Matematiksel Güzellik: Euler Formülü

Matematiksel güzellik nedir?

Bir çok kişi bu soruya anlamlı bir cevap veremeyecektir. Oysa G.H.Hardy kitabında, teoremlere zarafeti kazandıran özelikleri şöyle sıralıyor: Ciddiyet, derinlik, genellik, beklenmedik olma, kaçınılmazlık ve ekonomi.

“Matematik doğru açıdan bakıldığında, sadece gerçeğe değil ulvi bir güzelliğe de sahiptir. Bu güzellik bir heykeldeki gibi soğuk ve serttir. Zayıf doğamız için herhangi bir çekiciliği olmayan, resmin veya müziğin göz kamaştırıcı süslerinin olmadığı ama yine de yüce bir saflıkta ve tam bir kusursuzluk içinde.” – Bertrand Russell

Bir tabloyu sanat yapıtı yapan şey doğadaki nesneleri, ışıkları, gölgeleri ve renkleri
uyumlu bir düzen içinde sunuşudur. Genellikle, sanat yapıtı sayılan bir tabloda, estetik sahibi birisini rahatsız edecek renk, ışık ve gölge eksikliği ya da fazlalığı olmaz. Bu olgu estetiğin minimal tamlık ve maksimum yarar ilkesidir.

Acaba matematikte bu olabilir mi? Evet, hem de ölçülebilir biçimde minimal tamlık ve maksimum yarar ilkesi uygulanabilir. İşte Euler Formülü bu ölçütlere uymaktadır. Bu görüşte birçok matematikçi birleşmektedir.

Formül deyince bir dakika durmamız gerekli, neden bazı kaynaklarda belirtildiği gibi Euler Denklemi ya da Euler Özdeşliği değil de formülü…

Eğer adına denklem deseydik bir çözümü olması lazımdı… Demek ki denklem değil…

Eğer adına özdeşlik deseydik değişkenler yerine ne yazılırsa yazılsın sonucun sağlaması lazımdı, ancak işin içinde zaten hiç değişken yok, demek ki özdeşlikte değil…

Geriye kala kala formül demek kaldı elimizde.

Ancak bir başka genel yapılan yanlış daha var bu formül hakkında. Her ne kadar formülün adı Euler olsa da aslında bu formülü ilk bulan kişi kendisi değil. Aslına bakarsanız Roger Cotes tarafından 1714 yılında bu formül kaleme alındığında Euler henüz 7 yaşında bir çocuktur…

Roger Cotes adı unutuldu, matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da kendisini dolaylı olarak üzerinde çalıştığı bu formül ile hafızalara yazıldı.

Şimdi gelin bu formülü ve onu özel kılanları yakından inceleyelim. Aşağıdaki teorem, karmaşık sayıların anlatıldığı derslerin başlangıcında öğrencilere öğretilen basit bir eşitliktir.

                                                 eiπ= cosΘ +isinΘ

Euler formülünü oluşturan öğeleri bildiğimize göre yukarıdaki eşitlikte teta değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1)  eşitliğimiz e=-1 haline dönüşür.

Jerry P.King’in deyişiyle “Bu eşitliği gören her matematikçi, denklemin iki yanına +1 eklemek için dayanılmaz bir istek duyar” ve şu denklemi elde eder: e+1=0

Bu iki denklem birbirine tamamen denktir. Ama, ikinci denklemin matematik bilen herkes için dayanılmaz bir cazibesi vardır. Çünkü o, matematiğin beş önemli nesnesini içerir: 0, 1, e, i , π. Minimal tamlık ilkesine uyar, çünkü içinde gereksiz hiçbir şey yoktur. Maksimal yarar ilkesine uyar, çünkü bu basit bağıntı bir çok yerde kullanılabilir. Bu yalın formül, içerdiği zengin ve yararlı anlam yanında, uygarlıklarımızın yarattığı altı önemli nesneyi içeriyor ve onlar arasında bağ kuruyor.

Matematiği bir dil olarak görürsek, hiç bir şair, bir dilin altı sözcüğünü bu kadar yalın, bu kadar anlamlı, bu kadar genel, bu kadar yararlı biçimde bir araya getirememiştir. İşte matematiksel zarafet budur.*

Kavramları kısaca tek tek incelememiz gerekirse:

Sıfır (0) Hiçlik, boşluk ve sonsuzluk kavramlarının tarihi çok eskiye dayanır. Ancak izi sürülebilen en eski sıfır ifadesi, 650 yılı civarında yaşamış Hintli düşünür Brahmagupta’ya dek uzanır. Bu buluş, bir diğer Hint icadı olan basamaklı değer kavramı ile birleşince çok daha kullanışlı hale gelmiştir. Yöntemin Avrupa’da tam anlamıyla benimsenmesi ise 15.yüzyılı bulmuştur.

Bir (1) Tüm diğer sayılar içlerinde kaç tane 1 olduğunu söylediğine göre bir sayısı olmadan matematik olamazdı. Ayrıca 0 ve 1 tüm bilgisayarların altyapısını oluşturan ikilik sistem rakamları olup, 0’ın yokluğu simgeleyişi gibi 1 de varlığı simgeler.

i sayısı Lise yıllarına gelene dek negatif sayıların kökünün olmadığı söylenir; çünkü henüz sanal sayılarla tanışmak için erkendir. i sayısı -1’in karekökü olarak tanımlanır.

Sanal, hayali yani imaginary sayıların kullanımı 17. yüzyıl zamanlarına denk gelse de belki de adından dolayı bu sayılar uzunca bir süre matematikte hak ettikleri itibarı görmemişlerdir. Ancak Euler ve Carl Friedrich Gauss tarafından yararları ortaya çıkarıldığında i sayısı hak ettiği itibarı kazanmıştır.

π sayısı Pi sayısı başlangıçta yarıçapı 1 olan dairenin alanı veya çapı 1 olan dairenin çevresi olarak tanımlanmıştır. Yunan matematikçi Arşimet bu düşünceyi kullanarak Pi için 22/7 yaklaştırmasına ulaşmıştır. Modern Pi tanımını yapan ise yine Euler olmuştur.

e sayısı 17.yüzyılda doğal logaritma tabanı olarak alınan e sayısı da tıpkı Pi gibi virgülden sonraki haneleri tekrarlamadan sürüp gittiği için aşkın bir sayıdır. Bu sayıya adının baş harfini veren Euler’in farkına vardığı bir diğer gerçek ise ex değerinin de şık bir Taylor serisi açılımı olduğudur.

Bu arada konuyla ilgili daha derinlemesine bilgi öğrenmek isterseniz aşağıda bunu detaylıca açıklayan videoyu dikkatle izlemenizi öneririz.

* T.Karaçay: Matematik Sanatı

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Pisagor ve Mükemmel Sayı­lar

Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda böleni var­dır. Ancak bazı sayıların ise bölen sayısı “tam …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');