Fizik

Gauss’un Dahiyane Bir Fikri: Gauss Yüzeyi

Matematikçi olarak tanınan Carl Friedrich Gauss, yaşamı boyunca içinde fizik, coğrafya, astronomi ve istatistiğinde bulunduğu birçok alanda da çalışmalar yapmış ve bu alanlara yeni bakış açıları getirmiştir. Gauss’un farklı şekilde bakmamızı sağladığı konulardan birisi de elektrik ve manyetizmadır. Gauss’un bakış açısını anlayabilmemiz için öncelikle bazı temel bilgileri öğrenmemiz gerekir.

Elektriksel Yük ve Elektriksel Kuvvet

Atomlar, çekirdek etrafında bulunan ve elektron adı verilen parçacıklara sahiptirler. Elektronlar çekirdeğin aksine hareketli bir yapıdadırlar ve atomların çeşitli etkileşimleriyle bir atomdan diğer atoma geçebilir. Diğer bir deyişle bir atomun çekirdeğinin etkisinden kurtulup diğer atomun çekirdeğine yakalanabilir. Bu elektronlar elektriksel yük olarak “negatif”lerdir. Çekirdekte bulunan protonlar ise “pozitif”lerdir. Bir atom ya da daha büyük ölçekte bir cisim bu elektonların hareketleriyle pozitif ya da negatif olacak şekilde yüklenebilirler. Bir cisim elektronlarını kaybederse, pozitif yük negatif yükten daha fazla olacağından o cisme pozitif yüklenmiş diyebiliriz. Tam tersi bir olayda yani bir cisim elektron kazanırsa cisim negatif yüklenir. Yüklenen cisimler ya da daha küçük ölçekte yükler birbirlerine çekme ve itme kuvveti uygularlar bu kuvvet Coulomb Kanunu tarafından şu şekilde ifade edilir:

{\displaystyle |\mathbf {F} |=k_{e}{|q_{1}q_{2}| \over r^{2}}\qquad }
F=kuvvet , q=yük , r= yükler arası mesafe , k = Coulomb sabiti ( yaklaşık 9×109 N⋅m2/C)

Elektrik Alan Ve Elektrik Alan Çizgileri

İki yüklü cismin birbirlerine kuvvet uygulayacağını belirttik. Bir yükün belirli mesafedeki birim pozitif yüke uygulayacağı kuvvet için “Elektrik Alan” kavramından yararlanacağız. Bu kavramı basitçe açıklarsak, yükler etki edebileceği bölgede bir elektriksel alan oluşturur. Eğer yükün etki alanına başka bir yük koyarsanız, yukarıda bahsettiğimiz elektriksel kuvvet olayı gerçekleşecektir. Yani yükler ya birbirini çekecek ya da iteceklerdir. Uyguladıkları kuvvet de Coulomb Kanunu ile bulunacaktır. Burada “Elektrik Alanı” kavramının sağladığı bakış açısı bizim belirli bir yükün, sanal birim pozitif yüke uygulayacağı etkiyi anlamımızı sağlıyor. Coulomb Kanunu’ndaki bir yükü birim yüke çevirirsek “Elektrik Alan” denklemini elde edebiliriz.

Görüldüğü üzere eğer Q yükünün oluşturduğu elektrik alana q büyüklüğünde bir yük eklerseniz aralarında oluşacak kuvveti elektrik alanın büyüklüğünü yükün büyüklüğü ile çarparak bulabilirsiniz. Zaten bu yaptığınız işlem aslında Coulomb Kanunu’nu uygulamanın farklı bir yoludur.

Yüklerin oluşturduğu bu alanın etkisini gözlemleyebilsek bile onu gözle göremeyiz. Bu esnada “Elektrik Alan Çizgileri” adı verilen sanal çizgiler elektrik alanı somutlaştırarak daha iyi anlamamıza yardımcı oluyorlar. Bu çizgiler, elektrik alan oluşturan bir yükün çevresine, elektrik alan ile aynı yönü gösterecek şekilde çizgiler çizilmesi ile elde edilebilir. Birim bölgedeki çizgilerin yoğunluğu yükün büyüklüğü ile doğru orantılıdır. Herhangi bir pozitif yük çevresinde bulunan pozitif birim yüke itme kuvveti uygulanacağından, pozitif yükün çevresindeki elektrik alan çizgileri dışarıya doğru yani pozitif yükten çevresine doğru çizilir. Tersine, negatif yük pozitif birim yüke çekme kuvveti uygulayacağından çevresindeki çizgiler içeriye doğru yani çevreden negatif yüke doğru çizilir.

Elektrik Akısı

Elektrik alanın bir yüzey boyunca devam ettiğini varsayalım. Bu alandan geçen elektrik alan , “Elektrik Akı” olarak tanımlanır yani elektrik akısı bir yüzeyden geçen elektrik alan çizgilerinin sayısıyla doğru orantılıdır. Bu aşağıdaki eşitlik sayesinde bulunabilir. Eşitlikteki açı elektrik alan ile yüzeyin yaptığı açıyı ifade etmektedir.

Gauss's Law
flux=akı , electric field=elektrik alan
Kaynakça : Hyperphysics

Eğer yüzey elektrik alana dik olacak şekilde konumlandırıldıysa akı en büyük değerini alır. Ayrıca açının değerine göre akı negatif bir değer alabilir. Eğer elektrik alan çizgileri kapalı bir hacmin yüzeyini terk ediyorsa akı pozitif bir değer alır fakat elektrik alan çizgileri kapalı hacmin iç tarafına doğruysa akı negatif bir değerdedir. Şimdi yüzeyin alanını çok ama çok küçük parçalara böldüğümüzü düşünelim. Bu durumda toplam akı, tüm bu küçük parçaların akılarının toplamına eşit olacaktır. Matematiksel olarak bu cümle şöyle ifade edilebilir.

{\displaystyle \Phi _{E}=\int _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} }

Kapalı bir hacmin örneğin bir küpün elektrik alan içinde bulunduğunu düşünelim ve toplam akıyı hesaplamaya çalışalım. Elektrik alan çizgilerinin küpün sağ ve sol yüzeyine dik olduğunu varsayalım. Bu üst ve alt yüzey alan çizgilerine paralel olacaklarından herhangi bir akı oluşumuna neden olmazlar. Küpün sağ yüzeyi için ise elektrik alan çizgileri küpün içine doğru olacaktır. Bu durumda yani sadece küpün sağ yüzeyini hesaba katarsak akı negatif bir değer alacaktır. Lakin aynı elektrik alan çizgileri küpün sağ yüzeyinden girdikten sonra sol yüzeyinden çıkacaklardır. Sol yüzey için akı pozitif bir değer olacaktır. Küpteki toplam akı için bu iki yüzeydeki akıyı toplarsak, eşit büyüklükteki fakat farklı işaretteki iki değeri topladığımızdan “0” değerini elde edeceğiz.

Bir diğer senaryo olarak aynı küpün içine bir pozitif yük koyduğumuzu düşünelim. Bu pozitif yük öğrendiğimiz üzere çevresinde bir elektrik alan oluşturacaktır. Eğer elektrik alanı sanal çizgiler yani elektrik alan çizgileri ile hayal edersek tüm çizgilerin küpün yüzeylerinden dışarıya doğru olduğunu fark edeceğiz. Bu durumda küpte net bir akı oluşacaktır. Bahsettiğimiz bu akıyı Gauss şu şekilde ifade etmiştir:

{\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}}

Ortasında yuvarlak bulunan integral kapalı yüzeyi temsil etmektedir. Integral hesabını tüm küçük yüzey alanların toplamının elektrik alan ile çarpımı olarak düşünebiliriz. Qs ise kapalı yüzey içinde bulunan yüktür. ε0 ise serbest uzayın geçirgenliğidir ve sayısal değer olarak yaklaşık 8.854 187 817… × 10-12 sayısına eşittir. Ayrıca Couloumb sabiti olan “k” ile aralarında şu ilişki bulunur.  k = 1/4πε0

Gauss Kanunu Ve Gauss Yüzeyi

İçinde pozitif yük bulunan küp örneğimizdeki küpün daha büyük bir küp içinde bulunduğunu düşünelim. Bu durumda en dıştaki küpten dışarıya doğru çıkan elektrik alan çizgilerinin sayısı küçük küpten dışarıya doğru çıkan elektrik alan çizgilerinin sayısı ile aynı olacaktır. Bu kullandığımız sanal küp , “Gauss Yüzeyi” adı verilen bir yaklaşımın bir örneğiydi ve Gauss’un dahiyane fikriydi. Gauss yüzeyleri simetriden de yararlanarak elektrik alanı farklı ve oldukça etkili bir yoldan bulmamıza olanak sağlar. Örneğin sonsuz uzunluktaki ve birim uzunluğa q yüklü bir ipin oluşturduğu elektrik alanı hesaplamaya çalışalım. (kalınlık ihmal ediliyor.)

MasteringPhysics: Problem Print View
Kaynak: PhysicBootcamp

Öncelikle bu ipin elektrik alanını bulmak için onu içine alan uygun bir gauss yüzeyi seçmemiz gerekmektedir. Yüzeyimiz silindir olsun ve bu sanal silindirin yüksekliğine L diyelim. Elektrik alan çizgileri bu silindirin sadece yan yüzeyinden geçeceği için (elektrik alan çizgileri dairesel yüzeylere paralel olacaktır) o yüzeyin alanını göz önünde bulundurmalıyız. Bahsettiğimiz yüzey alanı 2πRL olacaktır. Bu noktada üst ve alt yüzeylerin yüzey alanları hesaba katılmaz çünkü elektrik alan bu yüzeylere paraleldir.

{\displaystyle \Phi _{E}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} ={\frac {Q_{S}}{\epsilon _{0}}}}

Gauss eşitliğini eldeki veriler ile birleştirirsek, elektrik alanın (E) toplam yüzey alan (2πRL) ile çarpımının kapalı alandaki yük büyüklüğünün (Qs) serbest uzay geçirgenliğine (ε0) bölümüne eşittir. E (2πRL) = Qs /ε0 ; Qs = q.L (Birim uzunluğa denk gelen q yükünü toplam uzunlukla çarparsak , kapalı alandaki yük büyüklüğünü elde ederiz.) E=(qL) / (2.π.R.Lε0) =q / 2πRε0

Ayrıca simetriden şunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Elektrik alanın yönü yukarıya doğru yani +y doğrultusunda olacaktır. Çünkü birim uzunluğu denk gelen her bir q yükünün elektrik alanlarını hesaba katar ve onları vektörel olarak birbirlerine ekler isek toplam vektörünün +y yönünde olacağı gözükecektir. Elektrik alan çizgileriyle anlatmak gerekirse, silindirin yüzeyinde ve ipin orta noktasıyla aynı hizada bulunan bir nokta belirleyin ve o noktaya ipin üzerindeki ve orta noktasına eşit uzaklıktaki iki noktadan elektrik alan çizgileri çizin. ( İpteki her iki noktayı iki farklı düz çizgiyle silindirin üzerindeki noktayla birleştirin).

Bu çizgilerin birinin başlangıç noktasını diğerinin bitiş noktasına ekleyip üçgene tamamlayan son çizgiyi çizerseniz ki bu son çizgi iki vektörün toplamına denk gelecektir. Bu durumda son çizginin yukarı yöne doğru yani y ekseni üzerinde olacağını görürsünüz. Sonsuz uzunluktaki bir ip üzerinden alacağınız herhangi bir nokta için orta noktasına simetrik bir başka nokta daha bulabileceğinizden oluşan net elektrik alan +y yönünde olacaktır.

Bir diğer örnek olarak ise birim +1q yükünün r kadar uzaklığındaki elektrik alanı bulmaya çalışalım. Merkezi Q yükünün bulunduğu yer olan ve r yarıçaplı bir küreyi gauss yüzeyimiz olarak düşünelim. Bu durumda Q yükünün oluşturduğu elektrik alan çizgileri kürenin yüzeyinden ayrılacaktır ve kürenin yüzey alanı 4πr2 ile bulunur.

MASSACHUSETTS INSTITUTE OF TECHNOLOGY
MIT

Gauss eşitliğini elimizdeki veriler ile birleştirirsek şu denklemleri elde ederiz. E(4πr2)=q/ε0; E=q/(ε04πr2) ve k=1/4πε0 ise E=kq/r2 . Gördüğünüz gibi bu ifade en başta Coulomb Kanunu kullanarak yazdığımız ifade ile birebir aynı ifade.

Not : Gauss kanunu ile elektrik alan hesabı seçtiğiniz herhangi bir sanal yüzey kullanarak yapılabilir fakat matematiksel işlemleri kolaylaştıracağından genellikle simetrik yüzeyler tercih edilir. Önceki sorumuzda silindirik bir yüzey ve bu sorumuzda küresel bir yüzey seçmemizin sebebi de simetridir.

Bu yazımızda Gauss’un dahiyane fikri olan Gauss yüzeylerini olabildiğince açıklayıcı ve sade bir dille anlatmaya çalıştık. Eğer sizin de dahiyane bulduğunuz fikirler var ise bizimle yorumlarınız aracılığıyla paylaşırsanız seviniriz. Kim bilir belki bir sonraki yazımızda o konuya yer veririz.

Matematiksel

Kamil Anıl

Cevaplardan çok sorulara merak duyan ve çok soru soran eğitim hayatını ODTÜ'de sürdüren bir talebeyim. Ayrıca bilim ve matematiğin uçsuz bucaksız olduğuna ve herkese ulaşabileceğine inanmaktayım. Yeter ki ne kadar zaman geçerse geçsin "hala öğreniyorum" diyebilelim.
Başa dön tuşu