İlginç Sayılar

Euler Sayısı Diğer Adıyla e Sayısı Nedir ve Neden Önemlidir?

Matematikte en ilgi çeken sayılardan biri pi sayısıdır fakat en az onun kadar önemli bir sabit daha vardır: e sayısı. Sonsuza uzanan değeri ondalık basamakların ilk altısıyla 2,718281 olarak kabul edilen bu sayı, kendisini tanıtan matematikçinin ismiyle “Euler sayısı” olarak bilinir.

Nüfus artışını belirlemede, finansal matematikle uğraştığımız zamanlarda, olasılık ve istatistik hesaplamalarında bu sayı sıkça karşımıza çıkar. e sayısı da, tıpkı kader arkadaşı pi sayısı gibi aşkın bir sayıdır. Bu ikiliye aşkın sayı denmesinin nedeni bu sayıların hiçbir cebirsel denklemin çözümü olarak karşımıza çıkmamalarıdır.

e Sayısı Nedir?

John Napier’in logaritmayla ilgilenirken karşılaştığı bu sabit, devamında Euler’in logaritma kuramı üzerine yaptığı çalışmalarda e harfini seçmesi sonucunda yaygınlaşmıştır. Bu sayı doğal logaritmanın (diğer adıyla Napier logaritması) temelidir.

Aşkın tabirini ilk kullanan yine Euler, bu sayının aşkın olduğunu kanıtlayan ise 19. yüzyılda Charles Hermite olmuştur. Ferdinand von Lindemann ise devamında, Hermite’in tekniğini değiştirerek π’nin de aşkın olduğunu bulmuştur. Aşkın sayıları keyfi bir biçimde karıştırmaya başlarsak zorluklarla karşılaşırız. Örneğin e + π sayısının aşkın olup olmadığı bile bilinmemektedir. πe aşkın bir sayıdır, fakat aynı şeyin eπ için söylenip söylenemeyeceği bilinmemektedir.

E sayısını tanımlamanın bir yolu aşağıda göreceğiniz sonsuz serilerdir burada n! = n (n – 1) (n – 2) ⋯ 2 · 1, “n faktöryel” dir.Serinin toplamı e = 2,718281828459045… sonucunu bize verecektir. e’yi bayağı kesir olarak yazmak istersek, iki basamaklı sayılar içinde en yakın oran 87/32 ‘dir. İlginç bir şekilde üç basamaklı sayılar içinde ise en yakın oran 878/323 ‘tür. Matematik böyle küçük sürprizleri her zaman bünyesinde barındırır.

e Sayısı Neden Önemlidir?

Büyümeyle ilgili konularda e sayısı kilit role sahiptir. Örneğin ekonomik büyüme ve nüfus büyümesi bunlar arasındadır. Radyoaktif bozunma modelleri de yine e sayısını temel alır. Ama tüm bu büyüme ilişkilerinin içinde ilgimizi en çok çeken şey ise elbette paradır. Aslında, e’yi tanımlamanın başka yolları da vardır ve sonuçta tüm tanımlar birbirine eşdeğerdir. Bu alternatif yollardan birisi de bileşik faiz hesaplarında karşımıza çıkmaktadır.

Öncelikle 100 liramız olduğunu düşünelim ve %100 faiz oranına sahip bir bankaya 1 yıllığına yatıralım. Yatırdığımız 100 liramız bize 1 yıl sonunda 200 lira olarak geri dönecektir. Şimdi parayı 6 aylığına %50’den faize yatıralım ve 6 ay sonunda elimize geçen paranın tamamını tekrar 6 aylığına %50’den faize yatıralım. Bu durumda 150+75 = 225 liramız olacaktır.

Şimdi paramızı 3’er aylık dönemlerde %25 faizle bankaya yatıralım. Benzer hesaplamaları yapacak olursak 100 liramızın 244,141 lira olduğunu görürüz. Eğer bu işi her ay tekrarlarsak 100 liramız 261,304 lira olur. Paramız gittikçe artıyor diye düşünebilirsiniz ama bununda bir sınırı vardır o sınırda e sayısıdır. İmkansız elbette ama paranızı saniyeler içinde yatırıp çekip tekrar yatırabilseydiniz yıl sonunda elinize geçen para 271,828 lira olacaktı. Bunu genellemek için oluşturulan bir de formül vardır. bu formül bize e sayısının değerini yaklaşık olarak değerini verecektir.

Toplam Para: Yatırılan Para.( 1+1/n)n

n yerine daha büyük sayılar verdikçe sonuç giderek e sayısına yaklaşmaktadır.

e Sayısı Hakkında Bilecekleriniz Sadece Bu Kadar Değil

Şimdi yukarıdaki (1+1/n)n ifadesinde 1/n bölümünü x/n ile değiştirelim. Bu durumda (1+x/n)n ifadesinin limiti ex olacaktır. Bu durumda x yerine istediğimiz sayıyı yerleştirebiliriz. Örneğin x=-1 için sonucumuz aşağıdaki gibi olacaktır.

İlginç bir şekilde, bu 1 / e değeri, genellikle “sekreter sorunu” veya “evlilik sorunu” olarak bilinen ve birkaç varyasyonu olan başka bir alışılmadık durumda ortaya çıkar. Belirli bir iş için çok sayıda aday arasından bir sekreter seçmek istediğinizi varsayalım. Her başvuru sahibi birbiri ardına mülakata alınır ve daha önce mülakat yapılan tüm başvuru sahiplerine göre sıralama yapılır. Buradaki soru, doğru karar verebilmek için kaç aday ile mülakat yapmamız gerektiğidir. Görünüşe göre en iyi strateji ilk 1/e başvuranlarla (toplam başvuru sayısının yaklaşık % 37’si) kadar mülakat yapmaktır.

Yaşamda her yerde gizli bir e sayısı saklıdır desek yanılmış olmayız galiba. Göz atmak isterseniz…

Referans: Joel L. Schiff, The Mathematical Universe: From Pythagoras to Planck; Springer Praxis Books

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

İlgili Makaleler

Başa dön tuşu