Berry Paradoksu ve İlginç Tamsayılar

Berry paradoksu ve benzer paradokslar ilginç içerikleri ve barındırdıkları çelişkiler nedeniyle düşünce biçimimizi değiştirmemize neden olabilirler…

***

Tüm tamsayılar ilginçtir. Mesela 1, tersi de tamsayı olan tek tamsayıdır. Ya da 2, çünkü çift olan tek asal sayı…

Biraz araştırırsak diğer sayılarında bir çok ilginç özelliğe sahip olduğunu görebiliriz. Şimdi kulağa saçma gelse de ilginç olmayan sayılar olduğunu kabul edelim ve bunların içinden en küçüğünü seçelim. Ama sırf bu özelliği nedeniyle bu sayı da yine ilginç sayılmaz mı?

tamsayılar

İşte bu tanımlamadan yola çıkarak ilginç olmayan sayı yoktur diyebiliriz. Burada paradoksu yaratan kavram, “ilginç olmayan en küçük” sayı kavramıdır. İlginç olmayan ilk sayıyı sadece ve sadece ilginç olmayan ilk sayı olduğu için ilginç buluyoruz.

Şimdi bu düşünceyi aklımızda tutarak kafaları biraz daha karıştıralım…

Diyelim ki bir yarışmaya katıldınız ve bu yarışmada mümkün olan en az zamanda sayıları okumanız ya da tanımlamanız isteniyor. Mümkün olan en büyük sayıyı siz seçmelisiniz.

Mesela dört sayısını ele alalım: Bir heceden oluştuğu için hızlıca okuyabiliriz, ya da iki kere iki, on altının karekökü, ikinci çift sayı gibi farklı biçimde tanımlayabiliriz bu sayıyı. Yarışmada hepsi kabul ediliyor, tek şart az evvel dediğimiz gibi telaffuz etmek için mümkün olan en az zamanı kullanmak…

Düşününce fark edebileceğiniz gibi bir sayıyı okuma hızınız sayının kendisinin ya da tanımlamasının içereceği hece sayısı ile bağlantılı. Diyelim ki en büyük sayıyı bulmak için kafanızdan geçen hece sayısı 40…

Şimdi 40 ‘tan az hece ile tanımlanabilecek en küçük tamsayıyı bulmalıyız. Bu dev sayıyı çabalarsak bulmak mümkün. Muhtemel okuması da oldukça uzun zaman alacaktır. Ancak ortada bir sorun var…

40 ‘tan az hece ile tanımlanabilecek en küçük tamsayı“cümlesi de o sayının tanımı olacaktır. Ve her durumda sayının kendisinden daha az sayıda hece içereceği için içerdiği tanıma uymayacak.

Bu çelişkiyi ilk yorumlayan 1904 yılında bir kütüphane çalışanı olan G.G. Berry oldu. Bu düşüncesini de zamanın en büyük paradoks uzmanına yazdı. Bu kişi Bertrand Russel idi. Russel bu paradoksu o kadar çok sevdi ki yazdığı kitabında alıntı yaptığı iki kişiden biri Berry oldu.

Yukarıdaki paradoksların ortak özelliği birbirinin zıttı iki durum arasındaki geçişin belirsiz olmasıdır. Bir açıklama yapılırken açıklamanın kendisinden bahsetme izni yoktur. Paradokslar bu özelliklerinden dolayı meşhur Berber paradoksuna da benzer.

Russel, Principia Mathematica adlı eseri ile her birinin daha düşük seviyedeki yalnızca bir açıklamayı kullandığı betimsel bir hiyerarşinin oluşturulması sayesinde tüm taşları yerine oturtacaktı devamında.

Ne yazık ki bu da Kurt Gödel ve eksiklik teoremleri tarafından inkar edilecekti yaklaşık 20 yıl sonra…

Bu da başka bir yazının konusu olsun diyelim.

Kaynak:

Maurizio Codogno, “Öğle Yemeğinde Matematik”, Doruk yayınları

http://www.matematikdunyasi.org/arsiv/PDF/03-II-90-91-ParadoksSinir.pdf

Matematiksel

Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim…Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere...Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim.Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı.Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı