Sayılar Teorisi

Bütün Parçalarından Her Zaman Büyük müdür?

“Bütün, parçalarından büyüktür.” cümlesi, matematikçiler için belki de yüzyıllardır kutsal kitap olarak kabul edilen Öklid’in Elemanları kitabının beşinci aksiyomudur. Bu da demektir ki, bu basit ifade, koskoca matematik ve geometrinin üstüne kurulduğu en sağlam temellerdendir. Peki bu gayet bariz görünen aksiyom her zaman doğru mudur? Cevabımız: hayır. Buna sebep olan şey ise matematikçilerin Öklid zamanlarından beri başlarının belası olmuş sonsuzluktur. Şimdi bu sağlamlıktaki temeli yerinden sarsan adamı tanıyalım:

George Cantor

sonsuzlugun sinirinda yalniz bir adam cantor

Cantor, on dokuzuncu yüzyılın ikinci yarısından itibaren matematiğin birçok alanına özellikle de sonluötesi kümler kuramına birçok katkıda bulunmuştur. Cantor’un bu alana yaptığı devrimsel nitelikteki çalışmaları uzun süreler boyunca hayli tepki almış ve birer matematiksel sapkınlık olarak yorumlanmışlardı. Ancak yirminci yüzyılın ilerleyen yıllarında bu katkıların gerçek gücü anlaşılmıştır.

Cantor’un yaşamının ikinci yarısı sürekli tekrarlayan akıl hastalığı ataklarıyla geçmişti. Daha sonra akıl hastanesine de yatırılan Cantor 1918’te akıl hastanesinde yaşamını yitirdi. Bazıları, Cantor’un çoğu matematikçi tarafından matematik camiasından dışlanmasının, bu akıl hastalığının başlangıç ve/veya kötüleşme sebebi olduğunu söyler. Fakat Cantor’un matematiğe katkılarını savunan matematikçiler de olmuştur. Bunlardan biri de David Hilbert’tir ve şöyle demiştir:

“Cantor’un yarattığı cennetten bizi kimse kovamayacaktır.”

Daha fazla bilgi için: Çağının Ötesinde Bir Matematikçi George Cantor

Sonsuz Kümeler

Aralarında eşleme (birebir ve örten fonksiyon) olan, iki sonlu kümenin eleman sayıları eşittir diyoruz. Sonlu kümelerde bu durum barizdir. Aralarında eşleme olan iki sonsuz kümelere ise eşsayılı diyoruz. Sonsuz kümelerde ise şöyle düşünebiliriz tanım kümesindeki her eleman görüntü kümesindeki her elemanla eşlenebildiği için mantıken bu kümelere eşsayılı diyoruz, kümelerin sonsuz elemanları olduğu için eleman sayıları eşit demek çok doğru olmaz. 

Doğal Sayılar Kümesi

Şimdi doğal sayılar kümesinden (ℕ={0,1,2,3,…}) onun bir parçası olan çift doğal sayılar kümesine (E={0,2,4,6,…}) giden bir fonksiyona bakalım.

Bu fonksiyon bir eşlemedir. O zaman yukarıda verdiğimiz tanıma göre doğal sayılar kümesi ile çift doğal sayılar kümesi eşsayılıdır diyebiliriz. Fakat bu ise Öklid’in aksiyomuna terstir. Burada gördüğümüz kadarıyla, bir nevi bütün parçasından büyük değil ona eştir. Cantor’un bulduğu bu durum onun çalışmalarının başkaları tarafından kabul edilmemesinin en büyük sebeplerindendir. Diğer bir sebep ise çok daha tehlikeli: sonsuzluğu derecelendirmek. Cantor’un sonluötesi sayılar kuramına göre doğal sayılar bu derecelendirilmede en basit sınıftadır ve sayılabilir sonsuzluğa sahiptir. Bu derecelendirme ℵn (alef) ile gösterilir. Doğal sayılar ℵ0 olarak gösterilir. Doğal sayıların sayılabilir sonsuzluğa sahip olmasının bir sebebi de doğal sayıların düzgün bir şekilde sıralanabilmesidir. Peki diğer sayı kümeleri sayılabilir sonsuzlukta mıdır? İnceleyelim.

Tamsayılar Kümesi

Doğal sayılardan sonra akla gelen ilk küme tamsayılar kümesidir (ℤ={…,-2,-1,0,1,2,…}). Şimdi doğal sayılar kümesinden tamsayılar kümesine giden aşağıdaki fonksiyonu inceleyelim.

Bu fonksiyon da bir eşlemdir ve göstermesi çok da zor değildir. Bu fonksiyonun eşleme olması demek, doğal sayılar kümesi ve tamsayılar kümesi eşsayılıdır anlamına gelir. Yani tamsayılar kümesi de sayılabilir sonsuzluktadır.

Rasyonel Sayılar Kümesi

Şimdi ise rasyonel sayılar kümesini (ℚ={a/b|a,b∈ℤ ve b≠0}) inceleyelim. Fakat bu sefer eşleme bulmak yerine başka bir yol izleyelim, rasyonel sayılar kümesini de doğal sayılar kümesini sıraladığımız gibi sıralayabilecek miyiz bakalım. Cantor bunu aşağıdaki şekilde başarmıştı.


Rasyonel sayıları bu şekilde dizip, daha önce karşılaştığımız sayıları atlayarak okları takip edersek bütün rasyonel sayıları taramış oluruz (sıralamış da diyebiliriz). Bu da rasyonel sayıların da sayılabilir sonsuz olduğunun bir ispatıdır.

Reel Sayılar Kümesi

Reel sayılar kümesine gelmeden önce bu kümenin bir alt kümesini inceleyelim: (0,1). Bu aralığın sayılabilir sonsuzlukta olduğunu varsayalım. O zaman bu kümeyi sıralı bir şekilde aşağıdaki gibi yazabiliriz:

Fakat şimdi şöyle bir sayıyı düşünelim y=0,y0y1y2…yn . Bu öyle bir sayı olsun ki her i∈ℕ için yi ≠ aii. Buradan elde edeceğimiz sonuç ‘y’ hiçbir ‘x’ sayısına eşit değildir ama yine de y (0,1) aralığındadır. Bu bize bir çelişki verir. Buradan çıkaracağımız sonuç (0,1) aralığı sayılamaz sonsuzluktadır. Şimdi devam edelim. Aşağıda verilen fonksiyonu inceleyelim. a<b olmak üzere

Bu fonksiyon da bir eşlemedir ve bu fonksiyonun bize söylediği şey reel sayılar kümesinin boş küme olmayan her aralığı sayılamazdır. Son olarak şu fonksiyona bakalım.

Bu fonksiyon da yine bir eşleşmedir. Bu da demektir ki (-1,1) kümesi ve reel sayılar kümesi eşsayılıdır. Ve de yukarıda dediğimiz şeye bakacak olursak, reel sayılar kümesi de sayılamaz diyebiliriz. Reel sayılar ℵ1 olarak gösterilir. Eşsayılılık “≈” sembolü ile gösterilir. Toparlamak gerekirse:

Kaynakça:

– James, I (2013). Büyük matematikçiler euler’den von neumann’a. İstanbul: Türkiye İş Bankası Yayınları
https://manybutfinite.com/post/counting-infinity/

Matematiksel

Övünç Özgün Eker

Boğaziçi Üniversitesi matematik bölümü öğrencisiyim. Matematikle alakalı yeni şeyler öğrenmeyi oldum olası sevmişimdir. Bu yüzden de matematik hakkında okumaya uzun süredir meraklıyım. Öğrendiklerimi paylaşmayı da çok severim bu yüzden de buradayım! İyi okumalar...

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.