılmadığını kontrol etmek istiyorsunuz. Bunu yapmanın basit bir yolu bir meslektaşınızdan sizden belli bir mesafe geride durmasını istemektir. Bu sayede ikinizde ölçümler alır, karşılaştırırsınız.
Ancak aslında iki kişi de sadece yanlarından geçtiği andaki hızı ölçmüş olur. Belki de sürücü daha hızlı gidiyordu ve polis aracını gördüğü anda frene basmıştı. İşte bunu bilemezsiniz. Ölçümünüzü daha doğru hale getirmek için, iki polis arabası arasındaki mesafeyi küçültmelisiniz. Ve işte burada sonsuzluk devreye girer. Ölçtüğünüz mesafeyi sonsuz küçük yapabilirseniz, hesaplamanız sonsuz doğrulukta olacak ve hızı tam olarak bileceksiniz.
Newton ve Leibniz bu fikri ilk ortaya atanlardı. Bir noktanın grafik üzerindeki bir çizgi boyunca ne kadar hızlı yukarı ve aşağı hareket ettiğini düşündüler. Çizgi ne kadar dik olursa, nokta o kadar hızlı hareket ederdi. Şimdi aşağıdaki görsele bakın.
Amacınız belli bir zaman içinde görseldeki noktanın ne kadar hızlı hareket ettiğini bulmak olsun. Bunun için iki nokta seçersiniz, görseldeki gibi bir çizgi ile birleştirir, aralarındaki farka bakarsınız. Ancak bu doğru bir çözüm değildir. Sonuçta noktamız inişli çıkışlı bir grafik üzerindedir.
Newton ile Leibniz’in Fikirleri
Newton ile Leibniz’in fikirleri, iki noktayı birbirine yaklaştırmak ve aralarındaki mesafeyi sonsuz derecede küçültmekti. Bu yeni çizgi, grafikteki alt çizgi yani teğet gibi görünür. Bu da bize tam o noktadaki eğrinin eğimini verecekti. Ancak bunu yapmak aslında Newton ve Leibniz için de kolay değildi. Aslında, olan bitenin tam olarak anlaşılması yüzlerce yıl aldı.
Elbette ilk iki nokta arasına bir çizgi çekebilirsiniz, ancak ya iki nokta arasındaki mesafe sonsuz küçükse? O zaman aralarına çizgi çekemezsiniz. İyi de tüm bunlar ne demek? Matematikçiler fikri hesaplamalarında kullandılar ama ne yaptıklarını anlamaları uzun sürdü. Sonuçta sonsuz küçük ile sıfır arasındaki farkın hayal edilmesi kolay değildi.
Doğal dünyada her şey sürekli değişir, bu yüzden onu incelemek için değişimi anlamanın bir yoluna ihtiyacınız vardır. Ve bunu kalkülüs başarmıştır. İntegraller ve diferansiyeller, genellikle insanları korkutacak şekilde sunulsa da çevremizdeki dünyayı anlama biçimimiz için bir zemin sağlar.
Bu nedenle fazla da korkmanıza gerek yok. Sonuçta herkes bu hesaplamanın detaylarını bilmek zorunda değil. Ama hepimizin tarih öğrendiğimiz gibi, arka planlarındaki fikri de anlamamız gerekli. Kalkülüs ile anlatacak daha çok şey var elbette. Daha fazlası için başka yazılarımıza göz atabilirsiniz.
Kaynaklar: Stefan Buijsman; Pluses and Minuses: How Math Solves Our Problems; ISBN-10 : 0143134582;
Matematiksel
