İlginç Sorular ve Bulmacalar

David Hilbert ve Onun Sonsuzluk Oteli

Bu yazımızda matematikçi David Hilbert tarafından ortaya atılan ve sonsuzluğa dair düşüncelere meydan okuyan ünlü bir paradoks olan Hilbert Sonsuzluk Oteli paradoksundan bahsedelim. 1, 2, 3, doğal sayıları ile numaralandırılmış sonsuz sayıda odası olan bir otel hayal edin. Bu otelde ne kadar kalabalık olursa olsun mutlaka kalacak bir yer bulurum diye düşünebilirsiniz. Ancak resepsiyona gittiğiniz de otelin dolu olduğu size söyleniyor? Yine de kalacak bir oda ayarlayabilir misiniz?

Eğer mevcut misafirlerinizden biraz işbirliği alabilirseniz, şaşırtıcı bir şekilde, cevap evet. 1 numaralı odadaki konuğuna 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki konuğun 3 numaralı odaya ve genel olarak, n numaralı odadaki konuğun, n + 1 numaralı odaya geçmesi söylenir. Sonuçta sınırsız sayıda oda olduğu için 1 numaralı oda boşalacaktır. Problem çözülmüştür!

David Hilbert ve Onun Sonsuzluk Oteli

Şimdi bir matematik delisi arkadaşınızla evlendiğinizi, en son ve en iyi doğurganlık ilaçlarını denediğinizi ve dokuz ay sonra karınızın 1., 2., 3. gibi sayabileceğiniz sonsuz sayıda çocuk doğurduğunu düşünelim 🙂 Aynı otele gittiğinizde bu sonsuz büyüklükteki aileniz için hala kalacak yer bulabilir misiniz? Cevabımız yine evet! Bu sefer, 1 numaralı odadaki konuğuna 2 numaralı odaya, 2 numaralı odadaki konuğun 4 numaralı odaya ve genel olarak, n numaralı odadaki konuğun, 2n numaralı odaya geçmesi söylenir. Bu durumda geriye kalan tüm tek numaralı odalar sizin ailenizi ağırlamaya yetecektir.

Hilbert Sonsuzluk Otelinde Neler Oluyor?

Burada gördüğümüz şey, bazıları diğerlerinin altkümeleri gibi görünse bile, bir anlamda tüm ‘sayılabilecek’ sonsuz kümelerin eşdeğer olduğudur. Konukları Hilbert Sonsuzluk Otelinde farklı odalara taşırken, mevcut odalar kümesi ile diğer kümeler arasında birebir eşlemeler yapıyorduk. Peki şimdi başka bir soru soralım. Bunun mümkün olmadığı zaman olabilir mi? Yani otele sığamayacak kadar çok misafirin gelmesi mümkün mü? Bu sorunun cevabı da yine evet olacaktır.

Diyelim ki aileniz büyümeye devam etti ve bir sürü yeni çocuğunuz oldu. Hatta o kadar çok oldu ki, negatif olmayan her gerçek sayı için kesinlikle 1’den küçük bir çocuğunuz var. Bir çocuk .11111 (yinelenen), diğeri .12345, diğeri ondalık, diğer π, vb. Hepsini takip etmek için, her çocuğa üzerinde farklı bir gerçek sayı yazan bir tişört yaptırdınız. Tüm aile aynı otele gittiniz ve yer sordunuz. Her çocuk ayrı odada kalmak istiyor, siz de onları tişört numaralarına göre bir sıraya soktunuz. Şimdi kim hangi odada kalıyor bunu anlayabilmek için ilginç bir biçimde not almaya karar verdiniz.

Elinize bir kağıt, kalem aldınız ve işe nokta koyarak başladınız. İlk çocuğunuza oda 1 verildiğinde, tişörtündeki * ilk * rakamı not ettiniz, 2. odaya atanan çocuk için * ikinci * rakamı yazdınız ve bu biçimde devam ettiniz. Oteldeki tüm odalar dolduğunda, kağıdınıza devasa bir ondalık sayı yazmış oldunuz. Bu sayının birinci rakamı 1 numaralı odadaki çocuğun ilk rakamı, ikinci rakam 2 numaralı odadaki çocuğun ikinci rakamı vb. gibi eşleşerek devam ediyor. Şimdi kontrol zamanı acaba her çocuk bir odaya girdi mi?

Her Çocuğa Bir Oda Vermek Mümkün mü?

Yazdığınız sayının alt satırına geçin: eğer orijinal sayıdaki rakam 8 veya 9 ise altına 0 yazın aksi takdirde rakama bir ekleyerek yazın. (yani, sayınız .2859328 ise altına .3060430 yazmalısınız.). Bu sayı, odalardaki çocukların sayılarının * hiçbiriyle * eşleşemez. Ama her negatif olmayan gerçek sayı için birden küçük bir çocuğunuz olduğunu söyledik! Demek az önce yazdığınız numarayı taşıyan çocuk lobide oturuyor ve onu görmezden geldiğiniz için ağlıyor. Hilbert Sonsuzluk Otelinde kalma şansınız yok.

Bu, esasen 1891’de Georg Cantor tarafından keşfedilen ve tüm sonsuzlukların eşit olmadığını gösteren ünlü “çapraz” kanıttır. Gerçek sayıların sayılamayan sonsuzluğu, pozitif tam sayıların sayılabilir sonsuzluğundan kesinlikle daha büyüktür. Yani şaşırtıcı ama gerçek bazı sonsuzluklar birbirine eşit ama bazı sonsuzluklar ise daha büyüktür.

Göz atmak isterseniz:

Matematiksel

Sibel Çağlar

7 yıl Kadıköy Anadolu Lisesinin devamında lisans eğitimimi Marmara Üniversitesi İng. Matematik öğretmenliği üzerine tamamladım. Devamında 20 yıl çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu