Brakistokron Problemi: En Kısa Yol Aynı Zamanda En Hızlı Yol Değildir!

Sizce bir tepeden aşağı inmenin en hızlı yolu nedir? Hepimiz düz bir çizginin en kısa yol olduğunu biliyoruz, ancak en kısa yol her zaman en hızlı olan mıdır? Şimdi bu sorunun cevabını anlamaya çalışalım. Öncelikle aşağıdaki gibi iki tane nokta belirleyelim. İki nokta arasında birçok farklı yol vardır. Amacımız en kısa sürecek yolu bulmaktır. Bu soru Brakistokron ( Brachistochrone) problemi olarak bilinir. Sorunun cevabı da elbette Brakistokron eğrisi olacaktır. ( Yunanca asıllı bir kelime olan Brachistochrone, “en kısa zaman” anlamına geliyor.)

Düzlemde A noktasından yalnızca yer çekimi etkisiyle harekete başlayan bir cismin A noktasıyla aynı düşeyde bulunmayan B noktasına en kısa sürede ulaşabilmesi için izlemesi gereken yol nasıl olmalıdır?

Meşhur Bernoulli kardeşlerden Johann Bernoulli’nin 1696’da ortaya attığı bu problem, dönemin matematikçilerine için açık bir meydan okumaydı. Daha da önemlisi, Johann Bernoulli’nin dünyaya ne kadar büyük bir matematikçi olduğunu göstermesi için bir şanstı. Johann Bernoulli 29 yaşındayken Acto Eruditorum adlı dergide bu soruyu yayımladı. Genç Bernoulli dik bir düzlemde, iki nokta arasındaki mesafenin en kısa sürede alınmasını sağlayacak yolun şeklinin ne olması gerektiğini soruyordu. Ancak hareketin sadece yerçekimi etkisiyle ve sürtünmesiz bir ortamda gerçekleşmesi gerekiyordu.

Anlaşılan Bernoulli bu problemi iki haftalık bir çalışma sonunda çözmüştü. Şimdi de diğer matematikçileri çözüme dahil etmek, biraz da ne kadar iyi bir matematikçi olduğunu göstermek istiyordu. Probleme gönderilen çözümlerden biri ağabeyi Jacob Bernoulli’ye aitti. Matematikçi Gottfried Leibniz de bir çözüm gönderdi. Bir başka çözüm de Fransız matematikçi Guillaume de l’Hôpital’den geldi.

Brakistokron Problemi İçin Johann Bernoulli’nin Bulduğu Çözüm

Newton da, kendisinden daha aşağı bir seviyede gördüğü biri tarafından kendisine meydan okunmasından hoşnut olmadı ve oyuna dahil oldu. Soruyu bir gecede çözdü ve isimsiz olarak gönderdi. Bernoulli daha sonra çözümün Newton’dan geldiğini bildiğini tahmin edecekti. Bir çok matematikçi soruyu çözmüş olsa da, Bernoulli’nin çözümü benzersiz, zekice ve şaşırtıcı derecede basitti.

sikloid
Bernoulli yaptığı hesaplar sonunda en hızlı parkurun sikloid eğrisiyle verileceğini bulmuştur.

Aslında Johann Bernoulli, brakhistokron problemini ilk düşünen kişi değildi. 1638 yılında Galileo Discourse on two new sciences adlı kitabında aynı problemi sormuştu. Ancak çözümünde hata yapmıştı. Ona göre cevap bir çember yayı olmalıydı. Şimdi aşağıdaki şekle dikkat edelim.

Yol düz bir çizgi ise (Yol 1), bir miktar yerçekimi tarafından hızlandırılır. Ayrıca, yol dikey ve ardından yatay olarak harekete devam ediyorsa (Yol 2), o zaman top başlangıçta direk yerçekimi etkisi ile yüksek bir hıza ulaşır, devamında yolculuğuna devam eder. Şimdi yapmamız gereken iki yolu birbiri ile birleştirmektir. Bernoulli, bu sorunu çözmenin harika bir yolunu düşündü. Sorunun cevabı aslında ışığın doğasında saklıydı.

Kırılma, ışığın bir saydam ortamdan diğerine geçerken bükülmesidir. Mercekleri, büyüteçleri, gökkuşaklarını ve hatta gözlerimizi yöneten bu ilkedir. Hava, cam ve su gibi farklı şeffaf ortamların kendilerine özgü farklı kırılma indeksleri vardır. Işık, kırılma indisi farklı olan bir maddeye belirli bir açıyla girdiğinde bükülür. Yöndeki bu değişiklik, ışık dalgasının hızındaki bir değişiklikten kaynaklanır. Örneğin, ışık havadan suya geçerken yavaşlar ve farklı bir açıda veya yönde hareket etmeye devam eder.

Snell Yasası

Snell yasası, ışığın temas halindeki iki farklı maddeyi ayıran yüzeyi geçerken aldığı yol ile her bir maddedeki ışığın hızı arasındaki ilişkiyi tanımlar. Buna göre kırıcılık indisi ne kadar çoksa ışık o kadar yavaş hareket eder. Bernoulli ise ışığın farklı kırılma indislerine sahip ortamlarda hareket etme prensibini temel alarak Brachistochrone eğrisini tanımladı.

Snell yasasını gösteren basit bir şekil. N1 ve N2 farklı iki ortam ve θ1 > θ2 . Kaynak: https://tr.wikipedia.org

Sonuçta aktardığımız gibi ışık belirli bir yol boyunca ilerlerken farklı hızlarda hareket eder. Ayrıca bildiğimiz gibi düşen nesne için, enerjinin korunumu nedeniyle, tepeden uzaklık, hızın karekökü ile doğru orantılıdır. Peki ışık farklı ortamlardan geçiş yaparken bir parçacık gibi davransa nasıl bir yol izler? Bu durumda ışık hem Snell yasasını hem de enerjinin korunum yasalarını takip etmek zorundadır. Bu koşulu sağlayan hareketin denklemi ise bir sikloid denklemidir. Bu nedenle, sikloid mümkün olan en hızlı yoldur ve Brakistokron sorununun çözümüdür.

Brakistokron eğrisi aynı zamanda Tautokron eğrisi olarak da bilinir. Bu eğri üzerinde bir parçacığı eğrinin hangi noktasından serbest bırakırsanız bırakın, aynı anda sona ulaşacaklardır.

Bir doğru boyunca dönerek ilerleyen bir çemberin üzerindeki sabit bir noktanın takip ettiği yola sikloid eğrisi denir. Bu eğri üzerine kapsamlı ilk çalışmayı Galileo ile öğrencisi Torricelli yapmıştır ve bugünkü ismini veren de Galileo’dur. Düşen bir nesneyi ışık ile birleştirerek elde ettiği çözüm de Bernoulli’nin gerçekten 17. yüzyıl matematikçileri arasında bir efsane olduğunun bir kanıtı gibidir.


Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu