GEOMETRİ

Geometride Dualite İlkesi Nedir?

Dualite: İki temel kavramın yer aldığı bir önermede bu iki kavramın yerleri değiştirildiğinde doğru olan yeni bir önermenin elde edilmesidir. Örneğin kategori kuramındaki her teoremin duali yine bir teoremdir.

Fransız geometrici Joseph Gergonne 1810 yılında yayımlamaya başladığı bir dizi makalesinde projektif geometride ( geometrinin izdüşümlerle ilgilenen alanı) düzlemdeki, her nokta ve doğruyu birleştiren teoremin duali olan ifadenin de doğru bir ifade olacağından bahsetmiştir.

Bu prensip basitçe, iki teorem arasında  kurulan bir örnekseme olarak açıklanabilir. Sözgelimi, bir teoremin dualini bulmak için ifadenin içinde geçen noktalar doğrularla, doğrular noktalarla ve hatta “çakışık” ifadesi “doğrusal” ifadesiyle değiştirilir.

Örneğin projektif uzayda “iki farklı nokta bir doğru belirtir” ifadesinin duali “iki farklı doğru bir nokta belirtir” şeklindedir.

Projektif uzayda paralel iki doğru da bir noktada kesişirler. Paralel olan tren raylarının sonsuzda birleşiyormuş görünmesi gibi.

duailite

Yazıda bunlara örnek teoremlere yer vereceğiz. Eğer bu teoremleri dinamik geometri yazılımlarını (geogebra vb.)kullanarak tecrübe ederseniz bu yazıdan çok daha fazla keyif alabilirsiniz.

Dualiteyi anlamak adına karşılıklı kavramların yer değişimini gösteren şema.

1. Pascal ve Brianchon

Aşağıda birtakım (ABCDEF) altıgenleri gösterilmiştir. (Sırasıyla A’dan başlayarak B,C,D,E,F şeklinde gidip en son A ya gelindiğinde bir altıgen oluşur.) Pascal ve Brianchon değişmezini anlama da bize yardımcı olacaktır.

Karşıt kenarların kesişim noktaları ‘nın çizilen altıgenlerden birincisi ve üçüncüsü birlikte düşünülerek ne anlama geldiği anlaşılabilir. Altıgende karşıt kenarlar AB ile ED , FE ile BC ve AF ile CD dir. İlk ve ikinci altıgende bunlar kesişmezken üçüncüsünde kesişmektedirler.

Şekil 1

Pascal Değişmezi

Bir konik kesit üzerine çizilmiş bir altıgenin karşıt kenarlarının kesişim noktaları aynı doğru üzerindedir. (ABCDEF, Şekil 1 deki 3. altıgen)

Brianchon Değişmezi

Bir konik kesit çevresine çizilmiş bir altıgenin (teğet olarak) karşıt köşelerinin birleşim noktaları tek bir noktadır.

Menelaus ve Ceva

Menelaus Teoremi

X, Y, Z noktaları sırasıyla bir ABC üçgeninin BC, CA , AB kenarları (uzantısı) üstünde noktalar olmak üzere bu noktaların doğrusal olması için gerek ve yeter koşul XB.YC.ZA=XC.YA.ZB dir.

Ceva Teoremi

X, Y, Z noktaları sırasıyla bir ABC üçgenin BC, CA ve AB kenarları üstünde noktalar olmak üzere AX, BY ve CZ  doğrularının tek bir noktada kesişmesi veya hepsinin paralel olması için gerek ve yeter koşul XB.YC.ZA=-XC.YA.ZB dir.

Bir teorem kendi kendinin de duali (self dual) olabilir.!

3. Desargues ve Desargues

Desargues Teoremi

Eğer ABC ve A’B’C’ üçgenleri karşılıklı köşeleri birleştiren AA’, BB’ ve CC’ doğruları tek bir noktada kesişecek şekilde (P noktası)konumlandırılırsa, karşılıklı kenarların uzantılarının kesiştiği noktalar (K, L ve M) aynı doğru üzerindedir.

Eğer ABC ve A’B’C’ üçgenleri karşılıklı kenarların uzantıları aynı doğru üzerinde olacak şekilde konumlandırılırsa karşılıklı köşeleri birleştiren AA’, BB’ ve CC’ doğruları tek bir noktada kesişir.

Kaynakça:

  1. Karadağ, N. (2006).Geometride Duallik İlkesi.  Bilim ve Teknik Dergisi. (cilt 463) (s. 85)
  2. Posamentier, A,S. (2004). Matematik büyücüsü . Çev: (Barış Akalın, Bilge Şipal). Güncel yayıncılık

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Aykut Çelikel

İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı