Asalmış Gibi Davranan Sayılar

p bir asal sayı ve x bir doğal sayı olsun. Fermat’nın küçük teoremi gereğince;  xp – x ifadesi p’ye tam bölünür.

Örneğin; p=2 ve x=5 için, 52 – 5 =20 =2 x 10

p=7 ve x= 11 için 117 – 11=19487160 = 2783880 x 7

Başka p ve x değerleri için de teoremin sağlandığını görebilirsiniz denemek isterseniz.

Fermat, 1640 yılında bir mektupta, bu teoremin bir versiyonundan bahsetti. Ancak son teoreminde olduğu gibi kanıt yine şifreliydi.

“… çok uzun olmasından çekinmeseydim, sana kanıtı gönderecektim.”

Son teoremi için ise, bir sayfanın kenarına “…genel olarak  2’den büyük kuvvetteki bir sayının, aynı kuvvetteki iki sayının toplamı olması imkansızdır. Bu önermenin doğruluğunu gösteren gerçekten çok güzel bir kanıt buldum. Ancak burada, yazacak kadar yer yok.” şeklinde not düşmüştü. Kanıt için 1994 yılını bekleyecektik.

Ancak Fermat’nın son teoreminden farklı olarak, kısa bir süre sonra 1736 yılında Leonard Euler tarafından bu teorem kanıtlandı.

Şimdi, Fermat’nın küçük teoremine başka bir açıdan bakalım. n bir doğal sayı olsun. Her x doğal sayısı için, xn – x ifadesi n’ye tam bölünüyorsa, “n doğal sayısı asaldır” diyebilir miyiz?

Eğer gerçekten böyleyse, n’nin asal olup olmadığını anlamak için rastgele seçilen bir x doğal sayısı için,  xn – x ifadesinin n’ye tam bölünmesi gerekir. Bir tane  değeri için bile tam bölünmezse n asal değildir. Bu yönteme “Fermat’nın Asallık Testi” denir.

Ne yazık ki bu yöntem yeterince düzgün çalışmıyor.

1885’te matematikçi Vaclav Simerka, Fermat’nın küçük teoremi söz konusu olduğunda asal gibi davranan, aslında asal olmayan sayılar keşfetti. 561 bunlardan en küçüğü. 561 asal olmadığı halde, diğer tüm x doğal sayıları için, x561 – x ifadesi 561’e tam bölünüyor.  Simerka, ayrıca 1105, 1729 (Hardy-Ramanujan sayısı), 2465, 2821, 6601 ve 8911 sayılarının da asal olmadıkları halde, Fermat’nın asallık testine uyduğunu tespit etmiştir.

Bu şekilde asal olmadıkları halde, Fermat’nın asallık testine göre asal gibi görünen doğal sayılara “sözde asal sayılar” denmiştir. Ayrıca bu sayıların ilki olan 561’i, 1910 yılında bağımsız keşfeden Amerikalı Robert Carmicheal anısına “Carmicheal sayıları” da denmektedir.

İlk 7 Carmicheal sayısına bakarak bu sayılardan fazla olmadığı hissine kapılabilirsiniz. Bunlardan sonsuz tane var. Ancak 1994’te bu sayıların çok seyrek olduğu kanıtlandı. Yani sayı doğrusunda ilerledikçe karşımıza daha az  Carmicheal sayısı çıkıyor.

Carmicheal sayıları, Fermat’nın asallık testine biraz zarar veriyor gibi gözükse de hala pek çok işe yarıyor.

Kaynakça: https://plus.maths.org/content/maths-minute-pretend-primes

https://www.matematiksel.org/andrew-wiles-fermata-karsi/

https://www.youtube.com/watch?v=jbiaz_aHHUQ/

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Şevket Üncü

Hakkari Anadolu Lisesi, Van Yüzüncü Yıl Üniversitesi Matematik Öğretmenliği mezunuyum. Şu an MEB'te çalışmaktayım. Yüzüncü Yıl Üniversite Eğitim Fakültesinde gecikmeli diferansiyel denklemler için nümerik çözümler üzerine yüksek lisans eğitimim devam ediyor. Matematikle yaşamaktan ve matematiği araştırmaktan çok keyif alan biriyim.

Bunlara da Göz Atın

Diklik Merkezi

  Aşağıda ne görüyoruz? Üç kenar, üç köşeden oluşan bir şekil. Kısaca üçgen! Sade, yalın …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');