Dualite: İki temel kavramın yer aldığı bir önermede bu iki kavramın yerleri değiştirildiğinde doğru olan yeni bir önermenin elde edilmesidir. Örneğin kategori kuramındaki her teoremin duali yine bir teoremdir. Fransız geometrici Joseph Gergonne 1810 yılında yayımlamaya başladığı bir dizi makalesinde projektif geometride ( geometrinin izdüşümlerle ilgilenen alanı) düzlemdeki, her nokta ve doğruyu birleştiren teoremin duali olan ifadenin de doğru bir ifade olacağından bahsetmiştir.
Bu prensip basitçe, iki teorem arasında kurulan bir örnekseme olarak açıklanabilir. Sözgelimi, bir teoremin dualini bulmak için ifadenin içinde geçen noktalar doğrularla, doğrular noktalarla ve hatta “çakışık” ifadesi “doğrusal” ifadesiyle değiştirilir. Örneğin projektif uzayda “iki farklı nokta bir doğru belirtir” ifadesinin duali “iki farklı doğru bir nokta belirtir” şeklindedir. Projektif uzayda paralel iki doğru da bir noktada kesişirler. Paralel olan tren raylarının sonsuzda birleşiyormuş görünmesi gibi.
Yazıda bunlara örnek teoremlere yer vereceğiz. Eğer bu teoremleri dinamik geometri yazılımlarını (geogebra vb.)kullanarak tecrübe ederseniz bu yazıdan çok daha fazla keyif alabilirsiniz.
1. Pascal ve Brianchon
Aşağıda birtakım (ABCDEF) altıgenleri gösterilmiştir. (Sırasıyla A’dan başlayarak B,C,D,E,F şeklinde gidip en son A ya gelindiğinde bir altıgen oluşur.) Pascal ve Brianchon değişmezini anlama da bize yardımcı olacaktır. Karşıt kenarların kesişim noktaları ‘nın çizilen altıgenlerden birincisi ve üçüncüsü birlikte düşünülerek ne anlama geldiği anlaşılabilir. Altıgende karşıt kenarlar AB ile ED , FE ile BC ve AF ile CD dir. İlk ve ikinci altıgende bunlar kesişmezken üçüncüsünde kesişmektedirler.
Pascal Değişmezi
Bir konik kesit üzerine çizilmiş bir altıgenin karşıt kenarlarının kesişim noktaları aynı doğru üzerindedir. (ABCDEF, Şekil 1 deki 3. altıgen)
Brianchon Değişmezi
Bir konik kesit çevresine çizilmiş bir altıgenin (teğet olarak) karşıt köşelerinin birleşim noktaları tek bir noktadır.
Menelaus ve Ceva
Menelaus Teoremi
X, Y, Z noktaları sırasıyla bir ABC üçgeninin BC, CA , AB kenarları (uzantısı) üstünde noktalar olmak üzere bu noktaların doğrusal olması için gerek ve yeter koşul XB.YC.ZA=XC.YA.ZB dir.
Ceva Teoremi
X, Y, Z noktaları sırasıyla bir ABC üçgenin BC, CA ve AB kenarları üstünde noktalar olmak üzere AX, BY ve CZ doğrularının tek bir noktada kesişmesi veya hepsinin paralel olması için gerek ve yeter koşul XB.YC.ZA=-XC.YA.ZB dir.
Bir teorem kendi kendinin de duali (self dual) olabilir.!
3. Desargues ve Desargues
Eğer ABC ve A’B’C’ üçgenleri karşılıklı köşeleri birleştiren AA’, BB’ ve CC’ doğruları tek bir noktada kesişecek şekilde (P noktası)konumlandırılırsa, karşılıklı kenarların uzantılarının kesiştiği noktalar (K, L ve M) aynı doğru üzerindedir.
Eğer ABC ve A’B’C’ üçgenleri karşılıklı kenarların uzantıları aynı doğru üzerinde olacak şekilde konumlandırılırsa karşılıklı köşeleri birleştiren AA’, BB’ ve CC’ doğruları tek bir noktada kesişir.
Kaynakça:
- Karadağ, N. (2006).Geometride Duallik İlkesi. Bilim ve Teknik Dergisi. (cilt 463) (s. 85)
- Posamentier, A,S. (2004). Matematik büyücüsü . Çev: (Barış Akalın, Bilge Şipal). Güncel yayıncılık
Dip Not:
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım
Matematiksel
