Cebir

Euler Formülü Neden En Güzel Formüldür ve Onu Özel Kılan Şey Nedir?

Fizikte hepimizin bildiği Einstein’ın E = mc2, denklemi enerji (E) ve kütlenin (m) gerçekten aynı şeyin farklı biçimleri olduğunu, c sabiti yani ışık hızı ile bağlantılı olduğunu gösterir. Bunun karşılığı matematik için Euler Formülü olarak söylenebilir. Euler formülünün detayına geçmeden önce bir iki kavramı hatırlatmamız gerekiyor. Trigonometrik fonksiyonlardan olan y=sinx ve ye=cosx bir çember ile ilgilidir. Üstel ve logaritmik fonksiyonlar olan y=ex ve y=lnx de bir hiperbol ile ilgilidir. Sonucunda da hiperbol ve çember de birbiriyle ilişkilidir. (çünkü her ikisi de koniklerdendir). Öyleyse, üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile trigonometrik fonksiyonlar arasında herhangi bir doğrudan ilişki var mıdır? Böyle bir ilişkinin var olabilmesi için de işin içine karmaşık sayıların girmesi gerekir. 1748 yılında Euler bunun mümkün olabileceğini gösterdi ve aşağıdaki özdeşliği ortaya attı. Buna Euler Özdeşliği denir. 

 e= cosx +isinx

Aslında Roger Cotes yaptığı çalışmalar ile yukarıdaki bağlantıyı 1714 yılında keşfetmişti. Zaman içinde Roger Cotes adı unutuldu, matematikte yüzlerce denkleme damga vuran Euler’in adı da bu formül ile hafızalara yazıldı. Şimdi gelin bu formülü ve onu özel kılanları yakından inceleyelim. 

Euler Özdeşliğinin İspatı

Düşüncenin güzelliğini açıklayabilmemiz açısından kısaca ispatına da yer vermemiz gerekmektedir. Öncelikle özdeşlikte var olan tüm fonksiyonların tüm x değerleri için geçerli olan kuvvet serileri olarak genişletilebileceğini hatırlayın:

Üstel fonksiyon olan ex, x büyüdükçe sonsuza yaklaştığından ve kosinüs, sinüs fonksiyonları da sonsuza kadar 1 ve −1 arasında gidip geldiğinden yukarıdaki fonksiyonlar arasında hiçbir ilişki yok gibi görünüyor. Fakat Euler’in 1737’de keşfettiği gibi, işin içine i karmaşık sayısını sokarsak gerçekten de temel bir bağlantı olduğu ortaya çıkıyor. Bunun için, Euler’in gösterdiği gibi x’i, ix ile değiştirmek gerekmektedir. Euler işe ex fonkisyonu ile başladı.

Karmaşık sayılardan i2=-1, i3=-ive i4=1 olduğunu biliyoruz. Bunları yerine yazıp gerekli düzenlemeleri yaptığımız zaman aslında bizi güzel bir sürpriz bekliyor.

Euler özdeşliğini birçok basit ama önemli sonucu vardır. Bunlardan biri de matematiğin en güzel formüllerinden birisi kabul edilen Euler Formülüdür.

Euler Formülü

Euler özdeşliğinde x değerini π olarak alırsak ve biraz trigonometri bilgisiyle (sin π = 0 ve cos π = -1)  özdeşliğimiz e=-1 haline dönüşür. Jerry P.King’in deyişiyle “Bu eşitliği gören her matematikçi, denklemin iki yanına +1 eklemek için dayanılmaz bir istek duyar. Biz de aynı şeyi yaparsak aşağıdaki, yazımızın konusu olan ifadeyi elde ederiz.

e+1=0

Minimal tamlık ilkesine uyar, çünkü içinde gereksiz hiçbir şey yoktur. Maksimal yarar ilkesine uyar, çünkü bu basit bağıntı bir çok yerde kullanılabilir. Bu yalın formül, içerdiği zengin ve yararlı anlam yanında, uygarlıklarımızın yarattığı beş önemli nesneyi yani 0, 1, e, i , π. içeriyor ve onlar arasında bağ kuruyor. Gerçekten etkileyici…

Kaynak: Robin Wilson; The most beautiful theorem in mathematics; Oxford University Press; 2018

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.