MATEMATİK HER YERDE

Asal Sayılar Hakkında Pek Çok Şey

Asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.

Sayıların temelinde sayma sa­yıları vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır?

Önce işe bir soru ile başlayalım: Bir sayıyı daha küçük parçalarına ayırabilir miyiz? Cevabınız hemen evet olacaktır. Bir çok sayı onu oluşturan bileşenlerine ayrılabilir. Mesela 12=2x2x3 biçiminde yazılabilir. İşte, bu sayılara bileşik sayılar denir.

Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızca l’e ve kendisine tam bölünür.

Peki l de asal mı diye soruyor olabilirsiniz. Geçmişte pek çok matematikçi 1 ‘i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılmıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “l ‘den büyük” ifadesi eklenmiştir.

Bu konuyu daha fazla ele aldığımız Bir Sayısı Neden Asal Değildir? başlıklı yazımızı okumanızı öneririz.

Asal sayılar matematiğin atomlarıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. 

Bu gerçeği matematiksel olarak ifade eden teorem “aritmetiğin temel teoremi” adıyla bilinir. Buna göre l ‘den büyük her tamsayı asal sayıların çarpımı olarak yalnızca tek bir şekilde ifade edilebilir.

Örneğin: 93=3×31 şeklinde yazılır ve 3’le 31’in yer değiştirmesi dışında 93’ün asalların çarpımı şeklinde başka bir yazılımı yoktur.

Demek ki, her tam sayı ya kendisi asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde yazılabilir. Öyleyse tüm asalları bilirsek tüm sayıları bilmiş olacağız!

Kaç Tane Asal Sayı Var?

Sonsuz tane asal sayı olması gerektiğini bilebiliriz. Ancak bu asalları bulabilir miyiz?

Asal sayılan belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiç­bir kalıba uymazlar. Asal sayıları bulmaya yarayan en eski yöntemlerden birini, keşfeden Eratosten’in süzgeç yöntemi de sadece konuyu kavramamız açısından işe yarar.

Peki, nasıl anlayacağız…

Örneğin 19.071 asal mıdır? Ya da 19.073?

Büyük bir sayının asal olup olma­dığını anlamak için kendinden küçük asallara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu arada merak ettiyseniz, 19.071=31 x 13 x 163 asal değildir ama 19.073 asaldır.

Bir başka zorlu soru ise asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Aşa­ğıda 1 ile 1000 arasındaki asal sayıların dağılımı görülüyor:

Aralık1-100101-200201-300301-400401-500501-600601-700701-800801-900901-1000
Asal sayı adedi25211616171416141514

Cari Friedrich Gauss 1792’de, henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısın­dan küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir.

n=1000 için formülün verdiği tahmin 172’dir.

Asal sayılar her zaman böyle sürprizler barındırır. Dahası, bazı sayı aralıklarında tahminle gerçek arasındaki fark bazen az, bazense çok olacak şe­kilde dalgalanır.

Asal sayılar sonsuzdur

Bunu ilk fark eden kişi Öklid olmuştur. Öklid’e göre eğer sonlu sayıda asal sayı içeren bir liste alırsak mutlaka bu listede olmayan başka bir asal sayının var olduğunu gösterebiliriz. Kısaca açıklamak gerekirse:

İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı listemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede değil. Öte yandan elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecek. Demek ki bu sayı ya kendisi asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür.

İnternet alışveriş siteleri ve elektronik bankacılık sistemleri, verilen bir sayının çarpanlarının kolay kolay bulunamayacağı gerçeğini güvenlik için kullanır. Örneğin verilen sayı 150 ise hemen çarpanlarını bulabilirsiniz. Ama eğer verilen sayı 150 basamaklıysa en hızlı bilgisayarlarla bile  o sayının çarpanlarını bulamazsınız. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi işte budur.

Komşu Asallar

Birbirini takip eden asallar arasında en az ve en çok ne kadar aralık olur sorusu asallarla ilgilenmeye başlayınca ilk akla gelen sorulardan biridir. İlk önce iki ardışık asalın birbirinden ne kadar uzak olabileceği sorusuyla ilgilenelim:

Bir sayı tutun. Aralarındaki fark tuttuğunuz o sayıdan daha fazla olan iki ardışık asal mutlaka vardır.

Örneğin 5 sayısını tutmuş olun. Ardışık beş tane bileşik sayı yazacağız. 722, 723, 724, 725, 726 Bu sayılar sırasıyla 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölünür. Bu sayılar, 719 ile 727 asalları arasındadır ve aralarındaki fark beşten büyüktür.

722 sayısını bulmak için önce 1x2x3x4x5x6=720 sayısını bulalım ve devamını söyle yazalım: 1x2x3x4x5x6+2, 1x2x3x4x5x6+3, 1x2x3x4x5x6+4, 1x2x3x4x5x6+5, 1x2x3x4x5x6+6

Sadece gözümüzle takip ederek ilk sayıyı oluşturan iki parçanın da 2’ye bölündüğünü, ikinci sayıyı oluşturan iki parçanın da 3’e bölündüğünü (ve bu böyle devam eder) görürüz. 1x2x3x4x5x6 sayısını kısaca 6! olarak yazarız.

Şimdi 5 yerine çok daha büyük bir sayı tutalım ve bu sayıya N diyelim.

Bu durumda (N+1)!+2, (N+!)!+3, …, (N+1)!+(N+1) sayılarının sırasıyla 2, 3, … , N+1 ile bölündüğünü, dolayısıyla hiç birinin asal olmadığını hiç işlem yapmadan görürüz.

(N+1)!+2 sayısından önce gelen ilk asal sayıya p, (N+1)!+(N+1) sayısından sonra gelen ilk asal sayıya q dersek q-p>N bulduk.

Demek ki hiçbir asala rastlamadan ilerleyeceğimiz, istediğimiz uzunlukta sayı aralıkları vardır.

Buna rağmen asalların sonsuz tane olduğunu hatırlayalım. Asallar hem çoklar hem de birbirlerinden istenildiği kadar uzak olabiliyorlar. Ama her sayı ile o sayının iki katı arasında da mutlaka en az bir asal sayı bulunur. Buna göre eğer p asal bir sayıysa bir sonraki asal sayı mutlaka 2p’den küçük olacaktır.

İkiz Asallar

İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. Örneğin: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)…

Peki ikiz asallar sonsuz mudur?

Çok büyük ikiz asallar vardır. Bilinen en büyük ikiz asalların her birinin 388.342 basamağı vardır. Daha büyüğü bilinmiyor, ama yine de ikiz asallardan sonsuz tane olduğu düşünülüyor. İkiz Asal Sanısı sonsuz tane ikiz asal olacağını iddia eder ve bu konu pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir konudur.

Asal Sayılar Teoremi

Asal sayıların hangi kurala göre tam sayıların içine dağıldığını anlamamız henüz mümkün değil. Bize sanki rastgele dağılmışlar gibi görünüyor. Kesin cebirsel ifadelerden umudumuzu kesince analitik yaklaşımlarla asal sayıların davranışlarını tarif edebilir miyiz diye düşünmeye başlıyoruz.

Örneğin 1’den n tam sayısına kadar olan asalları incelersek ortalama olarak her logn sayıdan birinin asal olduğunu gözleriz. Eğer 1’den n tam sayısına kadar kaç tane asal olduğunu π(n) ile gösterirsek

olur diye umut ederiz. Buradaki ~ işareti “aşağı yukarı aynı” anlamındadır.

Çok büyük n sayıları kullanarak iki tarafı da hesaplarsak iki taraf arasındaki farkın n sayısına oranının küçük olduğunu görürüz. Burada dikkat edilecek şey, iki taraf arasındaki farkın n büyüdükçe büyümesi ama bu farkı n’e böldüğümüz zaman çok küçük sayılar elde etmemizdir. Kısacası n sonsuza giderken yukarıdaki ifadede yer alan “aşağı yukarı aynı” iddiası “aynı” iddiasına dönüşür.

Asal Sayılar Arasındaki Boşluklar

Verilen herhangi bir n tam sayısından küçük iki ardışık asal arasındaki ortalama farkın log(n) olduğunu gözledik. Acaba bu ortalama farkın milyonda bir küçüklüğünde farka sahip ardışık asallar bulabilir miyiz?

Herkesin küçük sayı kavramı kendine göre değişeceği için biz bu küçük sayı için c sembolünü kullanalım. Şimdi bir p asal sayısı arıyoruz, öyle ki ona yakın bir q asal sayısı olsun ve p ile q sayılarının farkı c.logp sayısından küçük olsun.

Elbette böyle bir p asalı bulunca yetinmiyoruz, başka var mı diye de bakıyoruz.

Bu problem üzerine üç ülkeden üç matematikçi beraber çalıştı. ABD’den Daniel Goldston, Macaristan’dan Janos Pintz ve Türkiye’den Cem Yalçın Yıldırım.

Bu matematikçiler yukarıdaki sorunun cevabının “evet” olduğunu gösterdikleri çalışma sonunda 2014’de Amerikan Matematik Derneği’nin en saygın ödüllerinden olan Cole Cebir Ödülü’nü kazandılar.

Bu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi?

Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti bilebilir miyiz?

Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi. James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi. Terence Tao başkanlığında bir ekip bu sayıyı 246’ya indirdi.

Her Şey Riemann’la Başladı

Riemann sayılar kuramı üzerine tek bir makale yazdı. O güne kadar reel sayılar kullanılarak hesaplanan Euler’in bir fonksiyonunu karmaşık sayılara genişletti. Şimdi Riemann Zeta fonksiyonu dediğimiz bu fonksiyonun sıfır olduğu noktalar ile asal sayıların dağılımı arasında bağlar buldu.

Zeta fonksiyonunun sıfırlarının belli bir özelliğe sahip olduklarını gözlemlediğini ama bunu kanıtlayamadığını, zaten ilk etapta bu özelliğin kendi sonuçlarını etkilemeyeceğini yazdı. Bugün Riemann’ın “yapamadım” dediği o ispatı yapana Clay Matematik Enstitüsü bir milyon dolar ödül vaat ediyor.

Ödüllü sorulara göz atmak isterseniz: Milenyum Sorular

Her Zaman Para Ödülü Yok

Goldbach, asal sayılar
Goldbach ve kendisinin Euler’e yazdığı mektup

Alman matematikçi Christian Goldbach’ın 1742’de Leonhard Euler ile mektuplaşması sonunda ikisinin de doğru olduğunu düşündüğü ama kanıtlayamadığı bir iddia ortaya çıktı: 2’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.

Bugün Goldbach Sanısı olarak bilinen bu iddiayı kanıtlayan kişi hiçbir para ödülü almayacak ama adı tüm matematik kitaplarında ve sayılardan söz edilen her yerde insanlık var oldukça yer alacak.

Üstüne kendisi bir milyon dolar verse elde edemeyeceği bir “ölümsüzlük”. Ölümsüzlüğü yeterli görmeyip illa para olsun diyenler üzülmesin. Yüz milyon basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye 150.000 dolar, bir milyar basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye de 250.000 dolar ödül var. Ödül için Electronic Frontier Foundationın web sitesine başvuruluyor.

Asal sayılar hakkında anlatılacak hikâyelerin şu ana kadar çok azına değinebildik. Martin Gardner’in dediği gibi, asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.

Kaynaklar: 

Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz  – Bilim – Teknik dergisi Sayı 596 Temmuz 2017

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Matematiksel

Paylaşmak Güzeldir

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

Kapalı