Fourier Serileri ve Notaların Matematiği

Müzik organize edilmiş sestir. Yani bu basınç değişimlerinin enstrümanlar yardımıyla belli şekillerde yaratılmasıyla müzik ortaya çıkar. Aynı notayı farklı müzik enstrümanlarında farklı şekilde duymamız ise, notaların havada yarattığı dalgaların biçimlerindeki farklılıklardan kaynaklanır.

Havada bulunan moleküller sürekli olarak birbirine kuvvet uygular ve basınç yaratırlar. Belli bir noktada moleküller sık ise basınç daha yüksek, daha seyrek ise basınç daha düşük olur. Sesi, bir kaynağın hava moleküllerinde yarattığı bu basınç değişimlerinin kulakta yarattığı etkilerinin sonucunda duyarız.

Aşağıdaki tabloda bir ses dalgasının hareketini ve onun matematiksel ifadesini görüyoruz.

Fourier Serileri ve Notaların Matematiği
 PP ekseni basıncı temsil ediyor, xx ekseni ise uzayda ses dalgasının hareket yönünü gösteriyor. Noktaların sık olduğu yerlerde basıncın yüksek, seyrek olduğu yerlerde basıncın düşük olduğunu görebilirsiniz. Eğrinin xx eksenini kestiği noktalar (bir başka deyişle PP’nin sıfır değerini aldığı yerler) atmosfer basıncını temsil ediyor. Yani ses, atmosferik basınçta yaratılan değişimlerle ortaya çıkıyor. Grafikte, zaman geçtikçe moleküllerin xx ekseni yönünde dalga gibi hareket ettiğini ve karşılık gelen grafiklerin de bir dalga gibi kaydığını görüyoruz.

Yukarıdaki görseldeki grafikler aslında sinüs fonksiyonunun grafikleridir. Grafiklere baktığımızda iki temel özellik dikkat çekiyor. Birincisi PP’nin aldığı en yüksek ve en düşük değerler. Hatırlarsanız PP değeri atmosferik basınçtan sapmayı ifade ediyordu. Bu sapma yani basınç değişimi ne kadar büyükse ses o kadar “yüksek” oluyor.

İkinci özellik ise grafiklerin “periyodik” olması. Yani grafik birbirini tekrar eden şekillerden oluşuyor. Bu tekrar ediş ne kadar sıksa sesin “frekansı” o kadar yüksek oluyor. Tekrar ediş ne kadar seyrek ise sesin “frekansı” o kadar düşük demek.

Nota dediğimiz şey temel olarak sesin frekansı ile belirleniyor. Yani nota basınç değişiminin sıklığını ifade ediyor. Bir başka deyişle nota atmosferik basınçtan sapmanın büyüklüğüyle yani sesin yüksekliğiyle değil frekansı ile tanımlanıyor.

Örnek olarak AA ile gösterilen la notası 440hz ve katları frekanslarla tanımlanır. Hertz bir saniyedeki tekrarlama sayısı olarak tanımlanır. Yani la notasını çaldığımızda kulak zarımız bir saniyede 440 kere aynı periyodu algılıyor.

Farklı enstrümanlardan aynı notayı çaldığımızda farklı duymamıza sebep olan şey nedir?

Aşağıdaki grafikte üç farklı enstrümanda çalınan la notasının (440hz) ürettiği ses dalgalarını görüyoruz. Bu dalgalar yukarıda bahsettiğimiz saf sinüs dalgası formunda değiller ve hepsi de birbirinden farklı. Dolayısıyla algıladığımız seslerin hepsi aynı la olsa da farklı şeyler duyarız.

Bu duyma işlemindeki en önemli rollerden biri kulak içindeki salyangoz kısmının tabanında bulunan zar tarafından gerçekleştirilir. Şimdi bu zarın yaptığı işle matematikteki dalga teorisinin ilişkisinden bahsedip bitiriyoruz.

Fourier Serileri ve Notaların Matematiği

Fourier teoremi

f isminde yeterince düzgün periyodik bir fonksiyonumuz olsun ve bir periyottaki ortalama değeri sıfır olsun. O zaman f fonksiyonu şu şekilde ifade edilebilir:

Fourier Serileri ve Notaların Matematiği

Burada “yeterince düzgün” türevlenebilirlik anlamında kullanılıyor. Grafiğinde çok keskin dönüşler ya da kopmalar olmayan bir fonksiyon olarak düşünülebilir. Ortalama değerin sıfır olmasını konuyla ilişkilendirerek şöyle anlayabiliriz.

Fonksiyonumuz ilk grafikteki gibi atmosferdeki basınç değişimlerini ifade ediyor. Atmosferdeki basınç değişimlerini ortalamada sıfır kabul edebiliriz. Bir yerde basınç azalıyorsa diğer yerde aynı oranda artmalı prensibinin ifadesi olarak görülebilir.

Teoremin bize söylediği şu: enstrümanlardan la sesi çıkardığımızda üstteki resimde ortaya çıkan ses dalgaları sinüssel fonksiyonların toplamı şeklinde ifade edilebilir. Dolayısıyla nota, enstrümana bağlı olarak, bir tek saf sinüs dalgası şeklinde değil, farklı frekanstaki sinüssel dalgaların bir birleşimi olarak kulağımıza gelir.

Ayrıca n bir doğal sayı olmak üzere sinnx fonksiyonunun frekansı sinx fonksiyonunun frekansının n katıdır. Dolayısıyla teoremin bize söylediği şey, bir nota n=1’e denk gelen “temel frekans” ve frekansı onun katları olan sinüssel dalgaların birleşimi olarak ortaya çıkıyor.

Formülde görülen An ve Bn katsayıları nota içinde “harmonik” diye tabir edilen üst frekansların şiddetini yani o frekanstaki seslerin yüksekliğini bize söylüyor. Aşağıdaki grafikte notanın frekanslara ayrışmasını görebiliriz:

Fourier Serileri ve Notaların Matematiği

Burada ilk 4 harmoniğin grafiklerini görüyoruz. Her enstrüman için kırmızı grafik n=1’e yani temel frekansa denk geliyor. Diğer renkteki grafiklerin frekansının kırmızı renkli grafiğin frekansının katları olduğunu görebilirsiniz.

Notaların frekansla belirlendiğinden bahsetmiştik. Kulaktaki salyangozun içindeki zarın yaptığı işlem tam olarak bu fourier toplamını deşifre etmek. Bu deşifrede n=1’e denk gelen temel frekans ise notayı belirleyen frekans!

Kulağımız bu deşifreyi şöyle yapıyor: Salyangozun içindeki zarın kalınlığı salyangoz içerisinde değişiklik gösteriyor ve kalın bölgeler düşük frekansları, ince bölgeler ise yüksek frekansları algılıyor.

Fourier serileri ile ilgili çalışmalar matematikte en soyut alanların gelişmesine önayak olmuş çalışmalar ve kulağımız bu soyutlukta çalışmalarla uyum içerisinde! Yani matematik en soyut mertebesinde bile matematikçilerin onu nasıl icra ettiğinden bağımsız bir şekilde doğayla derin bir ilişki içerisinde!


Okuma Önerisi: Fourier Dönüşümü: Basit Bir Buluş Birçok Sırrın Kilidini Nasıl Açtı?


Kaynak: The Mathematics of Music, Zhou Fan, http://www.stat.yale.edu/~zf59/MathematicsOfMusic.pdf

Kaynak
Notaların matematiği

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu