Aşkın Matematiği

Bir toplumda evlenme çağında olan ve kendine uygun eş arayan insanları en ideal şekilde nasıl eşleştirebiliriz?

Matematiksel düşünceyi, insanları yakından ilgilendiren bu probleme uygulayalım biraz. Bunun için toplumda eşit sayıda (n tane) kadın ve erkek olduğunu varsayalım öncelikle.

Evlenmek isteyen tüm kişilerin karşı cinsten adayları en çok istenenden en aza doğru sıralamasını isteyelim devamında.

Keşke herkes listede kimi tepeye koyuyorsa, kendisi de o kişinin listesinin en üstünde yer alsa. O zaman ortada çözecek bir problem olmazdı! Ama hayat bundan daha karmaşık.

Peki bu durumda çözümün nasıl olmasını istiyoruz?

Üniversiteye giriş sınav sistemi gibi, herkesi mümkün olduğu kadar birinci tercihine, olmuyorsa ikinci tercihine mi yerleştirelim?

Burada hedef 1. tercihine yerleşen insan sayısının maksimum olduğu yerleştirmeyi bulmak.

Belki de insanları yerleştirdiğimiz ortalama tercih numarasının mümkün olduğu kadar küçük olması daha iyi bir fikirdir. Yani sadece en üst tercihe odaklanmak yerine, mümkün olduğu kadar üst sıralarda bir tercihe yerleştirmeye çalışmak.

Bu iki hedef yakından ilişkili de olsa farklı bakış açılarını temsil ediyor ve farklı çözümlere götürüyor.

Örneğin bir kişinin 1., diğerinin 100. tercihine yerleştiği bir eşleşme ile, aynı kişilerin 2. ve 90. tercihlerine yerleştiği ve diğer her şeyin (hemen hemen) aynı kaldığı ikinci bir eşleşmeyi göz önüne alalım. Yani bir kişiyi 1 basamak geriletirken diğerini 10 basamak ilerletmişiz. Sadece 1. tercihlerin sayısına bakıyorsak ilki, ortalamaya bakıyorsak diğeri daha idealdir.

Üçüncü bir bakış açısıysa, en son tercihine yerleşen insan sayısını minimum yapmaya çalışmak. Bu da mutsuzluğu en aza indirgemek anlamı taşıyor.

İlk bakış açısı mutluluğun en üst düzeye çıkarılmasıydı. İsimler benzese de sonuçlar çok farklı.

Örneğin 3 kadın ve 3 erkekten oluşan bir topluluk düşünelim. Tercih sıraları yukarıdaki tabloda verildiği gibi olsun. Şimdi iki ayrı eşleştirmeyi göz önüne alalım:

1: Ahu-Emir, Banu-Ferhat, Ceylan-Doruk

2: Ahu-Doruk, Banu-Emir, Ceylan-Ferhat

Eğer amacımız mutluluğu maksimum yapmak ise 1. eşleştirme 2. eşleştirmeden kesinlikle daha iyi, çünkü onda tam 3 kişi ilk tercihiyle eşleşmiş, diğerindeyse bu sayı sıfır. Ama olaya mutsuzluğu minimum yapmak açısından bakarsak 2. eşleştirmenin üstün çünkü hiç kimse sonuncu tercihiyle eşleşmemiş.

Ortalama toplumsal mutluluk açısından bu iki yerleştirme arasında bir fark yok, çünkü ikisinde de insanlar ortalama 2. tercihine yerleşmiş.

3 kişi ile bile soru bu kadar zor iken bir milyon kişi için bu işi listeleme yolu ile çözüme listeleme yolu ile ulaşmak imkansız gibi. Mecburen işin içine algoritmalar karışmalı. Kişileri nasıl sıralayacağımız sorusu soyut bir soru değil aslında. İnternetteki “evlilik siteleri” tam olarak bu problemle karşı karşıya.

En iyisi biz gittikçe dallanıp budaklanan bu toplumsal problemi (kararlı evlilik problemi) bir başka yazıya bırakıp daha kişisel ve daha romantik bir probleme odaklanalım.

Hayata bir de kişinin tercihleri açısından bakalım.

Mesela geleneksel bir toplumdaki bir genç kızı hayal edelim. Çevresindeki kendinden büyük genç kızlara bakarak, kendisine yaklaşık olarak kaç kişinin talip olacağını tahmin edebiliyor: Tam n kişi. Sıralama konusunda da bir sorun yok diyelim. Ama bu sefer de şöyle bir sorunla karşı karşıyayız: Her bir talibe, teklifte bulunduğu anda cevap vermesi gerekiyor: Evet ya da hayır.

Kahramanımızın ikilemi şu: İlk talibine evet derse, belki de ondan biraz sonra gelecek daha iyi bir kısmeti tepmiş olacak. Hayır derse, belki de sonradan geleceklerin hiç biri o kadar iyi olmayacak ve o da sonuncu (yani n.) kişi her kimse mecburen ona “evet” diyecek.

Mesela ilk talibe evet demek bir stratejidir, başarıya ulaşma ihtimali 1/n’dir. İlk talibi reddedip sonra gelenler içinde daha iyi olan ilk teklifi kabul etmek daha iyi bir fikir. Biraz düşünürsek, ilk talibin en iyisi olduğu istisnai durum hariç, bu stratejinin daha iyi sonuç verdiğini görebiliriz.

Bu fikri biraz daha ilerletip ilk 2, 3 ya da 4 kişiyi otomatik olarak reddedip sonra gelenler arasından reddedilenlerden daha iyi olanı seçebiliriz. Ama çok da fazla ilerletmeyelim, yoksa en iyiyi de otomatik olarak reddetme ihtimali artar.

Peki, ideal durma noktası neresi?

Literatürde daha çok “sekreter problemi” olarak geçen bu problem 1950’lerde ortaya atılmış, 1960’larda yaygınlaşmış, 1984’te de çözülmüştür.

İdeal durumda adayların 1/e (yaklaşık %36,8) kadarı reddedilmelidir. Ancak bu çözüm de kabuller çerçevesinde doğrudur. 1 numarayı bulma fikrine odaklıdır ve listedeki 2 numara veya en son numara ile eşleşme durumları arasında ayrım yapmaz. Bu bakış açısıyla her ikisi de başarısızlıktır. Oysa sonuçta kabul edilen adayın ortalamasını iyileştirmeye çalışmak muhtemelen daha iyi bir fikir olacaktır. Problemin daha az bilinen bu halinin çözümü ise √n-1 sayısını içerir.

n sayısı 10 civarındayken iki bakış açışı arasında pek fark yoktur. Ama mesela n=25 ise, biri 4 diğeri 9 kişiyi reddetmeyi tavsiye eder.

Peki aday sayısının ne olduğunu daha en baştan biliyor olmamıza ne dersiniz? Sizce bu durum ne derece gerçekçi?

En iyisi onu da bir ihtimale bağlamak. Yani kapınızı çalan her bir adayın, en son aday olma ihtimali olmalı. Böylece “doğru” hamleyi yapmak daha da zorlaşmalı.

Bu çözümlerdeki bir başka sorun ise adayların değerlerinin tamamen rastgele dağılmış olmasıdır. Halbuki belli bir ortalama etrafında istatistiksel anlamda normal olarak (çan eğrisi şeklinde) dağılmış olduklarını varsaymak daha gerçekçi olacaktır.

Zaten deneysel çalışmalar insanların kuramsal olan 0,368 oranından önce karar verdiğini gösteriyor.

Örneğin n=1000 gibi istisnai bir durum için kuram 368 diyor, ama siz en fazla 15-20 adayı gözlemleyip ortalama ve standart sapma konusunda mantıklı bir tahmine ulaşabilir ve oradan da “iyi” ve “çok iyi” adayları belirleyebilirsiniz.

Peki teklif yapmak istediğiniz kişinin aynen bu stratejiyi uyguladığını biliyorsanız, o zaman ne yapmalısınız?

Elbette ilk %37’den uzak durmalısınız, yoksa hiç şansınız yok. Ancak o da sizin böyle yapacağınızı biliyorsa strateji değiştirecek ve bu sefer problem oyun kuramının çetrefil bilmeceleri arasında yerini alacaktır. Ama hangi stratejiyi uygularsanız uygulayın, problemin özü değişmiyor: Diğer insanların listesinde ortalama kaçıncı sırada olduğunuzu anlamaya çalışıyorsunuz ve gözlem sonuçları genelde ilk baştaki tahminleri tutmuyor.

Bu yazıda bir çok problem üzerinde düşündük, pek çok paradoksla tanıştık ama pek az çözüme rastladık. Herhalde aşkın matematiği de kendisi kadar anlaşılmaz olduğu için!

Emre Sermutlu

İleri okumalar:

  • http://www.math.harvard.edu/~eriehl/pechakucha.pdf
  • Freeman, P. R., “The Secretary Problem and Its Extensions: A Review”, International Statistical Review, Cilt 51, s. 189-206, 1983.
  • Ferguson, T. S., “Who Solved The Secretary Problem?”, Statistical Science, Cilt 4, s. 282-296, 1989.
  • Bearden, J. N., “A new secretary problem with rank-based selection and cardinal payoffs”, Journal of Mathematical Psychology, Cilt 50, s. 58-59, 2006.
  • http://www.npr.org/blogs/krulwich/2014/05/15/312537965/ how-to-marry-the-right-girl-a-mathematical-solutions

Bu yazı kısmi olarak Bilim Teknik Dergisi Şubat 2015 sayısı syf: 29 – 33 ‘de bulunan aynı adlı yazıdan alıntılanarak sitemize eklenmiştir.

Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

İlgili Makaleler

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

Başa dön tuşu
Kapalı