En Kısa Zaman Eğrisi

Bir kayak pistinin eğimi nasıl ayarlanmalı ki kayakçılar inişlerini en kısa sürede bitirsin?

Kayak liftlerini işletenlerin aklına gelebilecek bu problem 1696’da matematik tarihinin en renkli ailesi Bernoullilerin ilk kuşağından olan Johann Bernoulli’nin aklına geldi. Döneminin önde gelen matematikçilerine meydan okumak için sorduğu soru şuydu: Dik bir düzlemde alt alta olmayan iki nokta arasına nasıl bir eğri çizilsin ki bu eğri boyunca sadece yerçekimi etkisiyle sürtünmesiz kayan bir cisim bu iki nokta arasındaki yolu en kısa sürede alsın?

Akla şöyle bir çözüm önerisi gelebilir: İki noktayı bir telle birleştirir, tele de ortası delik bir boncuk geçirip yukarıdaki noktadan aşağıdaki noktaya kaç saniyede kaydığını ölçebiliriz. Daha sonra teli eğip büküp boncuğun kayacağı yolun şeklini değiştirir ve boncuğu tekrar yukarıdan bırakıp aşağıdaki noktaya kaç saniyede geldiğini ölçeriz. Yolun şekli değiştikçe ölçülen zamanın da değiştiğini gözleyince ilk akla gelen soru “tele nasıl bir şekil verirsek en kısa zaman ölçümünü alırız” olacaktır. İşte Bernoulli’nin sorduğu soru da buydu.

Johann ve Jakob bir soru üzerine çalışırken

Bernoulli kendi ifadesine göre bu problemi iki haftalık bir çalışma sonunda çözmüştü. Çözüm için dâhiyane bir yöntem kullanmıştı. Peki çözdüğü halde bu soruyu neden sormuştu, muhtemel amacı merak uyandırmak, dikkat çekmek, biraz da rekabet ortamı yaratmaktı. Kimsenin sonucunu merak etmediği bir problemi çözmek yeterince tatmin edici değildir bilim dünyasında.

Işığın bir ortamdan başka bir ortama geçerken hızı ve gidiş açısı değişir. Bu açılar ve hızlar arasında bir ilişki vardır ve bu ilişki Snell kurallarıyla modellenir. Işığın bir ortamdaki hızı biliniyorsa bir başka ortamdaki hızı giriş ve çıkış açıları ölçülerek bulunur. Bernoulli’nin fikri bu modeli tersten kullanmaktır. Cismin her noktada hangi açıyla yoluna devam ettiğini bulursa, takip ettiği eğriyi de görmeyi umut ediyordu. Bernoulli bu yaklaşımla hem problemi çözmüş hem de en hızlı parkuru veren eğrinin çok “sevimli” bir eğri olduğunu görmüştü.

Probleme gönderilen çözümlerden biri Johann’ın ağabeyi Jacob Bernoulli’ye aitti. Kardeşinden
daha akılı olduğunu göstermek için problemi çözmekle yetinmemiş bazı genellemeler de yapmıştı.
Türev ve integral hesaplarını Newton’la aynı zamanda bulduğu kabul edilen filozof ve matematikçi
Gottfried Leibniz de bir çözüm gönderdi.

Bir başka çözüm de türevlenebilir fonksiyonlar üzerine ilk kitabı yazan Fransız matematikçi Guillaume de l’Hôpital’den geldi. L’Hôpital bu ilk analiz kitabını adını vermeden bastırmış ve içindeki sonuçları Leibniz ve Bernoulli’den öğrendiğini yazmıştı. Özellikle Johann Bernoulli’den öğrendiği ve belirsiz limit alma problemlerini çözen yöntem, her ne kadar Bernoulli’den öğ-
renilmiş olsa da, bugün l’Hôpital’in kuralı olarak adlandırılır.

Bugün cebirde Galois kuramı üzerinde çalışanların adını hemen tanıyacağı Ehrenfried Walter von
Tschirnhaus da Bernoulli’nin problemine doğru bir çözüm göndermişti. Ama dönemin  yıldızlarından Isaac Newton’dan henüz ses çıkmamıştı.

Johann Bernoulli, biraz da Newton’u bu problemle uğraşmaya tahrik etmek için, çözüm göndermeyen matematikçilerin bu problemi çözemediği söylentisini yaymaya başladı. İngiliz kaynaklarından öğrendiğimize göre kendi matematikçileri Newton, problemi bir akşamüstü eve
gitmek üzere okuldan ayrılırken posta kutusunda bulur. O gece oturur ve oda problemi hemen çözer.

1633’te engizisyon mahkemesi tarafından “Dünya Güneş’in etrafında dönüyor” dediği için ev hapsine mahkûm edilen ve bir daha kitap yazması yasaklanan Galileo evinde boş durmamış, beş
yıl sonra en önemli eseri sayılan İki Yeni Bilim başlıklı kitabını yazmayı bitirip Hollanda’da kaçak olarak yayımlatmıştır.

Bu kitapta incelenen konulardan biri de dik bir düzlemde, birbirinin altında olmayan iki nokta arasında sadece yerçekimi etkisiyle kayan bir cismin bu mesafeyi en kısa sürede alması için nasıl bir yol izlemesi gerektiği problemidir. Avrupa’da o zaman çok ses getiren bu kitaptaki problemi Johann Bernoulli’nin okumamış olması mümkün mü? Ama Bernoulli kendisine bu kitaptaki problem gösterildiğinde daha önce hiç görmediğini söylemiştir. Yine tipik bir “küçük sanatçılar başkaları-
nın fikrini ödünç alır, büyük sanatçılar çalar” durumu.

Bernoulli’nin şansı Galileo’nun bu problemi kendisinden önce sormuş olmasına rağmen yanlış çözmüş olmasıdır. Evet, Galileo bile hata yapabilir. Bilimde, yapılan hatalar değil doğrular kayda geçer.

Galileo bu problemi incelerken önce bir çeyrek çember yayı alır. Bu yayın içinde birbiri ardına gelen kirişler alır ve cismin bu kirişler boyunca eğik düzlem kurallarına göre kayıp aşağıdaki noktaya ne kadar zamanda gideceğini hesaplar. Kiriş sayısı arttıkça, yani takip edilen yol çember yayına yaklaştıkça sürenin kısaldığını görür. Buraya kadar yapılan hesaplar doğrudur. Ancak Galileo bu hesaplar sonunda en hızlı parkurun çember yayı olması gerektiği sonucuna varır ki bu biraz ace- leyle yapılmış bir gözlemdir.

Fakat Galileo’nun yanlış cevabı o kadar da “kötü” değildir. Galileo’nun incelediği gibi bir çeyrek çember yayıyla aynı iki nokta arasındaki sikloid eğrileri süre bakımından yarıştırılırsa Galileo’nun parkuru sadece yüzde bir buçuk daha yavaş kalır. Yani bir cisim sikloid boyunca yüz saniyede kayarsa çeyrek çember üzerinde yüz bir buçuk saniyede kayar. Aynı iki noktayı birleştiren eğik düzlem üzerinde ise bu süre yüz dokuz buçuk saniye olacaktır.

En kısa süre şampiyonu olan sikloid eğrisiyle tanışma zamanımız geldi.

Bir doğru boyunca dönerek ilerleyen bir çemberin üzerindeki sabit bir noktanın takip ettiği yola sikloid eğrisi denir. Bu eğriyi incelemeye değer bulan ilk matematikçiler bu eğrinin daha büyük bir çemberin yayı olduğunu düşünmüştür. Gerçekten de bir sikloid yayına bakarsanız bunun bir çember yayı olmayabileceğinden şüphelenmezsiniz. Ancak bu eğrinin denklemlerini çıkarmaya çalışınca bunun bir çember yayı olmadığını görürsünüz. Bu eğri üzerine kapsamlı ilk çalışmayı Galileo ile öğrencisi Torricelli yapmıştır ve bugünkü ismini veren de Galileo’dur.

Sikloid üzerine kalıcı çalışmalar yapan bir diğer kişi Blaise Pascal’dır. Pascal matematikçi olarak başladığı hayatına ilahiyatçı olarak devam etmiş ve bu alanda hâlâ övgüyle söz edilen çalışmalar yapmıştır. Bir gece diş ağrısından uyuyamayınca sikloid eğrisiyle uğraşırsa ağrısını unutacağını düşünüp masasının başına geçmiş. Bir süre sonra gerçekten dişinin ağrısı kesilince bunun tanrısal bir işaret olduğunu düşünüp o sıralar matematiği bırakmış olmasına rağmen sikloid eğrisi üzerine yoğun bir çalışmaya girişmiştir. Sekiz günlük çalışma sonunda sikloid eğrisinin pek çok özelliğini bulmuş ve bu konuda ödüllü bir de yarışma açmıştır. Pascal “rulet” adını verdiği sikloid ile ilgili buluşlarını Cavaliere’e Mektuplar adı altında ve Amos De tonville takma adıyla yayımlatmıştır. Bu takma ad önemli bazı yazılarında kullandığı Louis de Montalte’deki harfler kullanılarak, ama “u” yerine “v” alınarak oluşturulmuştur.

Sikloid eğrisinin matematikçilerin ilgisini bu denli çekmesinin ve birbirlerine meydan okuyan sorular sormalarına yol açmasının nedeni, tarifi ve hele denklemleri karışık olmasına rağmen özelliklerinin ifadesinin çok “şık” olmasıdır. Örneğin bir çemberin tam dönüşüyle elde edilen sikloid eğrisinin uzunluğu onu çizen çemberin çapının dört katı, altında kalan alan ise onu çizen çemberin alanının üç katıdır. Bu sikloid eğrisini x-ekseni etrafında döndürerek elde edilen cismin hacmi ve yüzey alanı da yine o sikloid eğrisini çizen çemberin yarıçapı cinsinden basitçe ifade edilebilir. Matematikle uğraşmaya başladıktan bir süre sonra matematik dünyasına özgü bir “güzellik” kavramı geliştirmeye başlarsınız. İşte sikloid bu kavrama göre çok “güzel” bir eğridir.

En kısa zaman eğrisini bulmak için sikloid eğrisini x-eksenine alttan değen bir çember yardımıyla çizeriz.

Matematik eğitimini kendi verdiği kardeşinden geri kalmaya tahammülü olmayan Jacob Bernoulli bu zincir eğrisinin denklemini bulma problemini meslektaşlarına bir meydan okuma olarak sordu. Bu soruya Leibniz, Huygens ve kardeşi Johann Bernoulli doğru cevap gönderdi. Bu eğrinin denklemi genel olarak bir hiperbolik kosinüs fonksiyonuyla verilir.

Trigonometrik sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının bir çember yardımıyla tanımlanmasına karşılık hi- perbolik sinüs ve kosinüs fonksiyonları bir hiperbol kolu kullanılarak tanımlanır. İsim benzerliği hem sağladıkları denklemlerin benzerliğinden hem de Taylor açılımlarındaki benzerliktendir. Örneğin sinüs fonksiyonunun Taylor açılımındaki tüm işaretleri artı yaparsanız hiperbolik sinüs fonksiyonunun açılımı bulunur.

Johann Bernoulli’nin sorusuyla matematikte yeni bir araştırma alanı açıldı. Özellikle ağabeyi Jacob Bernoulli en kısa zaman eğrisi için verdiği çözümde ilk defa “integral” kelimesini kullanmış, genel olarak beklenen bir sonucu veren fonksiyonlar arasında en uygun olanı bulma problemine değinmiştir. Daha sonra Johann Bernoulli’nin öğrencisi olan Euler ve o dönemin ustalarından Lagrange bu probleme çok önemli katkılar yapmıştır. Bugün bu çeşit problemlerin çalışıldığı alana değişkenler hesabı adı verilir. Hilbert’in tüm yirminci yüzyıl matematiğini yönlendiren meşhur yirmi üç problemlik listesindeki yirminci ve yirmi üçüncü problemler bu konuyla ilgilidir.

Sikloid eğrisi, zincir eğrisi ve burada sözünü etmediğimiz pek çok eğri bugün gerek mimaride yapılara biçim ve güç katmakta gerekse otomotiv endüstrisinde en az sürtünmeyle çalışan dişlilerin yapımında kullanılmakta. Otomobillerin kaportalarının hava direncini azaltmak, gemilerin ve denizaltıların suda en az sürtünmeyle ilerlemesini sağlamak için de çeşitli eğriler kullanılır. Ama gördüğünüz gibi bu eğriler on altıncı yüzyılda, Henry Ford’un meşhur model T otomobilini çıkar- masından yüzlerce yıl önce bulunmuştu.

Lunaparklarda inişli çıkışlı parkurlarıyla binenlerin yüreğini ağzına getiren hız trenlerinin en çok heyecan uyandıran iniş raylarında da sikloid eğrisi kullanılır. Sadece yerçekimiyle düşmeye bırakılan trene en yüksek hızı kazandırmak için matematik kullanılmasından daha doğal ne olabilir ki.

Yaptığı her temel bilim çalışması sonunda heyecanla buluşlarını başkalarıyla paylaşmaya çalışan bilim insanı kaçınılmaz olarak “peki bu ne işe yarayacak” sorusuna takılır. Bulundukları anda coşku yaratan, onları bulanların bir anlığına da olsa hayatın anlamına dokundukları hissine kapılmasına yol açan bu muhteşem buluşların, sıradan günlük hayatları etkilemiyorlarsa sanki hiç değerleri yoktur. Oysa bugün günlük hayatı teknoloji sayesinde doğrudan etkileyen temel bilim konusundaki pek çok buluş, zamanında sadece meraklı birkaç araştırmacının birbirini etkilemek ve kendi çocukça meraklarını gidermek için yaptığı çalışmalar sonunda ortaya çıkmıştır. Hiçbir uygulaması olması beklenmeyen ve sadece bilimsel bir haz duymak için yapılmış nice buluş bugün günlük hayatımızı açıkça biçimlendirmektedir.

Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz

Bilkent Üniversitesi – Fen Fakültesi – Matematik Bölümü

Yazı sitemize aslına uygun kalınarak kısaltılarak eklenmiştir.

Bilim Teknik Mart 2017 Sayı:592 

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Güvercin Yuvası Prensibi

Güvercin yuvası ilkesi, matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda bizi bir çok ilginç olgularla …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');