Cebir Tarlada Başladı

Beş adam, itiş kakış mahkeme salonuna girer. Hepsi birbirinden şikâyetçidir. Ortak aldıkları bir meyve bahçesini beş eşit parçaya bölememişlerdir. Her biri diğerlerinin kendisini aldatmaya çalıştığını iddia eder. Paylaşılmaya çalışılan bahçenin bir kenarında su kanalı vardır. Her ortak kendi payına düşen bahçenin suya erişimi olmasını ister. Birbirine paralel ama su kanalına dik dört çizgiyle bahçeyi beşe bölmek isterler. Sonunda dava saray matematikçisine kadar gider.

Saray matematikçisi de “kolay bu iş” der. Bilgisayara bahçenin şeklini çizecektir. En alt kısımdan başlayarak ilk çizgiyi rastgele çekecek ve altındaki alan bahçenin alanının beşte biri oluncaya kadar çizgiyi fareyle oynatacaktır. İstediği alanı ekranda görünce de çizgiyi sabitleyecektir. Bunu her parça için yapınca tarlayı hangi çizgilerden beşe böleceği kendiliğinden ortaya çıkacaktır.

Ama küçük bir sorun vardır. MÖ 2100 yılında henüz böyle bir program yazılmamıştır ve zaten yazılsa da bunu çalıştıracak işletim sistemi henüz yoktur. Zaten bilgisayar da henüz icat edilmemiştir. Elektrik ise kavram olarak dahi yoktur.

Peki ama şimdi bu yamuk tarlayı nasıl beşe bölecek bu adam? Elbette doğrudan matematik kullanarak.

Friberg’in bahsettiği Sümer mahkeme tabletinin ön ve arka yüzleri, MÖ 2100. Paylaşılmak istenen tarlanın şekli açıkça görülüyor.

Nasıl bugün termodinamik yasalarını bilmeye gerek duymadan otomobil, matematik bilmeye hiç gerek duymadan bilgisayar yazılımları kullanıyorsak, MÖ 2100 yılında da hiç matematik bilmeye gerek kalmadan saray matematikçisinin sihirli bilgileri kullanılıyordu.

Saray matematikçisi sabaha karşı çözümü bulup raporunu yazar ve ailesine bir süre daha yemek ve yatacak yer sağlayabilmenin huzuruyla uykuya dalar. Ertesi gün mahkeme bu çözüme bağlı olarak davayı sonuçlandırır. Mahkeme kararı, her zaman olduğu gibi, sıradan bir tablete yazılır. Bu tabletteki bilgiler doğrultusunda bahçe pay edilir. Bugün bu tablet elimizde. Üstelik çok da önemli bir konumu var bizim için. Bu tabletteki mahkeme kararı ikinci derece polinom çözümlerinden söz eden en eski tablet. Bu bilgileri bilim tarihi araştırmacısı Jöran Friberg’in 2009 yılında yayımladığı bir bilimsel makaleden öğreniyoruz.

Bu tablette problemi çözmek için önce ikinci derece bir polinomun köklerine gerek duyulduğuna işaret edilir. Sonra bu köklerin ne olduğu ve uygulamalı çözümde nasıl kullanılacağı anlatılır. Dikkat ederseniz köklerin nasıl bulunacağından söz edilmez.

YBC 6967

İkinci derece polinomların çözüm yöntemlerinden söz eden tabletlerin yazılması için birkaç yüzyıl beklemek gerekecektir.

YBC 6967 arşiv kodlu tablet işte böyle bir tablettir. Bu tablette ikinci derece bir polinom denklemi, çarpımları ve farkları bilinen iki sayının bulunması problemi olarak yorumlanır. Daha sonra bu denklem bir alan problemi olarak çizilir ve aranan sayılar alanı bilinen bir tarlanın kenarları olarak algılanır. Çeşitli alan kaydırmalarla bu kenarların sayısal değerleri bulunur.

İkinci derece polinomları çözme tekniklerinin bu şekilde “ayağa düşmesinin” nedeni ise matematikçilerin çözümünü tam olarak kavradıkları bu probleme artık ilgi duymamaya başlamasıdır. Bu davranış, matematikçilerin binlerce yıldır tedavi edemedikleri bir meslek hastalığıdır.

Artık matematikçiler üçüncü derece polinomlara ilgi duymaya başlamıştı, çünkü bazı özel durumlar dışında, üçüncü derece polinomlar dünyasında ne döndüğünü hiç anlamıyorlardı. Bu yüzden ilk olarak üzerine gidilen soru, üçüncü derece bir polinomunun bir kökü olup olmadığının hangi yöntemle anlaşılacağı sorusuydu.

Burada hatırlatmak gerekir ki çözüm olarak sadece sıfırdan büyük sayılar düşünülüyordu, çünkü sıfırdan küçük sayıları henüz matematikçiler bile tam olarak anlamamıştı.

Yöntem deyince de aklınıza semboller ve formüller gelmesin. Henüz bunların icadına bin küsur yıl var. Matematik tabletlerinin metinleri aşk mektupları taşıyan tabletlerdeki metinlerden farklı değildi o zamanlar. O dönemler sözelcilerin altın çağıydı adeta.

Matematikçilerin polinomlar konusunda bir ilerleme kaydetmek ve övünmek için Harezmi’yi beklemeleri gerekti. Öklit’in Elemanlar adlı kitabıyla eşdeğerde tutulan Cebir ve Denklem Hesabı adlı kitabıyla Harezmi matematik dünyasına cebirsel yöntemleri getirdi. Tanrılardan ateşi çalıp insanlığa getiren Prometheus gibi. Harezmi’nin yöntemlerini kullanarak üçüncü derece polinom denklemlerinin ne zaman kökleri olacağı sorusuna dişe dokunur ilk cevapları verenler arasında Ömer Hayyam vardır.

Matematik tarihini yazarken, İslam matematiği dahil, Doğu’dan hiç söz etmeme becerileriyle bilinen Batılı bilim tarihçileri bile Ömer Hayyam’ın katkılarını görmezden gelmez. Bunun en güzel örneği de 1966 yılında IBM için hazırlanan Modern Matematikçiler başlıklı bir eğitim afişinde Ömer Hayyam’a açıkça yer verilmesidir.

Bu problemle uğraşan bir diğer İslam matematikçisi de Şerafettin Tusi’dir. Hatta çalışmalarının bir yerinde üçüncü derece bir polinomun maksimum değerini bulmak için türev yöntemleri kullanmış ve bu işi Newton’dan beş yüz yıl önce yaparak Batılı bilim tarihçilerini çıldırtmıştır. Şerafettin Tusi’in el yazması kitabı 1980’lerde bulunmuştur.

Buradaki bilgilerden Tusi’nin formel olarak bile olsa polinomun türevinin köklerine baktığının anlaşılması üzerine Batılı birkaç yazar, Newton’u kurtaramayacaklarını görünce, Arşimet’e sığınmış ve Arşimet’i okuyan herkesin zaten bunları yapabileceğini yazmıştır. Arşimet’in kendi yazdıklarını niye okumadığı gibi bir soruya ise hiç girmemişlerdir.

On altıncı yüzyıla gelindiğinde üçüncü derece polinom denklemleri çözme becerisi üniversitede iş bulabilmek ve hatta bulduğunuz işi kaybetmemek için gerekli bir beceri olmuştu. Bir üniversiteden iş isteyen kişinin karşısına üniversite yönetimi bir profesör çıkarıyordu. Bunlar karşılıklı birbirlerine denklemler soruyordu. Bu yarışmayı profesör kazanırsa işine devam ediyor, yabancı da başka bir şehire iş aramaya gidiyordu. Yabancı kazanırsa profesörü kovup yerine daha başarılı olduğunu kanıtlamış olan yabancı alınıyordu.

Rönesans döneminin polinomlarla uğraşan önemli isimlerinden biri de İtalyan Niccolo Fontana Tartaglia’dır. Yine böyle bir yarışma için Bologna’ya gittiğinde kendisine hiç şansı olmadığı söylenir. Çünkü ertesi gün karşısına çıkacak olan genç matematikçi Hannival Nave’ye, hocası ve kayınpederi Scipione del Ferro’dan bir defter miras kalmıştır. Bu deftere Ferro, hayatı boyunca karşısına çıkan rakipleri yenmesini sağlayan gizli bir formül yazmıştır.

Bu formül herhangi bir üçüncü derece polinomun köklerini veren bir formüldür.

Tartaglia o gece “madem başkası bunun formülünü bulmuş, ben de bulabilirim” deyip sabaha kadar çalışmış ve o formülleri kendi de bulmuştur. Ertesi günkü yarışmayı, biraz da deplasmanda oynamanın dezavantajıyla kaybetse de bu buluşuyla adını matematik tarihine yazdırmıştır.

Fakat bugün üçüncü derece denklemlerin çözümlerini veren formüller Cardano formülleri diye bilinir. Tartaglia’nın bu formülleri bulduğunu öğrenen ve kendisi de bu formüllerin peşinde olan Gerolamo Cardano, ne yapar ne eder Tartaglia’dan bu formülleri öğrenir. Ama Tartaglia’nın bir şartı vardır. Kendisi bu formülleri yayımlamadan Cardano da yayımlamayacaktır. Ne var ki Cardano bu formüllerin zaten daha önceden Ferro tarafından bulunduğunu öğrenince verdiği sözün bir yaptırımı kalmadığına hükmeder ve 1545 yılında, matematik tarihinin en önemli kitapları arasında yerini alacak olan, Büyük Sanat adlı kitabını yayımlar. Bu kitabın girişinde Harizmi’ye geliştirdiği teknikler için teşekkür eder. Kitapta anlatacağı teknikleri ve açıklayacağı formülleri Tartaglia’dan ve Ferro’nun defterinden öğrendiğini açıkça yazar ve Tartaglia’ya teşekkür eder.

Yine de bütün bunlar Tartaglia’nın küplere binmesine ve bizim de bu formüllere Cardano formülleri dememize engel olamamıştır.

Şimdi sıra dördüncü derece polinom köklerini bulmaktadır. Cardano dördüncü derece polinomların köklerini dördüncü boyut olarak algıladığı ve dördüncü boyutun olmadığına inandığı için bu anlamsız çözümlerle uğraşmayı yardımcısı Lodovico Ferrari’ye bırakır.

Ferrari dördüncü derece denklemlerin nasıl çözüleceğini çok kısa zamanda bulur. Öyle ki bu çözüm yöntemleri Büyük Sanat kitabının baskısına yetişir. Bu kitap basıldığında Cardano 44, Ferrari 23 yaşındadır.

Polinom denklemleriyle uğraşan matematikçiler Büyük Sanat’tan kısa süre sonra her denklemin makul yöntemlerle çözümünün bulunamayacağından şüphelenmeye başlar.

Beşinci derece polinom denklemlerinin cebirsel yöntemlerle çözümünün bulunamayacağını ilk iddia eden, yaklaşık 300 yıl sonra, Paolo Rufini olmuştur. Ancak kimseye derdini anlatamamış ve anlaşılmayan bir dâhi olarak mutsuz ölmüştür.

Hemen ardından Niels Henrik Abel beşinci ve daha yüksek dereceden polinom denklemlerin cebirsel çözümlerinin olmayacağını kanıtlamış ve bu konuda bir makale de yayımlamayı becermiştir. Ama bu keşfinin tadını çıkaramadan yirmi yedi yaşında ölmüştür.

Konuya son darbeyi Evariste Galois adlı bir genç vurmuştur.

Derecesi dörtten yüksek olan polinomların köklerinin cebirsel olarak bulunabilmesi durumunda sağlamak zorunda oldukları bazı şartlar bulmuş ve her denklemin bu şartlara uyamayacağını göstermiştir. Fakat tanrıların sırlarına bu kadar yaklaşmanın bedelini o da yirmi bir yaşında anlamsız bir düelloda ölerek ödemiştir.

Son gecesinde yazdıkları ölümünden ancak on yıl kadar sonra anlaşılabilmiş ve zamanla üniversitelerin matematik bölümlerinde Galois Kuramı adlı bir ders açılmasına neden olmuştur.

Buraya kadar anlatılanlar, kuramsal matematikçilerin entelektüel zevkleri sonucu yazılmış bir tarih hikâyesidir. Öte yandan teknik nedenlerle bir polinom denkleminin köklerini kullanacak olanlar uygulamalı matematikçilere müracaat ederek bu kökleri ihtiyaçlarını karşılamaya yetecek hassasiyette hesaplatmaktan geri kalmamıştır.

Bugün bu kökleri bilgisayar yazılımları aracılığıyla hesapladığımız için üniversitedeki işimizi bu yüzden kaybetme tehlikesi de kalmamıştır. Ama belki başkalarından daha çabuk ve daha hassas çözüm teknikleri geliştirirsek, adımızı tarihe yazdıramasak bile, terfi eder ve daha fazla para kazanabiliriz. İdealistlik de bir yere kadar!

Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz tarafından Bilim Teknik Dergisi Kasım 2015 sayısı için kaleme alınan bu yazı, hocamızın izni ile web için düzenlenerek sitemize eklenmiştir.

Kaynak: http://sertoz.bilkent.edu.tr/depo/BT-2015-11.pdf

Matematiksel

Hazırlayan: Matematiksel

Avatar
Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.