Yazının ilk bölümünde ikinci dereceden denklemlere bir göz atmış ve çeşitli problemlerde doğal olarak nasıl ortaya çıktıklarını gözlemlemiştik. Bu ikinci bölümde yolculuğumuza devam ediyoruz. Ancak bu sefer onları farklı bir çerçeveden ele alacağız. Daire, elips, hiperbol ve parabol olarak bilinen ikinci dereceden eğriler ile kaldığımız yerden devam edelim.
Etrafımız aslında doğrulardan ziyade eğriler ile dolu. Ancak “eğri nedir?” diye sorulduğunda bunu tanımlamak pek de kolay değildir. İşte bu nedenden ötürü matematikçiler eğrilere asırlar boyu farklı yaklaşımlar getirmiştir. İlk olarak Yunanlıların incelediği eğrilere günümüzde klasik eğriler denir. Klasik eğriler denilince de akla ilk gelen elbette konik kesitler gelir. Bu eğriler Antik Yunandan beri biliniyor ve üzerinde çalışılıyordu. Ancak çember dışında herhangi bir pratik uygulamaya sahip görünmüyorlardı. Ancak, 16. yüzyılda dünyayı değiştirmelerinin zamanı geldi.
Rönesans’ın gelmesiyle birlikte düşünürler dünyaya farklı bir gözle bakmaya başladılar. Bu kişilerden birisi de Bunlardan biri Kopernik’ti. Kopernik ,Güneş’i gök kürelerinin merkezine koymuş ve Evren anlayışımızı değiştirmişti. Ancak kendisi, Dünya’nın yörüngesinin bir daire olduğunu düşündü. Çünkü daire simetrik olduğundan mümkün olan en mükemmel eğri olarak kabul edilirdi. Kepler, Tycho Brahe’nin gözlemlerini kullanarak, Kopernik’in öngörüleri ile deneysel veriler arasında tutarsızlıklar bulana kadar bu düşünce biçimi devam etti.
Kepler’in keşfettiği şey, gezegenlerin Güneş’in etrafında daireler halinde değil, elipsler halinde döndükleriydi. Kepler’in kuralları daha sonra gözlemlere mükemmel bir şekilde uyum gösterdi. Kepler ayrıca, gök cisimlerinin hiperbolik yörüngeler boyunca hareket ettiği bulundu. Kepler’in bu olağanüstü keşifleri, modern dünyanın başlamasına yardımcı oldu. Konik kesitler, keşfedilmelerinden 1500 yıl sonra nihayet sahneye çıkıyorlardı.
İkinci Dereceden Eğriler Evreni Keşfetmemize Yaradı
İkinci dereceden denklemler, yalnızca gezegenlerin Güneş çevresinde hareket ettikleri yörüngeleri tanımlamakla kalmadı. Aynı zamanda onları daha yakından gözlemlemenin bir yolunu da verdi. Astronomideki ilerlemelerin anahtarı teleskopun icadıydı. Galileo bir teleskop kullanarak Jüpiter’in aylarını ve Venüs’ün evrelerini gözlemledi ve bunların ikisi de Kopernik teorilerini destekledi. Galileo’nun teleskobu, kesişen iki hiperbol tarafından oluşturulan mercekler içeriyordu.
İkinci dereceden bir denklemle tanımlanan elips o sırada doğa oldukça uyumlu görünüyordu. Bunun en önemli nedeni ikinci dereceden denklemler ve ivme arasındaki bağlantıydı. Bu bağlantıyı 17. yüzyılın başında ilk fark eden yine Galileo oldu. Çoğu insan Galileo’yu İspanyol Engizisyonu ile Kopernik güneş sistemi görüşünün geçerliliği üzerine girdiği savaşla tanır. Bununla birlikte kendisi hayatının çoğunu cisimlerin nasıl hareket ettiğini anlamaya adamıştır. Galileo’nun çalışmasının merkezinde, arabamızı ne zaman (ve nasıl) durduracağımız ve aynı zamanda bir golü nasıl atacağımız gibi konularla ilgisi olan ivme fikri ve ikinci dereceden denklemlerin bunda oynadığı rolün anlaşılması vardır.
Hareket ve İkinci Dereceden Eğriler
Bir cisim bir kuvvet etkisinde olmada bir yönde hareket ediyorsa, o yönde sabit hızla hareket etmeye devam eder. Bu hıza v diyebiliriz. Bu cisim x=0 noktasından başlar ve t süresi boyunca bu şekilde hareket ederse, sonuçtaki konumu x = v.t ile hesaplanır. Ancak ideal bir dünyada yaşamıyoruz. Bu nedenle yerçekimi, sürtünme gibi sebeplerle genelde bir kuvvet bu cisme etki eder. Bu gibi etkiler sonucunda da bir ivmelenme yaşanır.
Bu nedenle, cismin başlangıç hızı u ise, t zamanından sonraki v hızı v = u + at ile elde edilir. Buradaki a ivmeyi temsil eder. Galileo, bu ifadeden parçacığın konumunu bulabileceğimizi fark etti. Eğer parçacık x=0 konumunda başlıyorsa, o zaman t anındaki s konumu s=u.t+1/2.a.t2 denklemi ile bulunabilirdi. Bu aslında t’yi s’ye bağlayan ikinci dereceden bir denklemdir ve hepimiz için birçok önemli sonucu vardır.
Boş bir yolda araba sürerken aniden önünüze çıkan bir kedi nedeniyle durmak zorunda kaldığınızı varsayalım. Bir arabayı u hızından 0 hızına düşürmek için sabit bir yavaşlama -a uygulanırsa, t’yi çözmek ve yerine koymak durma mesafesi s’yi verir. Yani s= u2/2a. Bu sonucun aslında hayati bir önemi vardır. Hızınızı ikiye katlamanın durma mesafenizi iki katına değil dört katına çıkaracağını bize gösterir. Yani, ikinci dereceden denklemi doğru bir şekilde çözmek, sizin veya bir başkasının hayatını kurtarabilir!
Balistik ve Parabol
Zamanı mesafeyle ilişkilendiren basit ikinci dereceden formül, nesnelerin yerçekimi altında nasıl hareket ettiğini inceleyen balistik biliminin de temelidir. Balistik veya atış bilimi, mermi ve füzelerin hareketlerini inceleyen bir bilim dalıdır. Uygulamalı mekaniğin bir kolu olarak düşünülebilir. Bu durumda bir cisim y yönünde sabit g ivmesi ile düşer. Buna karşılık, sabit bir hızla (hava direncinin yokluğunda) yatay olarak x yönünde hareket eder. Bu durumda eğer x = y = 0 noktasında x yönünde u hızı ve yukarıya doğru v hızı ile harekete başlarsa, Galileo t zamanındaki konumun x=u.t ve y= vt-1/2.gt2 şeklinde olduğunu gösterdi. Bu denklem sisteminin çözümü de bize yeni bir ikinci dereceden denklem verecektir. Dikkat çekici olan, yörüngenin ortaya çıkan şeklinin bir parabol olmasıdır.
1600 civarında, Galileo Pisa’da bir kilise ayinine katıldı. Belki de biraz sıkıldığından bir avizenin ileri geri sallanışını izlemeye başladı. Bu sayede de dikkate değer bir keşif yaptı: avizeyi sallamak için geçen süre, genliğinden bağımsızdı. Bu keşif sarkacın ve devamında çeşitli saatlerin icadına yol açtı. Ancak Galileo gözlemi hakkında yeterli açıklama yapamadı. Bunu yapmak için başka bir ikinci dereceden denkleme ihtiyacımız var.
Newton ve İkinci Dereceden Denklemler
Newton, Galileo’nun öldüğü yılda doğdu. Galileo ve Kepler’in çalışmalarından ilham aldı. Bu bilimsel devler, dinamik ve gök mekaniği fenomenlerini doğru bir şekilde tanımlamışlardı. Ama hiçbiri bilimsel açıklamalar formüle etmemişti. Gözlemledikleri fenomenlerin matematiksel açıklamasını sağlamak Newton’a kaldı. İlk olarak, Galileo’nun gözlemlerini açıklayan üç hareket yasasını formüle etti. İkinci olarak, temel yerçekimi yasasını tanımladı. Buna göre, iki kütle, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı bir kuvvet tarafından birbirini çekiyordu.
Newton ayrıca optik alanında da çalıştı. Bunun sonucunda Galileo’nun kullandığı teleskop lenslerinin, farklı renklerdeki ışığı farklı şekillerde kırarak sorunlara yol açtığını fark etti. Aynaya dayalı bir teleskop tasarlayarak bunun üstesinden geldi. Bu aynanın ideal şekli de parabol olmalıydı. Newton bu açıklamalarının yanında kalkülüsü geliştirmekle de meşguldü. Kalkülüs, onun hareket yasalarına göre hareket eden nesneleri tanımlamak için mükemmeldi. Kalkülüsün elindeki en temel araç ise diferansiyel denklemlerdi. Diferansiyel denklemlerin uygulama alanları sınırsızdır ve modern teknolojinin çoğunda hayati bir rol oynar. Galileo’ nun fark ettiği bir sarkacın hareketi de bir diferansiyel denklem olarak tanımlanabilir. Sarkacın küçük salınımları durumunda bu denklem salınım zamanını bulmak için çözülebilir. Bunu çözmek de, ikinci dereceden bir denklemin çözümünü bulmayı gerektirir!
Bir bilgisayar kullanarak bunun gibi denklemlere yaklaşık çözümler bulmak mümkündür. Günümüzde bir çok karmaşık diferansiyel denklemler için genellikle kullanılan yaklaşım biçimi budur.
İkinci Dereceden Denklemler ve Akışkanlar Dinamiği
İkinci dereceden denklemler ve ikinci dereceden diferansiyel denklemler arasındaki bağlantı tesadüf değildir. İkisi de Newton’un ikinci yasasında tanımlanan kuvvet ve ivme arasındaki ilişki ile bağlantılıdır. Newton bu yasayı formüle ederken esas olarak katı cisimlerin hareketini düşünüyordu. Ancak kısa süre sonra aynı yasaların su ve hava gibi akışkanların hareket tarzına da uygulanabileceği anlaşıldı. Özellikle, bir akışkanın hızı ile basıncı arasındaki ilişkileri bulmak için Newton yasalarını kullanmak mümkündür. Bu yasaların gelişmiş versiyonları Navier-Stokes diferansiyel denklemleri olarak adlandırılır. Bununla birlikte, birçok sıvı akışı türü için geçerli olan belirli bir çözüm, uçakları mümkün kılmıştır. Bu Bernouilli denklemi adı verilen ikinci dereceden bir denklemle bağlantılıdır.
İkinci dereceden eğriler ve denklemlerin birçok uygulaması olduğunu ve insanlık tarihinde temel bir rol oynadığını gösterdik. Ancak daha sayı 101’e ulaşmadı. Devamında yazının üçüncü bölümüne saklayalım.
Kaynak: 101 uses of a quadratic equation: Part II; https://plus.maths.org/
Matematiksel
Ucuncu bolumu sabirsizlikla bekliyoruz.