Dolu Tanesi Sayıları

Bir matematik problemini çözmek, bir yapbozu tamamlamaya benzer aslında ancak önemli bir farkla, o da sonuçta ortaya çıkacak olan büyük resme dair başlangıçta hiçbir fikriniz yoktur. Uğraştığınız problem, zor kolay veya çözümsüz olabilir. Bu belirsizlik belki de matematikçi olmanın en zor tarafıdır.

Dolu tanesi sayısı problemi konusunda gerçekten bilinen tek şey kökeninin sırlarla kaplı olduğu. Tarihi bir yayında ya da bir mektuplaşma da geçmiyor, ortaya çıkış zamanı da çok eski gibi gözükmüyor aslında. Hatta problemin genel kabul görmüş bir ismi bile yok. Bazıları ona “3n+1 problemi” diyor, bazıları da Lothar Collatz’a atfen Collatz Problemi.

Ancak adına ne denilirse densin, bu problem 1970 yılından itibaren hızla artan bir ilgi kaynağı oldu. Çözümü için ödüller konuldu ve bir sürü insan bu ödülün peşine düştü.

Öyleyse nedir bu dolu tanesi sayıları ve bütün bu ilginin nedeni…

Aslında tüm bu ilginin nedeni biraz da tanımlamanın ve hesaplamanın çok kolay olmasından kaynaklanmakta muhtemel.

Bir dolu tanesi dizisini hesaplamak için, istediğiniz pozi­tif bir tamsayı seçerek başlayın. Kural çok basit.

Eğer sayınız çift ise 2’ye bölün, tek ise 3 ile çarpıp 1 ekleyin.

Sonra, sonucunuza yine kuralı uygulayın. Bu işlemi istediğiniz kadar tekrar edin.

Hemen şöyle bir örnekle başlayabiliriz. n=5 için 5,16,8,4,2,1,4,2,1 şeklinde olacaktır. Benzer biçimde n=11 için, 11,34,17,52,26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1,4,2,1.

Gökyüzündeki yağmur bulutlarından düşen dolu taneleri gibi di­zi de, aşağı ve yukarı hareket eder ve bazen rasgele kalıplar oluşturur ve aynı dolu taneleri gibi sonunda yere (1 sayısına) geri düşer.
Aslında matematikçilerin çoğuna göre hangi sayıyla başlarsa başlasın dolu tanesi dizeleri 4, 2, 1, 4 … döngü­süyle devam eder.

Aslında soru çok basittir: Bütün bu tür diziler, başlangıç sayıları ne olursa olsun, bu şekilde mi sonlanır?

Elbette yapılması gereken sırasuyla bütün başlangıç sayılarını düşünmek yerine uygun bir model oluşturmaktır. Ancak sorun karşımızda bazen bir düzen, bazen de bir düzensizliğin var olmasıdır. Kesinlikle ras­gele değildir; ama kalıp olarak yazılması da mümkün değildir.

İlk 50 sayı içerisinde 1 sayısına geri dönmek için en uzun yol alan sayı 27’dir. Tam 112 adım…

Şekilde görüldüğü gibi, 67. adımda 7288, 77. adımda 9232 yüksekliğine çıkıyor ama sonra birden çöküşe geçiyor ve bir kaç çırpınışın ardından 1 sayısına geri düşüyor.

Dolu tanesi sayıları adı da zaten buradan gelmektedir. Sayıların iniş, çıkışı havada uçuşan doluların hareketlerinden daha farklı değildir. Bu onların değişmez bir kaderi midir?

Dolu tanesi sayılarının arasında bir kaç rekortmen daha var. Mesela 703 başlangıç sayısı. Bu dizi 170 adım sürüyor ve zirveye 250.504 ile ulaşıyor.

Bir diğer rekortmen ise 26.623 başlangıç sayısı. Bu sayıda tam 307 adım sürüyor ve zirve 10.358.020.

Bu sayılardan da anlayabilirsiniz ki aslında adım sayısı büyüyen başlangıç sayısına göre daha yavaş bir artış göstermektedir, ancak zirve değerleri çok daha hızlı…

Bir dolu tanesi sayısının eriştiği zirve değerinin hep çift sayı olması gerektiğini görmek kolaydır. Yine zirve rekorunun yalnızca tek olan başlangıç sayısıyla kırılabileceği de kanıtlanmıştır.

Eğer ilk yüz başlangıç sayısı için bütün dizi uzunlukları ve zirve yüksekliklerini içeren bir liste yapılırsa ilginç bir dağılım elde edilir. kesinlikle rastgele olmayan ama anlaşılması da kolay olmayan bir dağılım.

1 ile 1.000.000 arasındaki sayıların dizi uzunlukları

Bir hesap makinesi desteği ile 1 den 100’e kadar olanları sizde listeleyerek bu ilginç dağılımları görebilirsiniz. Çok fazla sürer diye düşünmeyin. Örneğin 7 sayısını ele alalım.

7,22,11,34,17,52,26,13,40,20,10,16,8,4,2,1….

Bu dizi bize sadece uzunluğun 16 ve zirve değerinin 52 olduğunu söylemiyor. Aynı zamanda 22 olan ikinci sayı içinde uzunluğun 16, zirve değerinin 52 olduğunu, üçüncü olan 11 içinde uzunluğun 14 zirve değerinin 52 olduğunu söylüyor.

Bu biçimde düşünürsek zaten bir tek sayı bize 16 tane sayı hakkında zaten bilgi vermekte…

Paul Erdös bu sayılar ile ilgili yorumunda, “Matematik henüz böyle problemlere hazır değil,”
demiştir.

Şimdiden deneyenlere sabırlar dileriz…

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Pell Sayı Dizisi ve Gümüş Oran

Matematikle az çok ilgili olan herkes, önemli kavramlardan olan Fibonacci dizisini ve altın oranı bilir. …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');