Bal Peteğinin Mimarisi ve Ardındaki Geometri

Bal arıları, altıgen petek hücrelerini ustaca inşa etmek için zamanla gelişti. Peki ama neden altıgen? Kısa cevap: Altıgenlerin kullanılması, arıların mümkün olduğunca az balmumu kullanırken alanı verimli kullanmalarını sağlar. Bu konuyu biraz daha açıklamaya çalışalım.

Dünyayı yöneten fiziksel bir ilke, doğanın enerjiyi en aza indirmek için çabalamasıdır. Düz bir masanın üzerine biraz misket koyarsanız, bir zaman sonra bu misketlerin bir çoğunu yerde bulursunuz. Bunun nedeni, yerdeki bir misketin Dünya’nın merkezine daha yakın olması ve masadakinden daha düşük yerçekimi enerjisine sahip olmasıdır.

Aslında bir bal arısı peteğindeki hücreler de başlangıçta dairesel bir şekle sahiptir. Ancak petek yapılırken altıgen şekle dönüşür.

Kar taneleri, iki hidrojen atomunun her bir su molekülündeki oksijen atomu ile oluşturduğu açılar nedeniyle altı taraflı simetriye sahiptir. Bu açılar, su molekülünün toplam elektrik enerjisini en aza indirir. Diğer açılardan herhangi biri daha fazla enerji üretecektir. Satürn gezegeni gibi büyük cisimler yuvarlaktır. Çünkü küresel bir şekil toplam yerçekimi enerjisini en aza indirir. Matematiksel bir teorem kürenin, belirli bir hacim için en az yüzey alanına sahip belirli bir geometrik şekil olduğunu söyler. Dolu taneleri, sabun köpüğü ve doğadaki birçok nesne bu nedenle küresel şekillere sahip olur. Amaç her zaman harcanan enerjiyi en aza indirmektir.

Bal Peteği Neden Altıgen Yapıdadır?

Bal arılarının karınlarının alt tarafında dört çift özel balmumu salgılayan bez bulunur. Bu bezlerden, havaya maruz kaldığında ince pullar halinde sertleşen sıvılaştırılmış balmumu salgılarlar. İşçi arı yaşlandıkça bu bezler körelir ve mum yapma işi genç arılara kalır. Sağlıklı bir işçi arı 12 saatlik bir süre içinde yaklaşık sekiz ölçek balmumu üretir. Arı kolonisi, petekleri için tek bir gram balmumu yapmak için 1000 ölçek balmumuna ihtiyaç duyar.

Yukarıdaki fikirlerin güzel bir örneği ise arı kovanlarıdır. Bir bal peteğinin her bir hücresi neredeyse mükemmel bir altıgendir. Yani altı özdeş ve eşit aralıklı duvarları olan bir odacıklardan oluşur. Düz bir yüzeyde boşluk bırakmadan birbirine uyabilen eşit kenarlara sahip yalnızca üç geometrik figür olduğu matematiksel bir gerçektir. Bu şekiller eşkenar üçgen, kare ve altıgendir. Eşit alanlı üçgen, dörtgen ve altıgen birbiri ile karşılaştırıldığında, en az kenar uzunluğu altıgendedir. Dolayısı ile en az balmumu sarfiyatı altıgen bir form ile mümkün olacaktır.

Şimdi, arı kovanındaki bir hücrenin kenarlarının neden eşit uzunlukta olması gerektiğini sorabilirsiniz. Her hücrenin rastgele bir şekle ve eşit olmayan kenarlara sahip olması ve bir sonraki hücrenin boşluklar olmadan bu hücreye uyacak şekilde özel olarak yapılması elbette mümkündür. Ancak bu biçimde bir bal peteği inşa etme yöntemi, işçi arıların sırayla, birer birer çalışmasını gerektirir. Her bir arının, önündeki arının hücresini bitirmesini beklemek arılar açısından zaman kaybıdır.

Altıgen Yapı Tasarruf İçin En Etkili Formdur

Peteğin geometrisi, yapıyı oluşturmak için gereken balmumu miktarını en aza indirirken, arı kolonisinin depolama alanını en üst düzeye çıkarmasına izin verir. Düz bir yüzeyde en az balmumu sarfiyatı altıgen bir form ile mümkün olacaktır.

Arılar aynı anda çalışırlar. Bu nedenle arıların, tüm hücrelerin otomatik olarak birbirine uyacağını bilecekleri bir planına sahip olması gerekir. Bu da bal peteğinin altıgen olması anlamına gelir. İki bin yıldan daha uzun bir süre önce, MÖ 36’da Romalı bilim insanı Marcus Terentius Varro, altıgen şeklin bir yüzeyi en küçük toplam çevreye sahip eşit hücrelere bölen benzersiz geometrik bir şekil olduğunu tahmin etti. Ve en küçük toplam çevre veya en küçük toplam kenar uzunluğu, arıların peteklerini inşa etmek için ihtiyaç duydukları en az balmumu miktarı anlamına gelir.

Bal yapmak, binlerce çiçeğe ziyaret ve çok sayıda kanat çırpmayı gerektiren çok fazla iş demektir. Altıgen, çabayı ve enerji harcamasını en aza indirir. Ancak Varro yalnızca bir varsayım yapmıştı. Şaşırtıcı bir şekilde, matematikçiler tarafından Bal peteği varsayımı olarak bilinen Varro’nun varsayımı, 1999’da Amerikalı matematikçi Thomas Hales tarafından kanıtlandı. Arılar bunun doğru olduğunu zaten biliyordu. Daha fazlasını öğrenmek için aşağıdaki videomuza da göz atmanızı öneririz.

Doğa Altıgenleri Neden Sever?


Göz atmak isterseniz…

Kaynaklar ve ileri okumalar:

Matematiksel

Sibel Çağlar

Merhabalar. Matematik öğretmeni olarak başladığım hayatıma 2016 yılında kurduğum matematiksel.org web sitesinde içerikler üreterek devam ediyorum. Matematiğin aydınlık yüzünü paylaşıyorum. Amacım matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarımın da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Amacımıza da kısmen ulaştık. Yolumuz daha uzun ama kesinlikle çok keyifli.
Başa dön tuşu