Geometri

Çember İle İlgili Tüm Formüllerde Neden Pi Sayısı Yer Alır?

Herhangi bir çember alın ve hem çevresini hem de çapını (dairenin bir tarafından diğerine olan mesafe, dairenin merkezinden geçen bir çizgi ) ölçün. Aynı boyutta mı? Değilse, biri diğerinden ne kadar büyük? Bir çoğunuzun zaten bildiği gibi bir çemberin çevresi her zaman çaptan daha büyüktür. Tek başına bu bile inanılmaz bir gerçektir. Dünyadaki herhangi bir çember için, kahve fincanınızın kenarı, bisikletinizin üzerindeki bir tekerlek ya da her ne olursa olsun çevre, merkezden geçen çizgiden her zaman daha büyüktür. Emin olmak için ölçmek zorunda değilsiniz. Bu özellik evrenseldir; her yerde, her zaman tüm çemberler için geçerlidir. (Burada sözü geçen çemberlerin hepsinin düz yüzeylerde olduğunu kabul ediyoruz.)

Pi Sayısı Nedir?

Şimdi bugüne kadar bize çok normal gelse de aslında şaşırtıcı olan kısmına geçelim. Bir çemberin çevresi ve çapı arasındaki ilişki rastgele değildir. Tüm çemberler için çevre her zaman aynı miktarda daha büyüktür.
Çevrelerin tuhaflaştığı yer burasıdır. Bir bakıma, çevrenin ne kadar büyük olduğunu söylemek zor. İnsanlar, çevrenin çaptan yaklaşık üç kat daha büyük olduğunu binlerce yıldır biliyorlar, ancak gerçekte sayı daha çok 3,14. Daha da kesin bir sayı 3,14159 olacaktır. Daha da kesin olanını söylemeye kalkarsak bu yazıyı bitirmemiz mümkün olmaz. Bunun nedeni bu sayı dizisinin tekrar etmeden sonsuza kadar devam etmesidir. Bu sayı ile ilgili bir kural bulmak için bin yıllardır uğraşıyoruz ancak bulduklarımız tekrar etmeyen yeni sayılardan başka şey olmuyor.

Bir dairenin çevresinin çapına oranını, başka bir deyişle birinin diğerinden ne kadar büyük olduğunu söyleyen bu sayı pi sayısı olarak bilinir. Tanımı gereği, yuvarlak bir cismin çevresini ya da alanını hesaplamak zorunda kaldığımız her soruda bu sayıyı tam bilemediğimiz için sembolik olarak pi sayısını kullanırız. Pi aslında her yerde bulunan bir sayıdır. Bir sarkacın hareketini, bir ipin titreşimini veya bir nehrin dolambaçlı desenlerini tanımlayan denklemlerde de bu sayı karşımıza çıkar.

Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır?

Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, Arşimet’ti. Arşimet (MÖ 287-212), çemberlerin hem dış tarafına hem de iç kısmına çokgenler çizdi. Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberin dışına çizilen çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır. Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek çemberin çevresinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Arşimet’in hesaplara altıgenlerle başlamıştı. Giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.

Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını benzer bir yöntemle hesaplamayı başardı. Grienberger’in elde ettiği değer, sadece insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahiptir. Süreç içinde matematikçiler, çok sayıda ondalık basamağa doğru olarak hesaplayacak birçok farklı matematiksel seri buldular. Bunlardan bazıları o kadar karmaşık ki, onları uygulamak için süper bilgisayarlara ihtiyaç duyuyorlar.

Pi sayısını hesaplama için kullanılabilecek serilerin en basitlerinden biri Gregory-Leibniz serisidir. Çok verimli olmasa da bu seri, her adımda sizi pi’ye daha çok yaklaşacak ve pi’yi beş ondalık basamağa kadar doğru bir şekilde üretecektir. Seri şu şekildedir: π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15) …. Nilakantha Serisi de pi’yi hesaplamak için anlaşılması oldukça kolay olan başka bir sonsuz seridir. Biraz daha karmaşık olsa da pi’ye Leibniz formülünden çok daha hızlı yaklaşır.

Aşağıda izleyeceğimiz video sizleri pi sayısının gizemli dünyasında matematiksel bir yolculuğa çıkartacak. İzleyeceğiniz videoda ki tüm görseller gerçek matematiksel kavramlara dayanmaktadır. Arka planda dinleyeceğiniz müzik ise pi sayısını 12 lik tabana uygulayan Jim Zamerski tarafından bestelenmiştir. İyi seyirler…

Video Çeviri: Deniz Karagöz

Kaynak: Ye, Xiaojing, The long search for the value of pi, Scientific American,

İlgili Yazılar:

Matematiksel

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.