Geometri

Çember İle İlgili Tüm Formüllerde Neden Pi Sayısı Yer Alır?

Çemberler her yerde, tarlalarda, ormanlarda, okyanuslarda ve gökyüzünde. Etrafınıza şöyle bir baktığınızda en çok karşılaşacağınız geometrik şekil çember biçimlidir. Bir keçi bir tarlanın ortasındaki bir direğe bağlanırsa ve keçi mümkün olduğu kadar çok ot yemeye çalışırsa, otladığı otların şekli bir daire olacaktır. Elinizde sabit miktar bir çitiniz varsa ve mümkün olduğu kadar geniş bir alanı çevrelemek istiyorsanız, çitinizi kare yerine çember biçiminde yerleştirirseniz yüzde 25 daha fazla araziyi çevrelemiş olursunuz.

İşte tam da bu sebepten dolayı doğal çevremizde de çember ile daha çok karşılaşırız. Çünkü çember yaratılması hem kolay hem de verimli bir şekildir. Doğanın da optimal çözümleri bulma alışkanlığı vardır. Bu yüzden çemberden sonuna kadar yararlanır. Şimdi herhangi bir çember alın ve hem çevresini hem de çapını ölçün. Bir çemberin çevresi ve çapı arasındaki ilişki rastgele değildir. Tüm çemberler için çevre her zaman aynı miktarda daha büyüktür.

Aslında binlerce yıldır çevrenin çaptan yaklaşık üç kat daha büyük olduğunu biliyoruz. Ancak gerçekte bu sayı 3,14, daha kesin konuşursak 3,14159 olacaktır. Daha da kesin olmamız gerekirse bu yazıyı bitirmemiz mümkün olmaz. Bunun nedeni bu sayı dizisinin tekrar etmeden sonsuza kadar devam etmesidir. Bu sayı ile ilgili bir kural bulmak için bin yıllardır uğraşıyoruz. Ancak bulduklarımız tekrar etmeyen yeni sayılardan başka şey olmuyor.

Bir dairenin çevresinin çapına oranını pi sayısı olarak bilinir. Temelinde çember ile ilişkili herhangi bir doğal fenomen, kaçınılmaz olarak p’yi de içerecektir. Bununla birlikte, pi sayısı çember ile daha az ilişkili yerlerde de karşımıza çıkabilir. Örneğin, bir sarkacın hareketini, bir ipin titreşimini veya bir nehrin dolambaçlı desenlerini tanımlayan denklemlerde de pi sayısı karşımıza çıkar. ( Birazdan örneğini vereceğiz)

Pi Sayısı Nasıl Hesaplanır?

Matematiksel yöntemler kullanarak pi sayısının yaklaşık değerini hesaplamaya çalışan ilk kişi, Arşimet’ti. Arşimet (MÖ 287-212), çemberlerin hem dış tarafına hem de iç kısmına çokgenler çizdi. Bir çemberin içerisindeki herhangi bir çokgenin çevre uzunluğu çemberin çevre uzunluğundan kısadır. Çemberin dışına çizilen çokgenin çevre uzunluğuysa çemberinkinden fazla olmalıdır. Dolayısıyla herhangi bir çemberin içine ve dışına çokgenler çizerek çemberin çevresinin hangi aralıkta olduğunu belirlemek mümkündür. Arşimet’in hesaplara altıgenlerle başlamıştı. Giderek daha çok kenarlı çokgenler kullanarak pi sayısının değerini iki basamak kesinlikle 3,14 olarak hesaplamıştı.

Avusturyalı gökbilimci Christoph Grienberger 1630 yılında pi sayısının virgülden sonraki 38 basamağını benzer bir yöntemle hesaplamayı başardı. Grienberger’in elde ettiği değer, insan çabasıyla elde edilmiş en kesin değer olma unvanına sahiptir. Süreç içinde matematikçiler, çok sayıda ondalık basamağı doğru olarak hesaplayacak birçok farklı matematiksel seri buldular. Bunlardan bazıları o kadar karmaşık ki, onları uygulamak için süper bilgisayarlara ihtiyaç duyuluyor.

Pi sayısını hesaplama için kullanılabilecek serilerin en basitlerinden biri Gregory-Leibniz serisidir. Çok verimli olmasa da bu seri, her adımda sizi pi’ye daha çok yaklaşacak ve pi’yi beş ondalık basamağa kadar doğru bir şekilde üretecektir. Seri şu şekildedir: π = (4/1) – (4/3) + (4/5) – (4/7) + (4/9) – (4/11) + (4/13) – (4/15) …. Nilakantha Serisi de pi’yi hesaplamak için anlaşılması oldukça kolay olan başka bir sonsuz seridir. Biraz daha karmaşık olsa da pi’ye Leibniz formülünden çok daha hızlı yaklaşır.

Sarkaç ile Pi Sayısının İlgisi Nedir?

Pi sayısının formülü dünya sabitlerine bağlı değildir, diğer bir deyişle evrenseldir. Bu nedenden yola çıkarak bir sarkaç yardımıyla herhangi bir gezegendeki yerçekimini hesaplayabilirsiniz. Eski saatlerde, çocuk oyuncaklarında karşımıza çıkan sarkaçların pi sayısı ile ilişkisi vardır. Formülde gördüğünüz L ipin uzunluğu, g ise yerçekimi sabitidir. T ise periyodumuzdur. Yani sarkacın bir salınımını tamamlaması için geçen süredir. 1 metre uzunluğundaki bir sarkaç dünyamızda salınımını bir saniyede tamamlarken Ay’da bu süre 2,5 saniye kadar sürer. Bunun nedeni elbette yerçekimi kuvvetleri arasındaki farktır.

Uzunluğu yerçekim ivmesinin (g) dörtte biri kadar (yani 245cm) olan bir ipin ucuna ağırlık bağlayıp sallayın, sarkacın bir tam salınım yapması pi saniye sürecektir. Burada T saniye cinsinden periyot, L sarkacın uzunluğu ve g de değeri yaklaşık olarak 9,8 m/sn² olan yerçekim ivmesidir. Eğer L=g/4  alırsak, bütün terimler sadeleşir (kendiniz yapınız) ve pi saniye çıkar. (Periyot, sarkacın bir tam salınım yapması için geçen süredir.)

Pi sayısının karşımıza çıktığı beklenmedik bir olayda 18. yüzyıl biyoloğu Georges Buffon tarafından kanıtlanmıştır. Buffon iğnesi denen bu yöntem de aslında oldukça ilginçtir. Tek yapmanız gereken bir sürü iğneyi yüksel bir yerden yere atmaktır. Ama öncesinde zemine iğnelerin ki katı uzunluğunda aralıklarda paralel çizgiler çizmeniz gerekir. Sonrasında atılan iğnelerin sayısını çizgiye değen iğnelerin sayısına bölüp, bulduğunuz sayıyı ikiyle çarpınca, pi sayısını elde edeceksiniz.

Daha fazla bilgi için: https://mindyourdecisions.com

Pi sayısı ile ilgili daha fazla şey görmek isterseniz aşağıdaki videoya göz atabilirsiniz. Arka planda dinleyeceğiniz müzik ise pi sayısını 12 lik tabana uygulayan Jim Zamerski tarafından bestelenmiştir. İyi seyirler…

Video Çeviri: Deniz Karagöz

Kaynak: Ye, Xiaojing, The long search for the value of pi, Scientific American

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Başa dön tuşu