Gödel Kanıtı

1931 yılında bir Alman bilim dergisinde kısa ve ilgi çekici olduğu kadar da düşündürücü bir yazı yayınlandı. Yazının başlığı şöyleydi. ‘Uber Formal unentscheidbare Sâtze der Principia Mathematica'( Üzerinde kesin kararlar veremeyeceğimiz matematik prensipleri ve benzeri sistemler). Yazarı ise Viyana Üniversitesinden 25 yaşındaki Kurt Gödel idi.

Bu yazı yayınlandığında, hem yazının başlığı hem de içeriği çoğu matematikçi tarafından bilinmiyordu. Adı geçende ‘The principia mathematica’ isimli üç bölümden oluşan çalışma Alfred North Whitehead ve Bertnard Russel’in matematikte mantık ve temel mantığın temelleri alanları ile ilgili meşhur çalışmalarıydı.

Bu alanda yetkin denilebilecek az sayıda bilim insanı olması ve konunun sadece belirli bir çevre tarafından izleniyor olması bu Gödel çalışmasının devrim niteliğinde sonuçlar doğurmasını gölgelemedi. Çünkü çalışma gerçekten temel felsefe alanında geniş ve etkin bir yer kaplıyordu.

Çalışması matematiğin merkezinde yer alan temel bir meseleyi ele almıştı.

Temel geometri dersleri alan herkes bilir ki bu disiplin tümdengelim bir yöntem ile öğretilir ve üretilir. Bir çok bilim dalında, doğruya giden yol temelde denemelerle olur, yani oluşturulan teoremlere deneme yanılma yöntemleri ile varılır. Oysa geometride bu olayı başka türlü ele alınır.

Baştan bazı şeyleri doğru kabul eder ve bu doğruları temel olarak başka sonuçları elde etmek için kullanır.

Şöyle ki bunu bir örnekle açıklayalım.

Geometri öğrenirken ‘İki noktadan ancak ve ancak bir doğru geçer’ ifadesini temel bir doğru olarak kabul eder ve sonra karşılaşacak ilgili konularda bu temel veriyi kullanırsınız. Yani ileride karşılaştığınız yeni durumları bunun üzerine teorem olarak inşa eder ve ispatını buna dayanırsınız.

İşte bu mantık çok eskiden beri matematikçileri cezbediyordu. Matematiği bir bütün olarak bu mantığın temeline dayandırmak istiyorlardı.

“The Principia Matheematica” bu özlemin bir ürünüydü. Varılmak istenen, geometrideki gibi (aksiyom) temel kabul edilen doğrulara dayanarak özünde matematik genelde bilim, birbiriyle çelişmeyen doğrular üzerine inşa edilebilir ve tutarlı bir sistem kurulabilirdi.

Tarihe “Eksiklik Kanıtı” olarak geçecek Gödel’in bu çalışması bu konuda üzücü bir sonuç bildiriyordu bizlere.

Bir matematik sistemine ait Gödel tipi önermeleri, sisteme aksiyom olarak eklemekle o sistem tamamlanamaz; çünkü, eklenen aksiyomlar, yeni bir matematik sistemi oluşturacak ve bu yeni sistem de kendi Gödel tipi önermelerini içerecek, yani yine eksik kalacaktır.

Hüseyin Barcaturmusan

Kaynak:

Gödels Proof, New York University Press, New York

1958 by E. Nagel and J. R. Newman

Matematiksel

Hazırlayan: Matematiksel

Avatar
Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.