Asal Sayıların Sıklığı Üzerine

Matematik insanın tüm ilgi alanlarının arasında mekik dokuyan öylesine engin bir konudur ki, bazen içinde kaybolup gidersiniz. Arada bir temel esaslara geri dönmeniz gerekir. Sayıların temelinde sayma sa­yıları vardır ve onların da temelinde asal sayılar…

Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil bilim ile yolu kesişen tüm insanların ilgisini çekmiştir. Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için herhangi bir formül yoktur. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiç­bir kalıba uymazlar.

Asal sayıları bulmaya yarayan en eski yöntemlerden birini, dünyanın çevresini ölçmesi ile tanınan Eratosten icat etmişti. Günümüzde ise daha çok asal sayıları bulmaya yarayan eleğiyle hatırlanır kendisi. Eratosten sayıları sırasıyla yazarak oluştur­duğu tabloda asal olan 2 sayısının altını çizdi ve 2’nin tüm katlarının üstünü çizerek eledi. Ardından 3’ün altını çizip 3’ün katlarını eledi. Bu şekilde devam ederek tüm bileşik sayıları eledi. Geriye kalan altı çizili sayılar asal sayılardı.

Asal sayıları sırasıyla bulmak için bu yöntemi kullanabiliriz. Peki verilen bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlayabiliriz? Büyük bir sayının asal olup olma­dığını anlamak için kendinden küçük asallara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu da tahmin edebileceğiniz gibi pek de kolay bir yaklaşım biçimi değildir.

Asallar sonsuza uzansalar da insanın en büyük asal sayıyı bulma sevdası hiç dinmemiştir. Şu andaki rekor bir Mersenne asalı olan 23.249.425 basamaklı 77.232.917 – 1 dir. Detay için: https://www.matematiksel.org/bilinen-en-buyuk-asal-sayi-m77232917/

Mersenne asalları 2’nin kuvvetleriyle, yani 2, 4, 8, 16, 32, 64, 1 28, 256, … diye sürekli ikiye katlanan sayı­lardan 1 çıkartarak oluşturulur. Formülle ifadesi 2n-l şeklindedir. Bu sayıların hepsi tek olsa da hepsi asal değildir.

İlk birkaç örnekteki 3, 7, 31, 127 sayılarının hepsi asal gerçi, ama bunun hep böyle olduğunu söy­leyebilir miyiz?

Eski çağlarda, yaklaşık 1500 yılına kadar çoğu matematikçi böyle olduğunu sa­nıyordu. Fakat bu kural 11. kuvvette bozulur: 211 – 1 = 2047 =23 x 89.

Asal sayılara ilişkin öne çıkan iki cevapsız soru, “ikiz asallar problemi” ve “Goldbach sanısı”dır.

İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. 1 ‘den 100’e kadar olan ikiz asallar şunlardır: (3, 5); (5, 7); (11, 13); (17, 19); (29, 31); (41, 43); (59, 61); (71, 73).

1010‘dan küçük ikiz asalların tam 27.412.679 tane olduğunu biliyoruz. Bu da demektir ki bu aralıktaki asalların arasındaki çift sayılar (örneğin 11 ile 13 arasındaki 12), bu aralıktaki sayıların yalnızca %0,274’ünü oluşturur. Peki ikiz asallar sonsuz mudur? Eğer değillerse bu şaşırtıcı bir sonuç olur, fakat şu ana kadar bunu veya aksini ispatlamayı başarabilen olmadı ama bu konuda yapılan önemli çalışmalar mevcut. Göz atmak isterseniz…

Christian Goldbach sanısı ise şunu söyler: 2’den büyük her çift sayı iki tane asalın toplamı olarak ifade edilebilir.

Daha fazla bilgi için bu yazıyı da okumanızı öneririz: https://www.matematiksel.org/asal-sayilar-hakkinda-pek-cok-sey/

Asırlardan beri asal sayılar şifre bilimi – kriptoloji – alanında kullanmaktadır. İnternet alışveriş siteleri ve elektronik bankacılık sistemleri, verilen bir sayının çarpanlarının kolay kolay bulunamayacağı gerçeğini güvenlik için kullanır. Küçük bir sayının çarpanlarına ayrılması kolaydır ancak sayı büyüdükçe bu işe imkansızlaşır. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi işte budur.

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematikte Hata Yapmak İyidir!

Matematik çoğu zaman doğru veya yanlış olarak verilen cevaplardan ibaret olarak düşünülür. Bu düşünce, teknik …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');