Fermat’ın Teğetaltı (Subtangents) Metodu

Fermat’tan önce eğrilere ait teğetleri bulma yöntemleri tamamen geometrikti. Descartes’in kartezyen düzlemi keşfetmesiyle birlikte adı modern matematik olarak geçen yeni bir dönem başladı. Descartes’tan önce matematik tamamen geometrik anlamaya dayalıyken, Descartes’la birlikte matematikte sembolik ifadeler daha fazla yer almaya başladı. Bundan sonra geriye kalan herhangi bir kişinin bir eğriye herhangi bir noktasındaki teğetin denklemini veren sembolik bir yol bulmasıydı. 1629 yılında Fermat modern kalkülüs metotlarına benzeyen bir yöntem geliştirmiştir. O, bu yöntemle kartezyen düzlem üzerindeki herhangi bir eğriye ait teğetleri bulabiliyordu.

Aşağıdaki figür y=f(x) eğrisini ve C noktasını göstermektedir ve biz bu noktadaki teğetin denklemini bulmak istiyoruz:

Fermat’ın yöntemini kullanarak bu denklemi bulmaya çalışalım.

|AD| uzunluğuna t diyelim aynı zamanda bu teğetaltı uzunluğu olacaktır. Z de D ile B arasındaki uzaklıktır. B noktası, F noktasından indirilen dikmenin x eksenini kestiği noktadır. Biz D noktasını sabit ve B noktasını da D’ye yaklaşıyor kabul edelim ta ki aralarındaki fark kapanana kadar.

Bu yüzden F(x+Z, f(x+Z)) noktası teğet çizgisine çok yakındır. O halde eğri üzerindeki bu nokta teğet üzerindeymiş gibi düşünülebilir. Çünkü C ile F arasındaki değişim oldukça çok küçüktür.

ACD üçgeni ile AFB üçgeni benzerdir. Böylece şu eşitlikleri kurabiliriz:  

Şimdi bu uzunlukların yerine gerekenler yazıldığında

Bundan sonra temel cebir işlemleri kullanılarak bu denklemin  t’ye göre çözümü yapılır. Bu denklemde f(x) li terim dağıtılır.

f(x+Z)t=(t+Z)f(x)

t’li olan terimler eşitliğin sol tarafına gönderilir

f(x+Z)t-f(x)t=Zf(x)

Sol taraftaki ifadeler t parantezine alınır.

t[f(x+Z)-f(x)]=Zf(x)

Ve sonuç olarak t‘ye göre çözüm bize şu sonucu verir:

Bulduğumuz yeni denklemde Z’li terimleri hesaba dahil etmeyebiliriz çünkü Z sayısı çok küçük bir sayı olarak kabul etmiştik. 

Bu denklemde bu söylediklerimiz yapıldığında teğetin denklemini t ve x’e bağlı olarak buluruz.

(*) denklemini gören herkes muhakkak bir şeyler anımsayacaktır. Fermat’ın metodu modern türev formülüyle çok benzerdir. Benzer diyebiliriz çünkü Fermat’ın metodunda, ana kavram olan limit kavramı yer almamaktadır. Bu yüzden geometrik fikirler limitin kesin olarak tanımlanmasını gerektirmektedir.

Şimdi parabolün herhangi bir noktasına ait teğet doğrusunun denklemini Fermat’ın metodunu kullanarak bulmaya çalışalım.

Kaynakça:

SALVATORE J. Petrilli,. More history and Less Symbolic Manipulation in Calculus

Aykut ÇELİKEL

Matematiksel

Hazırlayan: Aykut Çelikel

Avatar
İzmir Anadolu Öğretmen Lisesi 2007, Dokuz Eylül Üniversitesi Matematik Öğretmenliği Bölümü 2012 mezunuyum. MEB'de görev yapmaktayım. Matematik yapmaktan ve de hakkında yazmaktan keyif alan bu adamın bir hayali de öğrencileriyle birlikte Euclid'in muhteşem eseri olan Stoikheia(Elemanlar)'ı tartışma zemininde okumak.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.