Anasayfa » Manşet » Aşkın Sayılar

Aşkın Sayılar

Lütfen yanlış anlamayın sevgili dostlar konunun aşkla bir ilgisi yok. Üstelik benim de yeni yeni sayı kümeleri icat edip suyu bulandırmak gibi bir niyetim yok.

Böyle bir niyetim olsaydı da aşkın sayılar beni fazlasıyla aşardı. Hatta aşkın sayılar beni aşardı kelimesi bile beni oldukça aşardı 🙂

Gerçi matematikçilerin sadece mesleki zevkleri için hatta zaman zaman kişisel zevkleri için sayı dizileri sayı kümeleri üretmeleri de hiç öyle az rastlanır bir durum da değildir 🙂

Fakat size şimdi bahsedeceğim sayı ailesi için durum oldukça ciddi. Bu hiç de öyle türetilmiş sonradan uydurulmuş bir yapı değildi

Çünkü o da doğal sayılar, tam sayılar gibi temel karşı konulamaz bir şekilde ortada duruyordu ve insanlık eninde sonunda onunla karşılaşmak zorunda kaldı.

Tıpkı buzdağının görünmeyen kısmı gibi hep oradaydı ama daha derindeydi ve keşfedilip anlaşılması çok daha güçtü..

Gelin birlikte çok da derine inmeden insanlığı aşkın sayılara kadar getiren tarih çizelgesinde biraz yürüyelim

1) Doğal Sayılar

Bu hikayedeki en tanıdık figür onlar, saymanın ne demek olduğunu bilmezken bile belki sezgisel olarak onları tanıyorduk. 0 sayısından başlayıp 1’er artarak sonsuza kadar gidiyorlar. Sonsuza kadar gitmeleri evet korkutucu ama güzel tarafları 1’er artmaları. Bu sayede yıldızları ambardaki buğdayları iki elin parmağıyla sayılabilecek gerekli gereksiz her şeyi bazen tekrar tekrar sayabiliyoruz. Çok işe yarıyor. Ama tarih çizgisi bizi ticaretle tanıştırdığında yetmeyecekler. Sizi sayıların ilişkilerini en iyi anladığımız yere sayı doğrusuna davet edeyim.

2) Tam Sayılar

Ticaret demek biraz da paranın yetmemesi demek yani borç demek. Halbuki doğal sayılarımız bize borçları ifade edecek bir matematiksel sembol vermiyordu. Tam sayılar bu sorunu çözecekti, negatif sonsuzdan başlayıp yine birer birer artarak gidecekti. Ama içinde sonsuz sayı barındıran bu sayı ailesi bakkala yarım kilo şeker almaya gitseniz sizi yarı yolda bırakacaktı. O sonsuz sayı arasında sizin aradığınız sayı olmayacaktı. Hadi gelin sayı doğrusundan bakalım 🙂

3) Rasyonel Sayılar

Sizi bakkala karşı mahçup etmeyecek sayılar bunlar. a/b şeklinde yazılabiliyorlar. Yani kesir biçiminde. (Laf aramızda paydaya asla 0 sayısını kabul etmezler). Buçuklar çeyrekler onda birler vesaire hepsi burada.

Ortaokula geçildiğinde matematiğin o kadar da sevimli görünmemeye başladığı yıllarda genelimiz bu sayılarla tanıştı. Ama insanlık onları çok daha eski zamanlardan beri tanıyor. Üstelik sürtünmede kazanılacak binde birlik bir tasarrufun bir araca katacağı kabiliyetin ortada olduğu ve ya Amerikan Merkez Bankasının onda birlik bir faiz arttırımının Konya Ovasındaki çiftçinin mazotuna on kuruş zam yaptırabildiği dünyada hafife alınabilecek sayılar değiller. Üstelik oldukça kapsayıcı bir sayı ailesi oldukları düşünülebilir. Zira 3 sayısı 3/1 olarak yazılabildiği için ve -3 sayısı da -3/1 olarak ifade edilebildiği için doğal sayı ve her tam sayı bir rasyonel sayı aynı zamanda.

Üstelik oldukça kapsayıcı bir sayı ailesi oldukları düşünülebilir. Zira 3 sayısı 3/1 olarak yazılabildiği için ve -3 sayısı da -3/1 olarak ifade edilebildiği için doğal sayı ve her tam sayı bir rasyonel sayı aynı zamanda.

Onlar da eklendiğinde sayı doğrumuz çok daha zenginleşti.
İçinde sonsuz sayı barındıran sayı doğrumuza daha yakından hatta bir mercekle baktık…

Bütün sayı doğrumuz dolmuş gibi görünebilir. Ama bu gerçek değil rasyonel sayıların sayı doğrusunda kapladığı kısım boşluklardan hala daha az.

Öğrencilik döneminde genel olarak ortaokulun son yıllarında karşılaştığımız sayı ailesi ortalığı gerçek anlamda karıştıracaktı.

4) İrrasyonel Sayılar

Burada işler karışıyor zira bu sayıların en temel özelliği a/b şeklinde ifade edilemez oluşlarıydı. Pek çok büyük matematik ekolü onların varlığını uzun süre reddetmişti. Pisagor ekolü bu sayıların bilinen en büyük düşmanıydı.

Hatta büyük matematikçi Pisagor’un öğrencisi Hippasus bu sayıların varlığı konusundaki ısrarıyla canından olmuştu.

Bu sayılar genellikle geometrik gereklilik durumlarında ortaya çıkıyordu.
Örneğin birim karenin köşegeni √2, örneğin çok meşhur bir oran olan phi sayısı yani altın oran.

Kesir biçiminde ifade edilemiyorlardı ve virgülden sonra sonsuza değin hiç devretmeden gidiyorlardı. Sayı doğrusunda bir yerlere yerleşmeleri gerektiğini biliyoruz. Fakat sizden saklamak olmaz sayı doğrusundaki yerleri hakkında ancak iyi bir tahminimiz var kesin yerlerini bilemiyoruz.
Sizi hayal kırıklığına uğratmak istemezdik ama durum bu.

√2 sayısının yerleşimini göstererek durumun kompleksliğini aktarmaya çalışayım;

5) Reel Sayılar

Bundan bahsetmek daha kolay. Rasyonel ve İrrasyonel tüm sayıları içinde barındıran sayı kümesine Reel Sayılar diyoruz. Bütün sayıların kümesi. Sayı doğrusunun mümkün olan en dolu hali.

Bu görsel boş bir alt niteliğe sahip; dosya adı rationals.png


Sizi buraya aşkın sayılardan bahsetmek için çağırdım ve henüz onlardan bahsetmedim bile. Buraya kadar gelen okuyucunun sabrına teşekkür ediyor ve esas meseleye giriş yapıyorum ;

Sayı ailesinin bu denli genişlediği matematikte yeni bir kavram ortaya çıkmıştı.

CEBİRSEL SAYILAR

Katsayısı rasyonel sayı olan bir polinomun kökü (çözümü) olan sayılara bir cebirsel sayı adı verildi. Örneğin x-3=0 denkleminin kökü olan 3 bir cebirsel sayıdır. (Tüm tam sayılar ve doğal sayılar birer cebirsel sayıdır.)
Örneğin 2x=1 ifadesinin çözümü olan 1/2 bir cebirsel sayıdır. (Tüm rasyonel sayılar da cebirsel sayılardır.)

Cebirsel sayı olan irrasyonel ifadeler de vardır zira √2 sayısı x2-2=0 polinomunun köküdür.

Tüm rasyonel sayıların ve bir takım irrasyonel sayıların cebirsel sayılar olduğunu gördükten sonra akla bir soru geliyor. Cebirsel olmayan sayılar var mı?

Sorunun yanıtı evet ve ben zaten sizleri buraya bu yüzden topladım.

AŞKIN SAYILAR

Cebirsel olmayan sayılara aşkın sayı denilecekti. Yani herhangi bir rasyonel katsayılı polinomun kökü olmayan sayılara. Bu sayıların varlığını ispatlamak varlığını sezinlemekten daha zor oldu.

Joseph Lioville

Ancak 1844’de Joseph Liouville aşkın sayıların karakteristik özellikleri üzerine verdiği temel bir teorem ile Liouville sabiti adını verdiği bir sayı yardımıyla aşkın sayıların varlığını ortaya koydu.

Görüntüsü hoşunuza gitmeyebilir ama insanlık tarihinin ilk aşkın sayısı bu sayıydı.

Peki bu sayıları bu kadar önemli yapan şey neydi? 1873’de Charles Hermite e sayısının aşkın sayı olduğunu ispatllayacaktı.

Ferdinand von Lindemann

Ama esas büyük olayı Alman matematikçi Ferdinand von Lindeman yapacaktı. Pi sayısının bir aşkın sayı olduğunu ispatlayacaktı.

Bu size öyle basit gelmesin değerli dostlar Lindeman bunu yaptığında tarihin bilinen en eski matematik problemini de çözmüş oluyordu. Çemberi karelemek!

π ‘nin cebirsel olmadığını ispatlıyor ve √π sayısının asla elde edilemeyeceğini açıkça ortaya koyuyordu. Geometrik yöntemlerle çözümü aranan bir problemi bambaşka bir bakış açısıyla çözüme kavuşturmuş oluyordu.

Matematik de hayatın kendisi gibidir, bazen çözüm hiç beklenmedik şekilde açılan başka bir kapıdan gelir.

Sevgiler.

Hasan Hüseyin Akis

Kaynakça:
1) Cebir Dersleri- H. İbrahim Karakaş
2)Aşkın Sayılar Üzerine- Aytek Erdil
3)Yapılamayan Çizimler- Hasan Hüseyin Akis-Oktay Cesur(Bitirme Tezi)
4) https://brilliant.org/wiki/transcedental-number/
5) http://www.science4all.org/article/numbers-and-constructibility/

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Yazıyı Hazırlayan: Hasan Huseyin Akis

Avatar
Kendimi bildim bileli bir sorunu çözmek durumunda kalıyorum ve ya düzenli olarak çözülmesi gereken problemler yaratıyorum. Sanırım matematikte beni büyüleyen şey de bu. bir çözüm bulma çabası... Öyle ki bu çözüm bulma çabası çoğu kez anlamsız bir çabaya dönüşüyor. Bir çözümü gerçekten bulmak çoğu zaman bir insan ömrüne sığmıyor. Ama matematik o arada hiç durmadan aramaya devam ediyor. Bana öyle geliyor ki matematik insanoğlunun dünyada karşı karşıya kaldığı tüm problemleri çözme çabasının tamamını temsil ediyor hem de tüm yönleriyle. Beni matematiğin içine sokan da, matematikte görmüş olduğum o bizi aşan güzellik de sanırım matematiğin bu yönüyle ilgili... Matematiğin bu yönünü belki diğer insanlara anlatabilirim ve diğer insanların da matematiği benim gördüğüm haliyle görebilmelerini sağlayabilirim umuduyla buradayım. Bunun dışında İzmir'in Ödemiş ilçesinde doğup Matematik Bölümünü Çanakkale'de okumuş olmak gibi bir özgeçmişim var. Halen Çanakkale'de yaşıyorum, bir özel okulda Matematik Öğretmeni olarak çalışıyorum.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.