Geometri

Dik Üçgenler Yardımı İle Dünyayı Anlamak

Gökyüzü, özellikle ge­celeri, o denli büyüleyicidir bu nedenle astronomi en eski bilim kabul edilir. Ancak başlangıçta ilgi duyulan astronomiden ziyade astrolojidir. Bu nedenle, günümüz astronomları astrolojiye bir şeyler borç­lulardır. Bu işe kafa yoranlar da geometriye. Yunanlar, Babilliler, Mısırlılar sadece üçgenleri kullanarak yerkürenin yarıçapını, dünya – ay uzaklığını, dünyanın güneşe uzak­lığını belirlediler. Ancak tüm üçgenlerin arasında bir tanesi vardı ki hepsin­den baskındı: dik üçgen.

Neden Dik Üçgen?

Simetrik görüntüsünden dolayı ikizkenar üçgen ya da eşkenar üçgen göze daha güzel görünse de dik üçgenin dünyayı anlama serüvenimizdeki katkısı çok daha fazladır. Birinci neden, herhangi bir üçgenin iki dik üçgene bölünebilmesidir. Bunun için bir köşeden bir kenara bir dik indirmek yeterli olur. İkincisi, bir dik üçgenle bir piramidin yüksekliği gibi birçok şeyin hesaplanabilmesidir. MÖ 550 civarında, Mısır firavunu Amasis, kendisine daha yükseğini yaptırabilmek için büyük Keops piramidinin yük­sekliğini ölçmek istedi. Ama içi dolu, yüzeyleri eğimli bir nes­ne olan piramidin yüksekliği nasıl ölçülebilirdi?

Thales ve Büyük Piramidin Ölçümü

Ona Yunan adası Milet’te dâhi olduğu söylenen bir mate­matikçinin yaşadığından söz ettiler. Bu kişi Thales idi. Thales, Ekim ayında Mısır’a geldi. Güneş batmadan Giza’ya çıktı. Önce kendi boyunu ölç­tü, kumun üzerine bu uzunluğu işaretledi ve bekle­di. Güneş büyük piramidin tabanlarından birine dik bir düz­lemde batıyordu. Piramitlerin dev gölgesi yere düşüyordu. Mısırlılara şunu söyledi: “Benim yere düşen gölgem benim boyuma, yani işaretlediğim yere geldiğinde, yerde piramidin gölgesine karşı gelen bir işaret koyun. Yüksekliğini ölçmüş olacaksınız.” Thales benzer ikizkenar dik üçgenlerin ne olduğunu dün­yaya böyle gösterdi. Biçimleri, açıları aynıydı, boyutlarının oranı sabitti ama büyüklükleri farklıydı. Aslında Thales’in, gölgesinin kendi boyuna ulaşmasını beklemesine gerek yoktu, daha sonra anlayacağı ve kanıtla­yacağı gibi, bu ölçümü her an yapabilirdi.

Thales Keops piramidinin yüksekliğini ölçmek için Güneş ışınlarının iki ikizkenar dik üçgen oluşturmasını sağladı.

Thales Bunu Nasıl Başardı?

Öncekle, bir direğin (A) uzunluğunu ve gölgesinin uzunluğunu (B) ve aynı zamanda C gölgesinin uzunluğunu ölçtü. Oranın A/B = D/C olduğunu buldu. Yani eğer A = 1,8 m B = 2,2 m ve C = 1,68 m ise: 1,8 / 2,2=D/168 işleminin sonucunda D uzunluğu 138 metre olarak bulunur. Yani Thales günün herhangi bir saatinde Piramidin yüksekliğini hesaplayabilirdi. Thales’in burada uyguladığı şey, paralel çizgilerle benzer üçgenler yaratmaktı. Günümüzde ortaokul sıralarında öğrendiğimiz bu yöntem o zamanlar için devrimci bir fikirdi.

Kaynak: https://mammothmemory.net/maths/pythagoras-and-trigonometry/intercept-and-midpoint-theorem/thales-intercept-theorem.html

İşin İçine Trigonometri Karışırsa

Üçgenlerin bu özelliğin gelecek gelişmelere yön vermesi için işin içine “üçgenlerin ölçümü” anlamına giren trigonometrinin de karışması gerekliydi. Bir dik üçgende iki öğeyi (bir açı ve bir kenar) bilmek her şeyi hesaplamak için yeterlidir. Bu iki kavram sayesinde olanaklıdır: sinüs ve kosinüs. Sinüsle başlayalım. Sabit eğimli bir yol boyunca çıktığınızı düşünün. Bu yol boyunca L uzaklığını (mesela 1.000 metre) aştığınız­da, h (mesela 100 metre) yüksekliğine çıkmış olun. İşte, eğim açısının “sinüs”ü h/L oranından başka bir şey değildir.

Örneğimizden yola çıkarsak 100/1.000 = 0,1’dir. Bir trigonometri cetvelinde (bugün bu cetvele ihtiyacınız yok cep telefonları yeterli) eğer sinüs değeri 0,1 ise, bu durumda yolun eğiminin 6° olduğunu görebilirsiniz. Yol yokuş yukarı çıkmıyorsa, eğim sıfıra eşittir. Doğal olarak 1.000 metrenin sonunda başlangıçta olduğunuz­dan daha yüksekte olmazsınız. Eğim 30° ise, sinüsün değeri 0,5’tir. 1.000 metrenin sonunda 500 metre tırmanmış olursu­nuz. Eğer ne kadar tırmandığınızı ölçmek yerine, yatay olarak ne kadar (x) ilerlediğinizi ölçmek istiyorsanız, eldeki açının kosinüsünden hareket edebilirsiniz, yani x/L.

Bugün okullarda trigonometri adı altında öğrendiğimiz bu dik üçgen özellikleri sayesinde gökbilimciler inanılmayacak kadar çok şeyi ölçtüler. Yine mi trigonometri demeden önce bu ön bilgiyi akılda tutmak çalışma isteğimizi arttırabilir.

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu