İkinci Derece Denklemlerin Köklerini Veren Formül Nasıl Bulunur?

$ax^2+bx+c=0$ şeklindeki denklemlere İkinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklem dendiğini lise bilgilerimizden hatırlayalım. Bunların basit biçimleri M.Ö. 2000 yılından itibaren Babilliler tarafından biliniyor ve çözülebiliyordu. Ayrıca bu tip denklemler tarih boyunca Mısırlılar, Çinliler, Eski Yunanlılar, Hintliler ve Müslümanlar tarafından incelenmiş ve farklı çözümler üretilmiştir. Örneğin Hintli Brahmagupta M.S. 628 yılında bir çözüm vermiş; 9. yüzyılda Harezmi ve çağdaşı olan Abdülhamîd bin Vâsi bin Türk de diskriminantın pozitif olması gerektiğini söylemişlerdir. Mısırlı Ebu Kamil Şuca ilk kez irrasyonel çözümleri kabul etmiştir. 12. yüzyılda İspanya’da Müslüman bir devlet olan Endülüs’lü Musevi Matematikçi İbrahim bar Hiyya Ha-Nasi, Harezmi’nin çalışmalarını baz alarak İkinci Dereceden Denklemlerin tam çözümünü içeren Avrupa’nın ilk kitabını yazmıştır. Bugün kullandığımız formuyla genel çözümü ifade eden ise Rene Descartes’tir (1632).

Bu kısa tarihçeden sonra yazımızın asıl konusu olan denklemin genel çözümünün farklı yollardan elde edilmesini göreceğiz. Tarih boyunca bazı problemler yüzlerce, hatta bazen binlerce farklı yoldan çözülmüştür. Örneğin, Pisagor Teoremi’nin binlerce ispatının olduğu bilinmektedir. Biz de ikinci dereceden denklemlerin beş farklı yoldan nasıl çözüldüğünü göstermek istiyoruz. En yaygın olan çözümle başlıyoruz. Ancak burada verdiğimiz çözümlerin tümü de cebirsel olacak. Unutmayalım ki Eski Yunanlılar daha çok geometrik ispatları tercih ediyordu.

İkinci Derece Denklemlerin Köklerini Bulma Yöntemleri

1. Tam Kareye Tamamlama

Okullarda genellikle gösterilen yöntem olan Tam Kareye Tamamlama yöntemi 780-850 yılları arasında yaşamış İranlı matematikçi el-Harezmi’ye atfedilir.

$ax^2+bx+c=0$ denklemini $a$ parantezine alıyoruz.

$a(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a})=0$

$a\neq0$ olduğundan $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$ yazabiliriz. $\frac{c}{a}$ ‘yı karşıya atarsak:

$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$ elde ederiz. Şimdi, sol tarafı tam kareye tamamlamak için $\frac{b}{a}$ teriminin yarısının karesini eşitliğin her iki yanına ekliyoruz:

$x^2+\frac{b}{a}x+(\frac{b}{2a})^2=(\frac{b}{2a})^2-\frac{c}{a}$

Sağ ve sol tarafları yeniden düzenliyoruz:

$x^2+2\frac{b}{2a}x+(\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$

Dikkat edilirse, sol tarafın tam kare olduğu görülecektir. Bu arada, sağ tarafta paydaları eşitleyerek, toplama işlemini yapıyoruz:

$(x+\frac{b}{2a})^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

Her iki tarafın kare kökünü alırsak:

$|x+\frac{b}{2a}|=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$

Buradan da:

$x+\frac{b}{2a}=\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

Ve x’i yalnız bırakırsak:

$x=-\frac{b}{2a}\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

O halde genel çözüm:

$x=\frac{-b \mp \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ olur.

2. Harriot Yöntemi

1560-1621 yılları arasında yaşamış olan matematikçi Thomas Harriot tarafından ortaya atılan bu yöntem, ilk başta birazcık karmaşık görünse de gidiş yoluyla dikkat çekiyor.

Başlangıç olarak $ax^2+bx+c=0$ denkleminin iki kökü olduğunu farz ediyoruz. Aslında ispatın zayıf noktası da burası, çünkü “Cebirin Temel Teoremi” olmaksızın, ikinci dereceden bir denklemin iki kökü olduğunu iddia edemeyiz. Ancak biz yine de devam edelim ve bu köklere $x_1$ ve $x_2$ diyelim.

Kökleri $x_1$ ve $x_2$ olan denklem: $(x-x_1)(x-x_2)=0$ olacaktır. Çarpma işlemini yaparsak:

$x^2-(x_1+x_2)x+x_1 x_2=0$ elde ederiz. Bu ifade ise, $ax^2+bx+c=0$ denkleminde tüm terimleri $a$ ‘ya böldüğümüzde elde ettiğimiz $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}x=0$ ifadesine denktir. Polinomların eşitliğinden:

$-(x_1+x_2)=\frac{b}{a}$ ve $x_1 x_2 =\frac{c}{a}$ yazabiliriz.

Bu arada $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1 x_2$ özdeşliğini hatırlayalım. (Parantezleri açarak eşitliği doğrulamayı size bırakıyoruz.)

Şimdi, yukarıda bulduğumuz eşitlikleri bu özdeşlikte yerine yazalım. (Yani $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$ ve $x_1 x_2 =\frac{c}{a}$ yazacağız.)

$(x_1-x_2)^2=(-\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}$

Buradan gerekli işlemleri yaparak:

$(x_1-x_2)^2=\frac{b^2}{a^2}-4\frac{c}{a}$

$|x_1-x_2|=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$

$x_1-x_2=\mp\frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{a}$

Şimdi bir denklem sistemi elde ettik. Şöyle ki:

$\begin{cases}x_1-x_2=\mp\frac{ \sqrt{b^2-4ac}}{a}\\x_1+x_2=-\frac{b}{a}\end{cases}$

Bu sistemi taraf tarafa topladığımızda genel çözümü elde ederiz. (Yapınız.)

3. Hint Yöntemi

Hindistanlı Sridhara’ya atfedilen (M.S. 1025 civarı) bu yöntem, 1. numaralı yöntemin daha basit versiyonudur. Esasen okullarda anlatılması gereken yöntemin bu olduğunu düşünmekteyim, çünkü takip etmesi, anlatması ve anlaşılması daha kolaydır.

$ax^2+bx+c=0$ denklemini $4a$ ile genişletiyoruz.

$4a(ax^2+bx+c)=0$

$4a^2x^2+4abx+4ac=0$

$(2ax)^2+2(2ax)b=-4ac$ Bu ifadeyi tam kare yapmak için eşitliğin her iki tarafına $b^2$ ekliyoruz.

$(2ax)^2+2(2ax)b+b^2=b^2-4ac$ ve sol tarafın tam kare olduğunu görüyoruz.

$(2ax+b)^2=b^2-4ac$ İşte bu denklemi çözdüğümüz zaman genel çözüme ulaşmış oluyoruz. (Yapınız.)

4. Vieta Yöntemi

$ax^2+bx+c=0$ denkleminde $bx$ terimi bulunmasaydı, denklemi çözmek çok kolaylaşacaktı. O halde bu terimi yok etmek için $x$ gördüğümüz yere $x=y-\frac{b}{2a}$ yazalım:

$a(y-\frac{b}{2a})^2+b(y-\frac{b}{2a})+c=0$

Düzenlediğimiz zaman:

$ay^2+\frac{-b^2+4ac}{4a}=0$ elde ederiz. Bu denklemi çözmek ise kolaydır. Tek yapmamız gereken $y^2$ ‘yi yalnız bırakmak ve sonra da kare kökünü almak… (Yapınız.)

Buradan $y=\mp \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ buluruz. Son olarak $x=y-\frac{b}{2a}$ ifadesinde y yerine bulduğumuz bu değeri yazıyoruz. (Yapınız.)

5. Modern Yöntem

Po-Shen Loh tarafından 2019’da ileri sürülmüş basit olduğu kadar da şık yöntemi verip yazıyı bitirelim.

$x_1$ ve $x_2$ denklemin kökleri olmak üzere
$x_1 x_2=\frac{c}{a}$ ve
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ olduğunu biliyoruz. (Bakınız Harriot Yöntemi.)

Köklerin ortalaması $\frac{x_1 + x_2}{2} = -\frac{b}{2a}$ olur.
Kökler, ortalamanın sağında ve solunda eşit uzaklıkta bulunur. (Bkz. alttakı şekil.)

O halde:

$x_1 = -\frac{b}{2a}-t$ ve $x_2 = -\frac{b}{2a}+t$ diyebiliriz.

$x_1 x_2 = (-\frac{b}{2a}-t)( -\frac{b}{2a}+t)$ yazıp gerekli işlemleri yaparsak:

$\frac{c}{a}=\frac{b^2}{4a^2}-t^2$

elde ederiz. Buradan $t^2=\frac{b^2}{4a^2}- \frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$

ve $t=\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ buluruz. Şimdi,

$x_1 = -\frac{b}{2a}-t$ ve $x_2 = -\frac{b}{2a}+t$ olduğunu hatırlayalım ve t yerine bulduğumuz değeri yazalım. İstenen sonuç bu şekilde elde edilir. (Yapınız.)

Not: Yazarımızın Beyin Kırıcı adlı romanını satın alarak kendisine destek verebilirsiniz.