Günümüzde faktöriyeller matematiğin her yerinde karşımıza oldukça sık biçimde çıkıyor. Peki gerçekten çok büyük bir sayının faktöriyelini, uzun çarpma işlemleri ile uğraşmadan nasıl hesaplayacağınızı biliyor musunuz? Eğer cevabınız hayır ise aşağıda gördüğünüz Stirling Formülü ile tanışın.
Bildiğiniz gibi eğer elimizde n farklı nesne varsa, bunları ilk n tam sayının çarpımı olan n faktöriyel farklı şekilde sıralayabiliriz. Bunu da n! = l x 2 x 3 x … n biçiminde gösteririz. Örneğin, 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 anlamına gelir. Bunun nedeni ise ilk nesne için n seçenek, ikinci nesne için n – 1 seçenek vs. oluşudur. Bu sebeple, faktöriyeller matematikte, özellikle olasılık teorisinde ve kombinatoryal (veya sayma) problemlerinde önemli bir rol oynar.
Faktöriyeller ile ilgili bir sorun sonuçlarının çok hızlı büyümesidir. Buna bir örnek olarak hepimizin aşina olduğu iskambil kağıtlarını verebiliriz. Elinizde 52’lik bir iskambil kağıdı destesi olduğunu ve bunu düzenlemek istediğinizi düşünelim. Bu durumda 52 farklı kart 52!= 52 × 51 × 50 × 49 ×… × 3 × 2 × 1 farklı biçimde düzenlenebilir. Bu çarpımın karşılığı 8,06582 x 1067 kadardır.
Bu sayının tam olarak ne kadar büyük bir sayı olduğunu hayalinizde canlandırabilmeniz için şu örneği verebiliriz. Şu anda hayatta olan tüm insanlar, evren başladığından beri her saniyede bir kart destesi karıştırmış olsaydı, bu sadece 3 × 10 27 karıştırmaya denk gelirdi. Aslında bu sayı da, asıl sayımızla karşılaştırıldığında inanılmaz derecede küçük bir sayı olurdu.
Yine de yeterince sabrınız ve bir bilgisayarınız var ise 52! sayısını hesaplayabilirsiniz. Ancak bir hesaplamada karşınıza 2345! sayısı çıktığını düşünelim. Sonucun bir tamsayı olduğunu bilirsiniz. Ancak bu sayının büyüklüğü hakkında bir bakışta karara varmanız asla kolay olmayacaktır.
Stirling Formülü Nedir?
Bunun yerine İskoç matematikçi James Stirling’in (1692-1770) adını taşıyan herhangi bir faktöriyel hesabının sonucunu yaklaşık olarak bulmamızı sağlayan güzel bir formül kullanabiliriz. (Bu formül yerine benzer bir mantıkla Gama fonksiyonunu da kullanabilirsiniz. Detayları burada: Ondalık Sayıların Faktöriyeli Olur mu? Gama Fonksiyonu İle Tanışın)
Newton’un yakın arkadaşı olan James Stirling günümüzde 1730 yılında kaleme aldığı Methodus Differentialis isimli kitabı ile bilinir. Stirling sayıları, Stirling permütasyonları ve Stirling yaklaşımı da onun adını taşımaktadır. Stirling yaklaşımı formülünü aşağıda görebilirsiniz. Bu formülde n yerine 52 yazdığımızda sonuç 8.0529 x 1067 olacaktır. Bu yazının başlarında verdiğimiz sonuca oldukça yakın bir cevaptır.
Böyle bir formül on yedinci ve on sekizinci yüzyıllarda gerçekleşen matematiğin etkileyici dönüşümüne dair fikir vermektedir. Sonuçta logaritmanın ya da kalkülüsün temellerinin bilinmediği dönemlerde matematikçiler Stirling formülü gibi, formüller üretiyorlardı. Bu güçlü formül n’nin değerini doğru bir şekilde tahmin edebilir. Bu özellik de onu fizikten bilgisayar bilimine kadar çeşitli alanlarda paha biçilmez bir araç haline getirir. ( İspatına yazının içinde yer verilmeyecektir. Ancak kaynaklardan ispata ulaşmanız mümkündür.
Faktöriyellere yaklaşmak için alternatif yöntemler mevcut olsa da, basitliği ve kullanım kolaylığı nedeniyle Stirling formülü yaygın olarak kullanılmaktadır. Sonuç olarak çeşitli matematik teorilerinin geliştirilmesinde önemli bir rol oynamış ve birçok alanda pratik uygulamalar bulmuştur.
Kaynaklar ve ileri okumalar:
- Stirling’s formula; Bağlantı: https://www.britannica.com
- What is the purpose of Stirling’s approximation to a factorial?; bağlantı: https://math.stackexchange.com/
- Stirling’s Approximation: A Powerful Tool to Approximate Factorials. Yayınlanma tarihi: 14 Nisan 2023. Bağlantı: Stirling’s Approximation: A Powerful Tool to Approximate Factorials
Size Bir Mesajımız Var!
Matematiksel, 2015 yılından beri yayında olan ve Türkiye’de matematiğe karşı duyulan önyargıyı azaltmak ve ilgiyi arttırmak amacıyla kurulmuş bir platformdur. Sitemizde, öncelikli olarak matematik ile ilgili yazılar yer almaktadır. Ancak bilimin bütünsel yapısı itibari ile diğer bilim dalları ile ilgili konular da ilerleyen yıllarda sitemize dahil edilmiştir. Bu sitenin tek kazancı sizlere göstermek zorunda kaldığımız reklamlardır. Yüksek okunurluk düzeyine sahip bir web sitesi barındırmak ne yazık ki günümüzde oldukça masraflıdır. Bu konuda bizi anlayacağınızı umuyoruz. Ayrıca yazımızı paylaşarak veya Patreon üzerinden ufak bir bağış yaparak da büyümemize destek olabilirsiniz. Matematik ile kalalım, bilim ile kalalım.
Matematiksel
