e Sayısı ve Kayıp Tarihi

Matematikte en ilgi çeken sayılardan biri pi sayısıdır fakat en az onun kadar önemli bir sabit daha vardır: “e” 

Sonsuza uzanan değeri ondalık basamakların ilk altısıyla 2,718281 olarak kabul edilen bu sayı, kendisini tanıtan matematikçinin ismiyle “Euler sayısı” olarak bilinir.

Nüfus artışını belirlemede, finansal matematikle uğraştığımız zamanlarda, olasılık ve istatistik hesaplamalarında bu sayı sıkça karşımıza çıkar.

Aşkın bir sayıdır e sayısı, tıpkı kader arkadaşı pi sayısı gibi. Bu ikiliye aşkın sayı denmesinin nedeni bu sayılar hiçbir cebirsel denklemin çözümü olarak karşımıza çıkmazlar.

Aşkın tabirini ilk kullanan yine Euler olmuştur bu arada. Bu sayının aşkın olduğunu kanıtlayan on dokuzuncu yüzyılda Charles Hermite olmuştur. Ferdinand von Lindemann ise devamında,  Hermite’in tekniğini değiştirerek π’nin de aşkın olduğunu bulmuştur.

Aşkın sayıları keyfi bir biçimde karıştırmaya başlarsak zorluklarla karşılaşırız.

Örneğin e + π sayısının aşkın olup olmadığı bile bilinmemektedir. πe aşkın bir sayıdır, fakat aynı şeyin eπ için söylenip söylenemeyeceği bilinmemektedir.

Bu sayının tarihine geri dönersek aslında 17. yüzyıla büyük sayıların çarpımını toplama olarak ifade etme ihtiyacın yan logaritmanın köklerine bakmamız gerekir. 

John Napier’in logaritmayla ilgilenirken karşılaştığı bu sabit, devamında Euler’in logaritma kuramı üzerine yaptığı çalışmalarda e harfini seçmesi sonucunda yaygınlaştı. Bu sayı doğal logaritmanın (diğer adıyla Napier logaritması) temelidir.

e’yi bayağı kesir olarak yazmak istersek, iki basamaklı sayılar içinde en yakın oran 87/32 ‘dir. İlginç bir şekilde üç basamaklı sayılar içinde ise en yakın oran 878/323 ‘tür.

Matematik böyle küçük sürprizleri her zaman barındırır bünyesinde…

e sayısı neden önemli derseniz…

Büyümeyle ilgili konularda e sayısı kilit role sahiptir. Örneğin ekonomik büyüme ve nüfus büyümesi bunlar arasındadır. Radyoaktif bozunma modelleri de yine e sayısını temel alır. Ama tüm bu büyüme ilişkilerinin içinde ilgimizi en çok çeken şey ise elbette paradır.

Parayı arttırma yöntemi olarak faiz bilinir. İki cins faiz hesabı vardır. Basit faiz ve bileşik faiz. Basit faiz hesaplaması kolaydır ve herkes tarafından bilinir. Ama bileşik faiz biraz daha karışıktır.

Öncelikle 100 liramız olduğunu düşünelim ve %100 faiz oranına sahip bir bankaya 1 yıllığına yatıralım. Elbette bu kadar yüksek faiz oranı sadece hesaplanmasını kolaylaştırmak için bu arada. Konuya dönersek,  yatırdığımız 100 liramız bize 1 yıl sonunda 200 lira olarak geri dönecektir.

İkinci senaryoda parayı 6 aylığına %50’den faize yatıralım ve 6 ay sonunda elimize geçen paranın tamamını tekrar 6 aylığına %50’den faize yatıralım. İlk 6 ayın sonunda 50 lira faiz alacağımızdan toplam 150 liramız olur. İkinci 6 ayın sonunda be bunun yarısı, yani 75 lira faiz alını ve toplamda 225 liramız olur. Anlayacağını 25 lira daha fazla kazanırız.

3. senaryoda paramızı 3’er aylık dönemlerde %25 faizle bankaya yatıralım. Benzer hesaplamaları yapacak olursak 100 liramızın 244,141 lira olduğunu görürüz. Eğer bu işi her ay tekrarlarsak 100 liramız 261,304 lira olur. Paramız gittikçe artıyor diye düşünebilirsiniz ama bununda bir sınırı vardır o sınırda e sayısıdır.

İmkansız elbette ama paranızı saniyeler içinde yatırıp çekip tekrar yatırabilseydiniz yıl sonunda elinize geçen para 271,828 lira olacaktı.

Eğer para yatırır, borç alır, kredi kartı kullanır veya  malınızı ipotek ederseniz, bileşik faiz formülü sizin için ( veya size karşı ) ara ver­meksizin çalışır.

Bunu genellemek için oluşturulan bir de formül vardır.

Toplam Para: Yatırılan Para.( 1+1/n)n

Kolaylık oldun diye yatırılan parayı 1 kabul edersek…

Toplam Para: ( 1+1/n)n

İşte elde edilen bu formül bize e sayısının değerini yaklaşık olarak verecektir ancak elbette tam değerini değil…

Bunun için işin içine biraz da binom karıştırmamız gereklidir.

Bir ifadeyi binom açılımı kurallarına uygun olarak açabilmek için bize katsayıları verecek olan Pascal üçgenini kullanıyoruz. Fakat katsayıları belirlemek için diğer bir formülü kullanabiliriz:

Ya da düzenlemeyi yaparsak katsayıları şu biçimde de bulabiliriz.

Şimdi Eşitlik 2’den yararlanarak (1 + 1/n)n formülüne binom açılımı uygulayalım:

n’yi sınırsız olarak büyüttüğümüzü düşünelim. Böylelikle ifademiz çok fazla terime sahip olacaktır. Aynı zamanda parantez içindeki ifadeler 1’e yaklaşırlar. 

Biz bu limitin varlığını kabul edelim. Limiti e ile gösterelim.

Hesaplanan ilk 7 basamak aşağıda verilmiştir.

Şimdilik e’nin değerini yaklaşık 2,71828 kabul edelim. Eğer daha kesin bir sonuç bulunmak istersek, daha fazla terim ekleyerek daha duyarlı hale getirebiliriz.

e sayısı, matema­tiğin en güzel özdeşliği olarak bilinen eşitlikte de kendine yer bulur. Euler özdeşliği…

Bir dahaki sefer e sayısı ile bir yerlerde karşılaştığınız da sonsuzluk ile ilgili çok ilginç çıkarımları olan, son derece şaşırtıcı bir sayı olduğunu ve bankada büyüyen paralarınızı hatırlayın.

Referans:

http://portal.ku.edu.tr/~matsem21/files/bildiriler/H.1-10-yenilmez-palabiyik.pdf

Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri, syf: 24-27

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı