Ünlü Matematikçiler

Kurt Gödel ve Eksiklik Kanıtı

godel

Kurt Gödel, tüm zamanların en önemli mantıkçılarından biri olarak kabul edilir. Matematikte kanıtlanamazlığının kanıtı, yirminci yüzyılın en büyük bilimsel başarıları arasındadır. Ustaca bulgularından önce, birçok matematikçi, tüm matematiksel gerçeklerin kanıtının aksiyom adı verilen belirli temel kuralların dikkatli bir seçiminde yattığına ikna olmuştu. Matematik, dikkatli bir temel tanım seçiminden her teoremi kanıtlayabilen bir bilgisayar programı gibi düşünülüyordu. Ancak Gödel, insan zihninin asla böylesine mükemmel bir matematiksel sistemi yaratamayacağını bizlere gösterdi.

1931 yılında bir Alman bilim dergisinde kısa ve ilgi çekici olduğu kadar da düşündürücü bir yazı yayınlandı. Yazının başlığı şöyleydi. ‘Uber Formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica'( Üzerinde kesin kararlar veremeyeceğimiz matematik prensipleri ve benzeri sistemler). Yazarı ise Viyana Üniversitesinden 25 yaşındaki Kurt Gödel idi.

Bu yazı yayınlandığında, hem yazının başlığı hem de içeriği çoğu matematikçi tarafından bilinmiyordu. Adı geçende ‘The principia mathematica’ isimli üç bölümden oluşan çalışma Alfred North Whitehead ve Bertnard Russel’in matematikte mantık ve temel mantığın temelleri alanları ile ilgili meşhur çalışmalarıydı.

Bu alanda yetkin denilebilecek az sayıda bilim insanı olması ve konunun sadece belirli bir çevre tarafından izleniyor olması bu Gödel çalışmasının devrim niteliğinde sonuçlar doğurmasını gölgelemedi. Çünkü çalışma gerçekten temel felsefe alanında geniş ve etkin bir yer kaplıyordu.

Çalışması matematiğin merkezinde yer alan temel bir meseleyi ele almıştı.

Temel geometri dersleri alan herkes bilir ki bu disiplin tümdengelim bir yöntem ile öğretilir ve üretilir. Bir çok bilim dalında, doğruya giden yol temelde denemelerle olur, yani oluşturulan teoremlere deneme yanılma yöntemleri ile varılır. Oysa geometride bu olayı başka türlü ele alınır. Baştan bazı şeyleri doğru kabul eder ve bu doğruları temel olarak başka sonuçları elde etmek için kullanır. Şöyle ki bunu bir örnekle açıklayalım.

Geometri öğrenirken ‘İki noktadan ancak ve ancak bir doğru geçer’ ifadesini temel bir doğru olarak kabul eder ve sonra karşılaşacak ilgili konularda bu temel veriyi kullanırsınız. Yani ileride karşılaştığınız yeni durumları bunun üzerine teorem olarak inşa eder ve ispatını buna dayanırsınız.

İşte bu mantık çok eskiden beri matematikçileri cezbediyordu. Matematiği bir bütün olarak bu mantığın temeline dayandırmak istiyorlardı. “The Principia Matheematica” bu özlemin bir ürünüydü. Varılmak istenen, geometrideki gibi (aksiyom) temel kabul edilen doğrulara dayanarak özünde matematik genelde bilim, birbiriyle çelişmeyen doğrular üzerine inşa edilebilir ve tutarlı bir sistem kurulabilirdi.

Tarihe “Eksiklik Kanıtı” olarak geçecek olan Kurt Gödel tarafından yapılan bu çalışma bu konuda üzücü bir sonuç bildiriyordu bizlere. Bir matematik sistemine ait Gödel tipi önermeleri, sisteme aksiyom olarak eklemekle o sistem tamamlanamaz; çünkü, eklenen aksiyomlar, yeni bir matematik sistemi oluşturacak ve bu yeni sistem de kendi Gödel tipi önermelerini içerecek, yani yine eksik kalacaktır.

Hüseyin Barcaturmusan

Kaynak: Gödels Proof, New York University Press, New York; 1958 by E. Nagel and J. R. Newman

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu