Sayılar Teorisi

Fermat’ın Küçük Teoremi ve Asalmış Gibi Davranan Carmicheal Sayıları

Verilen bir sayının asal olup olmadığını sayılar büyüdüğü zaman anlamak kolay değildir. Böyle durumlarda bazı testlere başvurulur. Fermat’ın küçük teoremi de bunlardan bir tanesidir. Fermat’nın küçük teoremine göre her p asal sayısı, x doğal sayı olmak üzere, her xp – x sayısını böler.

Örneğin; p=2 ve x=5 için, 52 – 5 =20 sayısı 2’ye bölünür. p=7 ve x= 11 için 117 – 11=19487160 sayısı 7’ye bölünür. Denemek isterseniz her p ve x değeri için teoremin sağlandığını görebilirsiniz.

Fermat’nın küçük teoremine başka bir açıdan bakalım.

n bir doğal sayı olsun. Her x doğal sayısı için, xn – x ifadesi n’ye tam bölünüyorsa, “n doğal sayısı asaldır” diyebilir miyiz? Eğer gerçekten böyleyse, n’nin asal olup olmadığını anlamak için rastgele seçilen bir x doğal sayısı için,  xn – x ifadesinin n’ye tam bölünmesi gerekir. Bir tane  değeri için bile tam bölünmezse n asal değildir. Bu yönteme “Fermat’nın Asallık Testi denir.

Ne yazık ki bu yöntem yeterince düzgün çalışmıyor. 1885’te matematikçi Vaclav Simerka, Fermat’nın küçük teoremi söz konusu olduğunda asal gibi davranan, aslında asal olmayan sayılar keşfetti. 561 bunlardan en küçüğü. 561 asal olmadığı halde, diğer tüm x doğal sayıları için, x561 – x ifadesi 561’e tam bölünüyor. Simerka, ayrıca 1105, 1729 (Hardy-Ramanujan sayısı), 2465, 2821, 6601 ve 8911 sayılarının da asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine uyduğunu tespit etmiştir.

Carmicheal Sayıları

Bu şekilde asal olmadıkları halde, Fermat’ın asallık testine göre asal gibi görünen doğal sayılara “sözde asal sayılar” denmiştir. Ayrıca bu sayıların ilki olan 561’i, 1910 yılında bağımsız keşfeden Amerikalı Robert Carmicheal anısına “Carmicheal sayıları” da denmektedir. İlk 7 Carmicheal sayısına bakarak bu sayılardan fazla olmadığı hissine kapılabilirsiniz. Bunlardan sonsuz tane var. Ancak 1994’te bu sayıların çok seyrek olduğu kanıtlandı. Yani sayı doğrusunda ilerledikçe karşımıza daha az Carmicheal sayısı çıkıyor. Carmicheal sayıları, Fermat’nın asallık testine biraz zarar veriyor gibi gözükse de hala pek çok işe yarıyor.

Göz atmak isterseniz…

Kaynakça: Maths in a minute: Pretend primes; https://plus.maths.org/content/maths-minute-pretend-primes

Matematiksel

Editör

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.