İspatın, İçgüdünün ve Hayal Gücünün Kesiştiği Yer

Aşağıda verilen örüntüde 8 sayısını hangi sayının takip etmesi gerektiğini bulabilir misiniz?

1, 2, 4, 8

16 dediğinizi duyar gibiyim. Evet, doğru cevap 16.

1, 2, 4, 8, 16

Peki 16 dan sonra gelecek olan sayı için tahmininizi merak etsem, ne dersiniz?

16 dan sonraki sayı 32 olmalı. Örüntü gayet net: Bir sonraki sayıyı bulmak için şu anki sayıyı iki ile çarpmalıyız. Bu durumda takip ettiğimiz yol 1×2=2, 2×2=4, 4×2=8, 8×2=16 ve bir sonraki sayı da 16×2=32 olmalı. İçgüdüsel olarak 32 den başka bir şey düşünemiyoruz.

32 gayet mantıklı bir tahmin. Kesin doğru mu peki? Emin olamıyoruz. Öyle değil mi?

Şimdi de aşağıdaki örüntüyü göz önüne alalım:

Bu örüntüde çember üzerindeki noktaları birleştirerek oluşturulan bölgelerin sayısı ile ilgileniyoruz. Çember üzerinde aldığımız bir nokta 1 bölge oluştururken (çemberin iç bölgesi), çember üzerinde alınan farklı iki nokta 2 bölge oluşturuyor ve üç noktadan 4 bölge meydana geliyor. Dört ve beş nokta, sırasıyla 8 ve 16 bölge oluşturuyor. Böylece az önce bahsettiğimiz

1, 2, 4, 8, 16

sayı dizisine geri dönüyoruz. İçgüdülerimizde haklı olduğumuz hissi biraz daha pekişti öyle değil mi?

Ama yine de aklımızın bir köşesinde bizi rahatsız eden bir şey olmalı.

Çember üzerinde alınan birbirinden farklı altı nokta birleştirilirse kaç tane bölge oluşacağı merakından kurtaramamalıyız kendimizi.

Bu merakın peşinden giden hemen herkes gibi ilk aşamada aklınızda 32 sayısı belirdiği için affedildiniz. Fakat ne yazık ki cevap 32 değil. 31!

İnanmıyorsanız kendiniz sayın. Ve hatta emin olmak için tekrar sayın.

Tabii ki, her terimin iki katını alarak giden ve 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 biçiminde devam eden örüntüler yok değil. Fakat ayrıca, bir çemberin üzerinde alınan farklı noktaların sayısının o çemberi en çok kaç parçaya ayırdığını belirlememize yarayan ve 1, 2, 4, 8, 16, 31, 57, 99 diyerek devam eden örüntüler de var.

1, 2, 4, 8, 16 sayılarının birbirini takip ettiğini gördüğümüz zaman tüm işaretlerin bizi diğer terimin 32 olmasına götürdüğünü sanıyoruz fakat bu her zaman doğru olmayabilir.

Matematiğin beklentilere kafa tutan ve bizi hayal gücümüzü genişletmeye zorlayan uzun bir tarihi var. Bu, matematikçilerin sadece içgüdüsel olarak hareket etmemesinin, doğruluğunu merak ettikleri kavramları ispatlamak için çabalamasının altında yatan sebeplerden bir tanesi.

Matematikte ispat, bir önermenin belirli aksiyomlar esas alınarak doğru olduğunu gösterme yöntemidir. Yani ispat, matematiksel gerçekliği kuran şeydir aslında. İçgüdüsel olarak 32 nin örüntünün bir sonraki sayısı olması gerektiği yönünde bir hissimiz olsa da, ispat olmadan gerçeklikten emin olamayız.

Tabii ki içgüdü matematikte her zaman önemli ve kullanışlıdır. Bir şeyi ispat etmeden önce sıklıkla, biraz oyalanır, keşfeder, örnekler düşünür ve veri toplarız. İşaretleri inceler, ölçer, biçer ve daha sonraki adımın ne olacağını kestirmeye çalışırız. Tüm bunlar fikirlerimizi şekillendirir, bazı teoremleri ispatlamaya girişmemizi önerirken, diğerlerinden uzak durmamızı sağlar.

İkiz asallar sanısı, matematiksel düşünmemizi şekillendirmede, içgüdünün, en az ispat kadar önemli olmasının bir örneği olarak düşünülebilir.

İkiz asallar, aralarında 2 fark bulunan asal sayı çiftleridir. Örneğin 3 ve 5, 11 ve 13 ve 101 ve 103 sayı çiftlerinin hepsi ikiz asal sayılardır. İkiz asallar sanısı, ikiz asal çiftlerin bir en büyüğü olmadığını iddia eder. Yani sayı doğrusunda sonsuza doğru ilerledikçe ikiz asal sayıların da görünmeye devam edeceğini.

İkiz asallar sanısı, İkiz Asallar Teoremi değildir. Çünkü sayılar teorisindeki en meşhur problemlerden birisi olmasına rağmen, henüz kimse tarafından ispatlanamamıştır.

Buna rağmen, bu sanının doğruluğunu destekleyen yeteri kadar işaret olduğu için, hemen herkes ikiz asallar sanısının doğru olduğunu düşünür.

Örneğin, büyük asal sayıları araştırırken, çok büyük ikiz asal sayı çiftleri bulmaya devam ederiz. Şimdiye kadar bilinen en büyük ikiz asal çiftinin her biri neredeyse 400,000 basamağa sahiptir ve ikiz asallar sanısına benzer sonuçlar kanıtlanmıştır.

2013 te Yitang Zhang isimli bir matematikçi, birbiriyle 70 milyondan daha az fark eden sonsuz sayıda asal sayı çifti olduğunu ispatlayarak matematik dünyasını şoka uğratmıştır.

Burada 70 milyon ifadesini gördükten sonra bir parantez açmakta fayda var.

Asal sayılar sayı doğrusunun başlangıcında sıklıkla yerleşmiş olmalarına rağmen, sayı doğrusunda ilerledikçe seyrekleşirler. Sayı doğrusundaki ilk 10 sayının yüzde 40 ı asalken (2, 3, 5, 7), 10 basamaklı sayıların sadece yüzde dördü asaldır. Asal sayılar arasında beklenen boşluk miktarı sayının basamak sayısının 2,3 katıdır.

Yani örneğin 100 basamaklı sayılar arasındaysanız, iki asal sayı arasında 230 luk bir fark olması beklenir. Dolayısıyla, 400.000 basamaklı asal sayılar söz konusu olduğunda 70 milyonluk bir fark çok da abartılacak bir fark olmaz.

Fakat burada bahsi geçen sayı ortalama bir sayı. Asal sayılar birbirlerine genellikle ortalama tahminden daha yakın veya daha uzak olabilir. Daha önce belirtiğimiz gibi ikiz asal sayılar birbirlerinden sadece 2 sayısı ile fark eder ve sayı doğrusunda ne kadar ileri gidersek gidelim, ikiz asal sayılar asla tamamen kaybolmaz.

Şu anki bilgilerimizin ışığında, aralarında 246 dan daha fazla fark olmayan sonsuz çoklukta asal sayı çifti olduğunu söyleyebiliriz. Henüz, birbirlerinden sadece 2 birim uzaklıkta olan sonsuz sayıda asal sayının varlığını ispatlayamadık ama en azından 2 nin 246 ya sonsuza olduğundan daha yakın olduğunu biliyoruz.

Bu ve bunun gibi sebepler, henüz ispatlanamamış olsa da ikiz asallar sanısının doğruluğuna inanmanın çok da tartışma yaratacak türden bir inanış olmadığını destekler yönde. Fakat matematikte içgüdünün fikir oluşturmakta kullanıldığı daha tartışmalı alanlar da var.

Eliptik eğriler teorisinde, bir eğrinin mertebesi, kabaca söylemek gerekirse, o eğrinin çözümlerinin ne kadar karmaşık olacağı ile ilgili nümerik bir ölçüdür. Matematikçiler arasında, çok uzun zamandır, eliptik eğrilerin mertebelerinin sınırsız olduğu, yani bir eğrinin mertebesinin ne kadar çok veya ne kadar karmaşık olabileceğinin bir limit değerine sahip olmadığı yönünde bir fikir birliği var.

Fakat mertebesi 21 den büyük olan sadece sonlu sayıda eliptik eğri olabileceğini işaret eden yeni bir çalışma, mertebenin aslında sonlu da olabileceğini düşünen matematikçiler olduğunun da bir göstergesi.

Yine de bu yeni sonuç ile ilgili tedbiri elden bırakmamak lazım. Zira elde edilen bu sonuç için toplanan veriler eliptik eğriler dünyasından değil, matrisler dünyasından elde edilen veriler, yani araştırmacıların eliptik eğrileri modelledikleri dünyadan.

Matematiksel modeller bilimin hemen her alanında kullanılan ve tamamen anlayamadığımız bir probleme, daha iyi başa çıkabildiğimiz başka bir problem yardımıyla yaklaşmamıza izin veren yardımcı unsurlar olarak düşünülebilir.

Fakat modelleri kullanmak bazen aldatıcı olabilir. Hiçbir zaman modelimizin anlamaya çalıştığımız asıl konu ile ilgili sonuç çıkarmamız adına gerçekten işe yarar olup olmadığını tamamen bilemeyiz. Veya modelin gerçekten önemli olan konuya yeterince benzer olup olmadığından emin olamayız. Yani modelden edindiğimiz bilginin gerçekten öğrenmek istediğimiz bilgi olup olmadığını fark etmek zor olabilir.

Şimdi gelin yukarıda bahsettiğimiz konuları basit bir sanının basit bir modeli yardımıyla açıklamaya çalışalım.

Aşağıdaki iddiayı araştırmak istediğimizi varsayalım: Herhangi iki doğru birbiriyle kesişir veya birbirine paraleldir.

Burada, kesişmekle kastedilen, doğruların ortak bir noktaya sahip olması ve paralel olmakla kastedilen ise doğruların aynı doğrultuda devam etmeleri fakat kesişmemeleridir.

Bu iddiayı araştırmak için bir model oluşturacağız. Bunun için cebir derslerinden hatırlayabileceğiniz üzere her bir doğrunun eğim kesme noktası formunda yazılabileceği gerçeğinden hareket edeceğiz. Yani, her bir doğrunun aşağıdaki denklem ile ifade edilebileceğini varsayacağız:

y=mx+b

Burada m doğrunun eğimi ve b doğrunun dikey ekseni kestiği noktadır.

Doğruları bu biçimde modellemek bize onlarla çalışmak için uygun bir yol sağlayacaktır. Bu model bizim aynı zamanda rastgele seçilen m ve b sayıları ile rastgele doğrular elde etmemize de yarayacaktır. Dolayısıyla elde ettiğimiz keyfi doğru çiftleri için şu soruların peşine düşebileceğiz: Bu iki doğru kesişiyor mu? Doğrular aynı yönde mi hareket ediyor? Veya söz konusu başka bir durum var mı?

Aşağıda böyle bir çalışma sonucunda elde edilen örnekler görülebilir:

Bu örneklerin her birinde rastgele seçilen doğruların birbiriyle kesiştiğini görüyoruz. Bu rastgele doğru seçme işini 1000 kere veya 10000 kere veya 1 milyon kere de yapsak, her durumda doğruların kesiştiğini veya birbirine paralel ilerlediğini görürüz. (Aslında, seçilen doğru çiftlerinin birebir aynı eğime sahip doğru çiftler olarak seçilebilmesi ihtimali, her bir doğru çiftinin birbirini kesmesi ihtimali daha düşüktür.)

Böylece, 1 milyonuncu denemeden sonra elde ettiğimiz bütün verilerin de gayet net bir biçimde desteklediği üzere, cevabını merak ettiğimiz “herhangi iki doğru birbiriyle kesişir veya birbirine paralel ilerler” sanısının muhtemelen doğru olduğu sonucuna varırız.

Burada, yazının başından beri bahsettiğimiz içgüdüsel yaklaşımın doğruluğunun, peşine düştüğümüz problemi anlamak için kullanılan model ile yakından ilgili olduğunu söylemekte yarar vardır. Şimdi gelin, yukarıda kurduğumuz model ile kendimizi nasıl bir tehlikenin içine attığımızı görelim.

Kurulan model ile ilgili sıkıntı yaratan ilk durum, modelde belirli özellikleri taşıyan doğruların, bu özellikleri taşımayan doğrulardan daha yoğun biçimde kullanılmış olmasıdır. Yukarıdaki grafik b=0 ve 0 ≤ m≤1 özelliğini taşıyan 50 tane doğrunun grafiğidir.

Aşağıdaki grafik ise b=0 ve m≥1 özelliğine sahip 50 tane doğrunun grafiğidir.

Görülen o ki, düzlemin bir çeyreği eğimleri 0 ile 1 arasında değişen doğrularla doldurulabilirken, başka bir çeyreği eğimi 1 den büyük olan doğrularla kaplanabiliyor ve 1 den büyük bir sayı seçmek, 0 ile 1 arasında bir sayı seçmekten daha olası bir durum.

Sonuçta, birisi bizden bir sayı söylememizi istediğinde, cevap olarak 0,5 deme olasılığımız 2 deme olasılığımızdan daha düşük. Dolayısıyla, bir doğrunun düzlemin ikinci bölgesinden olması ihtimali, düzlemin birinci bölgesinden olması ihtimalinden daha yüksek.

Bu, kullandığımız modelde, belirli özelliklere sahip doğruların, diğer doğrulara kıyasla daha az temsil edilmesi anlamına geliyor. Yani, kullandığımız modelin, çok yüksek olasılıkla düzlemin birinci bölgesindeki doğrularla ilgili gerçekleri anlatmada yetersiz olacağı anlamına.

İkinci grafiğe biraz daha dikkatli bakmak, kullanılan modelin başka bir probleme daha yol açtığını ortaya çıkaracak. m sayısı büyüdükçe doğrular dikleşti, öyle değil mi?

Muhtemel en dik doğru düşey doğru. Düşey doğrunun eğimi ne?

Bilmiyoruz. Düşey bir doğrunun eğiminin tanımsız olduğu biliyoruz sadece. Yani, düşey bir doğru elde etmek için seçebileceğimiz herhangi bir m sayısının mevcut olmadığını biliyoruz. Bu, modelde böyle doğruların temsil edilemeyeceği ve dolayısıyla bu doğrularla ilgili veri elde edemeyeceğimizi söylüyor. Böylece, kullandığımız modelle, henüz veri bile toplamaya başlamamışken, bizi doğruya götürebilecek olasılıkları göz ardı etmiş oluyoruz.

Kullanılan model ile ilgili şimdiye kadar bahsettiğimiz olumsuzluklar, bizi konunun özüne getiriyor.

Üç boyutlu düşünebilen herhangi birisi muhtemelen şimdiye kadar doğruluğunu merak ettiğimiz sanının yanlış olduğunu fark etmiş olmalı. Çünkü üç boyutlu uzayda doğrular ile ilgili sadece iki durum söz konusu değildir. Bir binada farklı katlarda bulunan ve farklı yönlerde ilerleyen iki koridor hayal edin. Bunlar eğik doğrular olarak adlandırdığımız ve birbiriyle kesişmeyen veya birbirine paralel hareket etmeyen, bir doğru çeşidine örnek oluştururlar.

Eğik doğrularla ilgili önemli bir nokta bu doğruların farklı düzlemlerde olmaları gerektiğidir. Fakat bizim kullandığımız model her bir doğruyu y=mx+b denklemiyle belirlediği için, biz otomatik olarak en baştan her doğruyu aynı düzlemde hayal ettik. Bizim kullandığımız model, cevabını merak ettiğimiz sanının sadece doğruluğunu destekler yönde, çünkü iki doğru aynı düzlemdeyse, bu iki doğru ya kesişir, ya da birbirine paraleldir. Başka bir olasılığı görme ihtimali doğuran herhangi bir durum söz konusu değil. Bizim kullandığımız modelde eğik doğruların adı bile anılmıyor.

Bu, sonsuz elemanlı bir kümeden keyfi sayılar seçme sinir bozuculuğunu da içeren, akılsız bir model kullanmanın yarattığı sorunları görmek için basit bir örnek. Profesyonel matematikçiler eliptik eğrilerin mertebesini belirlemeye uğraşırken böyle basit ve açık hatalara sebep oluşturacak modeller kullanmaz.

Bu matematikçiler, modellerle çalışırken ne kadar tedbirli davranmaları gerektiklerinin farkındadırlar. Çünkü bilirler ki, bir model ne kadar kullanışlı ve ilgi çekici görünürse görünsün, içgüdüleri ne kadar ikna edici olursa olsun, eliptik eğrilerle ilgili hayal bile edemedikleri bir şey mutlaka vardır. Ve eğer o şeyi hayal bile edemiyorsanız, kurduğunuz modelin sizi doğru yönlendirmesi söz konusu olamaz, yani içgüdüleriniz gerçeği yansıtmaz.

Fakat doğru veya yanlış, bu yeni model eliptik eğrilerle ilgilenen matematikçilerin dikkatini çekmiş durumda. Eğer model tam anlamıyla gerçeği yansıtırsa, matrisler dünyasından gelen bir iç görü, eliptik eğrilerin oldukları biçimde davranmalarının arkasında yatan sebebi anlamamıza neden olacak. Eğer yansıtmazsa, eliptik eğrilerin neden bu biçimde modellenemeyeceği probleminin daha iyi anlaşılmasına yol açacak. Her iki durumda da içgüdü bizi ispata biraz daha yaklaştıracak.

Kaynak ve ileri okuma: https://www.quantamagazine.org/where-proof-evidence-and-imagination-intersect-in-math-20190314/

https://www.quantamagazine.org/yitang-zhang-proves-landmark-theorem-in-distribution-of-prime-numbers-20130519

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: Fatma Ayca Cetinkaya

Fatma Ayca Cetinkaya
Matematik alanındaki lisans derecemi Ankara Üniversitesi'nden, yüksek lisans ve doktora derecelerimi Mersin Üniversitesi'nden aldım. Halen Mersin Üniversitesi Matematik bölümünde Doktor Öğretim Üyesi unvanıyla çalışmaktayım.

Bunlara da Göz Atın!

Futbol Topunun Matematiksel Sırları: Top Yuvarlak Değildir

Hemen her gün siyaset, politika, ya da spor içerikli yazılarda “top yuvarlaktır” ifadesi ile karşılaşırız. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.