TOPOLOJİ

Çocukluğumuzun Sorusuna Matematiksel Bir Yaklaşım

“…Peki söyle o zaman. Bu şekli elini hiç kaldırmadan ve bir kenarın üstünden sadece bir kere geçerek çizebilir misin?” Hepimiz küçükken bu soruyla ya da türevleriyle bir yerlerde karşılaşmışızdır. Bazılarımız bu soru sorulduğunda bu şekli çizebildi, bazılarımız ise çizemedi.

Peki bu soruyu şekli çizmeden cevaplayabilir miyiz ya da bu tarzda sorulara karşı bir genelleme geliştirebilir miyiz? Bu iki soruya da cevabımız evet. Bize gereken sadece matematiksel teori.

Graf (Çizge) Teorisi

Graf, düğümler ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısıdır. Graf ya da çizge teorisi adı üstünde graflardan oluşur. Bir G grafı iki kümeden meydana gelir bunlar: boş olmayan bir V köşeler (noktalar, düğümler) ve bir E kenarlar (bağıntılar) kümeleridir.

Bir grafın en basit tanımını verdiğimize göre bu tanımı örnek vererek güçlendirebiliriz. Bir V(G)={A,B,C,D} köşeler ve bir E(G)={{A,B},{A,D},{B,C},{B,D},{C,D}} kenarlar kümesi alalım. Şimdi de G=(V(G),E(G)) grafını çizelim.

Bu basit bir graf örneğidir. Basit graflarda kenarlar sadece iki tane köşeyi birbirine bağlayabilir ve iki köşe arasında en fazla bir tane kenar olabilir. Aslında aynı şekilde bizim sorumuzdaki graf da bir basit graftır.

Graflardaki bir diğer önemli kısım ise köşelerin dereceleridir. Derece, bir köşenin komşu olduğu köşe sayısını ifade eder. Örneğin, G grafında A’nın derecesi 2 (B,D), B’nin derecesi 3 (A,C,D), C’nin derecesi 2 (B,D), ve D’nin derecesi 3’tür (A,B,C).

Graf Teorisinin Tarihçesi

Graf teorisin temelleri 1735 yılında Leonhard Euler tarafından, tam da bizim sorumuz gibi bir soruyla uğraşırken, ortaya atıldı. Soru şöyleydi:

O zamanlarda Doğu Prusya’daki Königsberg şehrindeki 7 köprüden, aşağıdaki gibi konumlanmış, bir ve yalnız bir kez geçerek başladığın yere geri dönebilir misin?

konigsberg koprusu

Euler’in ilk yaptığı şey bu köprüleri bir grafa çevirmek oldu. Graf şekildeki gibiydi.

Daha sonraki mantığı ise dâhiceydi. Düşünüşüne göre, bu yürüyüşü tamamlamak için her köşeden kaç kere çıkıyorsak o kadar geri girmemiz gerekiyordu. Aksi takdirde yürüyüşümüzü başladığımız noktadan başka bir noktada bitirmiş oluyorduk. Bu mantıkla her köşenin derecesi çift olmalıydı. Fakat Königsberg grafının köşelerinin dereceleri ise 5,3,3,3 idi. O halde böyle bir yürüyüş gerçekleştirilemezdi.

Daha fazla bilgi için: Königsberg Köprüsü ve Topolojinin Doğuşu

Bu tarz yürüyüşlere Euler döngüsü diyoruz. Fakat bu hala bizim sorumuzu çözmeye yeterli değil çünkü bizim sorumuzdaki graftaki köşelerin dereceleri 4,4,3,3,2. O zaman şimdi Euler’in bir diğer tanımını öğrenelim: Euler yolu.

Euler Yolu

Euler yolu, Euler döngüsündeki yürüyüşlerin başladığı yerde bitmeyenlerine denir. Bir grafta Euler yolunun bulunması için gerek ve yeterli koşul ise o grafın iki köşesi hariç diğer her köşesinin derecesinin çift olmasıdır. Buradaki mantığın Euler döngüsünden tek farkı ise başladığın yerde bitme kuralı olmadığı için o köşelerin bir eksik dereceye sabit olabilmeleridir (bu da o köşeleri tek sayıda dereceye sahip yapar). 

Şimdi tekrar bizim sorumuzdaki grafa geçecek olursak, grafımızın tam da Euler yolu tanımına uyduğunu görebiliriz (dereceler 4,4,3,3,2). Bu da demek oluyor ki biz bu şekli elimizi hiç kaldırmadan ve bir kenardan sadece bir kere geçerek çizebiliriz.

Merak edenler için nasıl çizilebileceği gösterilmiştir. Matematiğin soyut gücü ile bu tarz popüler sorulara kalem dahi oynatmadan cevap verebilmek, onun güzelliklerinden sadece birisi olsa gerek…

Konuk Yazar: Övünç Özgün Eker

Kaynakça:

Matematiksel

Övünç Özgün Eker

Boğaziçi Üniversitesi matematik bölümü öğrencisiyim. Matematikle alakalı yeni şeyler öğrenmeyi oldum olası sevmişimdir. Bu yüzden de matematik hakkında okumaya uzun süredir meraklıyım. Öğrendiklerimi paylaşmayı da çok severim bu yüzden de buradayım! İyi okumalar...

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu