Asal Sayılar Hakkında Pek Çok Şey

Martin Gardner’in dediği gibi, asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.

Sayıların temelinde sayma sa­yıları vardır: ı, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ıo, 11, 12, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır?

Önce işe bir soru ile başlayalım: Bir sayıyı daha küçük parçalarına ayırabilir miyiz? Cevabınız hemen evet olacaktır. Sonuçta istenirse bir çok sayı onu oluşturan bileşenlerine ayrılabilir. Örnek mi istiyorsunuz? Mesela 12=2x2x3 biçiminde yazılabilir. İşte, bu sayılara bileşik sayılar denir.

Bazı sayıları ise ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … Bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızca l’e ve kendisine tam bölünür. Peki l de asal mı diye soruyor olabilirsiniz. Geçmişte pek çok matematikçi 1 ‘i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılımıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “l ‘den büyük” ifadesi eklenmiştir.

Asal sayılar matematiğin atomlarıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. Bu gerçeği matematiksel olarak ifade eden teorem “aritmetiğin temel teoremi” adıyla bilinir. Buna göre l ‘den büyük her tamsayı asal sayıların çarpımı olarak yalnızca tek bir şekilde ifade edilebilir.

Örneğin: 93=3×31 şeklinde yazılır ve 3’le 31’in yer değiştirmesi dışında 93’ün asalların çarpımı şeklinde başka bir yazılımı yoktur.

Eğer 1’i de asal kabul etseydik, o zaman 93=3×31=1x3x31= 12x3x31= 13x3x31= …ˑˑˑ yazabilecektik. Bu da 93’ün birbirinden anlamca farklı olmayan ama şeklen farklı sonsuz şekilde asal çarpanlara ayrıldığını gösterecekti.

İşte bu nedenle 1 sayısının asal olarak kabul edilmemesi gerekliliği matematikçiler tarafından kabul edilmiştir.

Demek ki, her tam sayı ya kendisi asaldır ya da asalların çarpımı şeklinde yazılabilir. Öyleyse tüm asalları bilirsek tüm sayıları bilmiş olacağız!

Kaç Tane Asal Sayı Var?

Sonsuz tane asal sayı olması gerektiğini bilebiliriz. Ancak bu asalları bulabilir miyiz?

Asal sayılan belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiç­bir kalıba uymazlar. Asal sayıları bulmaya yarayan en eski yöntemlerden birini, keşfeden Eratosten’in süzgeç yöntemi de konuyu kavramamız açısından işe yarasa da sayılar büyüdükçe çok da işimize yaramaz. Ancak yine da asal sayıları sırasıyla bulmak için bu yöntemi kullanabiliriz. Peki verilen bir sayının asal olup olmadığını nasıl anlayabiliriz?

Örneğin 19.071 asal mıdır? Ya da 19.073? 2 ve 5’in katları dışındaki sayıların sonu 1, 3, 5, 7 veya 9’la biter ama bu illa asal olacakları anlamına gelmez. Büyük bir sayının asal olup olma­dığını anlamak için kendinden küçük asallara bölünüp bölünmediğini kontrol etmemiz gerekir. Bu arada merak ettiyseniz, 19.071=31 x 13 x 163 asal değildir ama 19.073 asaldır.

Bir başka zorlu soru ise asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Aşa­ğıda 1 ile 1000 arasındaki asal sayıların dağılımı görülüyor:

Aralık 1-100 101-200 201-300 301-400 401-500 501-600 601-700 701-800 801-900 901-1000 1-1000
Asal sayı adedi 25 21 16 16 17 14 16 14 15 14 168

Cari Friedrich Gauss 1792’de, henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısın­dan küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir.

n=1000 için formülün verdiği tahmin 172’dir.

Asal sayılar her zaman böyle sürprizler barındırır. Dahası, bazı sayı aralıklarında tahminle gerçek arasındaki fark bazen az, bazense çok olacak şe­kilde dalgalanır.

Kaç tane? Asal sayılar sonsuzdur.

Bunu ilk fark eden kişi Öklid olmuştur. Öklid’e göre eğer sonlu sayıda asal sayı içeren bir liste alırsak mutlaka bu listede olmayan başka bir asal sayının var olduğunu gösterebiliriz. Kısaca açıklamak gerekirse:

İlk önce en az bir asal sayı içeren sonlu bir asal sayı listemiz olduğunu düşünelim. Bu listedeki tüm asalları çarpalım ve çıkan sayıya 1 ekleyelim. Bu bulduğumuz sayı listemizdeki asalların hepsinden büyük olduğu için kendisi bu listede değil. Öte yandan elde ettiğimiz bu sayı listemizdeki asalların her birine bölündüğünde daima 1 kalanını verecek. Demek ki bu sayı ya kendisi asaldır ya da listemizde olmayan bir başka asal sayıya bölünür.

İnternet alışveriş siteleri ve elektronik bankacılık sistemleri, verilen bir sayının çarpanlarının kolay kolay bulunamayacağı gerçeğini güvenlik için kullanır. Örneğin verilen sayı 150 ise hemen çarpanlarını bulabilirsiniz. Ama eğer verilen sayı 150 basamaklıysa en hızlı bilgisayarlarla bile  o sayının çarpanlarını bulamazsınız. Asal sayıların şifreleme tekniklerinde kullanılmasının sebebi işte budur.

Komşu Asallar

Birbirini takip eden asallar arasında en az ve en çok ne kadar aralık olur sorusu asallarla ilgilenmeye başlayınca ilk akla gelen sorulardan biridir. İlk önce iki ardışık asalın birbirinden ne kadar uzak olabileceği sorusuyla ilgilenelim:

Bir sayı tutun. Aralarındaki fark tuttuğunuz o sayıdan daha fazla olan iki ardışık asal mutlaka vardır.

Örneğin 5 sayısını tutmuş olun. Ardışık beş tane bileşik sayı yazacağız. 722, 723, 724, 725, 726 Bu sayılar sırasıyla 2, 3, 4, 5 ve 6 ile bölünür. Bu sayılar, 719 ile 727 asalları arasındadır ve aralarındaki fark beşten büyüktür.

722 sayısını bulmak için önce 1x2x3x4x5x6=720 sayısını bulalım ve devamını söyle yazalım: 1x2x3x4x5x6+2, 1x2x3x4x5x6+3, 1x2x3x4x5x6+4, 1x2x3x4x5x6+5, 1x2x3x4x5x6+6

Sadece gözümüzle takip ederek ilk sayıyı oluşturan iki parçanın da 2’ye bölündüğünü, ikinci sayıyı oluşturan iki parçanın da 3’e bölündüğünü (ve bu böyle devam eder) görürüz. 1x2x3x4x5x6 sayısını kısaca 6! olarak yazarız.

Şimdi 5 yerine çok daha büyük bir sayı tutalım ve bu sayıya N diyelim.

Bu durumda (N+1)!+2, (N+!)!+3, …, (N+1)!+(N+1) sayılarının sırasıyla 2, 3, … , N+1 ile bölündüğünü, dolayısıyla hiç birinin asal olmadığını hiç işlem yapmadan görürüz.

(N+1)!+2 sayısından önce gelen ilk asal sayıya p, (N+1)!+(N+1) sayısından sonra gelen ilk asal sayıya q dersek q-p>N bulduk.

Demek ki hiçbir asala rastlamadan ilerleyeceğimiz, istediğimiz uzunlukta sayı aralıkları vardır.

Buna rağmen asalların sonsuz tane olduğunu hatırlayalım. Asallar hem çoklar hem de birbirlerinden istenildiği kadar uzak olabiliyorlar. Ama her sayı ile o sayının iki katı arasında da mutlaka en az bir asal sayı bulunur. Buna göre eğer p asal bir sayıysa bir sonraki asal sayı mutlaka 2p’den küçük olacaktır.

İkiz Asallar

İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. Örneğin: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)…

Peki ikiz asallar sonsuz mudur?

Çok büyük ikiz asallar vardır. Bilinen en büyük ikiz asalların her birinin 388.342 basamağı vardır. Daha büyüğü bilinmiyor, ama yine de ikiz asallardan sonsuz tane olduğu düşünülüyor. İkiz Asal Sanısı sonsuz tane ikiz asal olacağını iddia eder ve bu konu pek çok araştırmacının üzerinde çalıştığı bir konudur.

Asal Sayılar Teoremi

Asal sayıların hangi kurala göre tam sayıların içine dağıldığını anlamamız henüz mümkün değil. Bize sanki rastgele dağılmışlar gibi görünüyor. Kesin cebirsel ifadelerden umudumuzu kesince analitik yaklaşımlarla asal sayıların davranışlarını tarif edebilir miyiz diye düşünmeye başlıyoruz.

Örneğin 1’den n tam sayısına kadar olan asalları incelersek ortalama olarak her logn sayıdan birinin asal olduğunu gözleriz. Eğer 1’den n tam sayısına kadar kaç tane asal olduğunu π(n) ile gösterirsek

olur diye umut ederiz. Buradaki ~ işareti “aşağı yukarı aynı” anlamındadır.

Çok büyük n sayıları kullanarak iki tarafı da hesaplarsak iki taraf arasındaki farkın n sayısına oranının küçük olduğunu görürüz. Burada dikkat edilecek şey, iki taraf arasındaki farkın n büyüdükçe büyümesi ama bu farkı n’e böldüğümüz zaman çok küçük sayılar elde etmemizdir. Kısacası n sonsuza giderken yukarıdaki ifadede yer alan “aşağı yukarı aynı” iddiası “aynı” iddiasına dönüşür.

Asallar Arasındaki Boşluklar

Verilen herhangi bir n tam sayısından küçük iki ardışık asal arasındaki ortalama farkın log(n) olduğunu gözledik. Acaba bu ortalama farkın milyonda bir küçüklüğünde farka sahip ardışık asallar bulabilir miyiz?

Herkesin küçük sayı kavramı kendine göre değişeceği için biz bu küçük sayı için c sembolünü kullanalım. Şimdi bir p asal sayısı arıyoruz, öyle ki ona yakın bir q asal sayısı olsun ve p ile q sayılarının farkı c.logp sayısından küçük olsun.

Elbette böyle bir p asalı bulunca yetinmiyoruz, başka var mı diye de bakıyoruz. Hatta sonsuz tane bunlardan bulabilir miyiz diye soruyoruz.

Bu problem üzerine üç ülkeden üç matematikçi beraber çalıştı. ABD’den Daniel Goldston, Macaristan’dan Janos Pintz ve Türkiye’den Cem Yalçın Yıldırım. Bu matematikçiler yukardaki sorunun cevabının “evet” olduğunu gösterdikleri çalışma sonunda 2014’de Amerikan Matematik Derneği’nin en saygın ödüllerinden olan Cole Cebir Ödülü’nü kazandılar.

Yalçınların bulduğu sonuçtan sonra İkiz Asallar Sanısı için umutlar arttı. Aralarındaki fark 2 olan sonsuz tane asal sayı çifti bulunabilir mi?

Hatta biraz alçak gönüllülük yapıp bu 2 sayısından da vazgeçtik. Örneğin aralarındaki fark 10’dan fazla olmayan sonsuz tane p ve q asal sayı çifti olduğunu bilebilsek, bu bile heyecandan günlerce uyuyamamamıza neden olabilirdi. Yitang Zhang aralarındaki fark yetmiş milyondan fazla olmayan sonsuz tane asal sayı çifti bulunacağını gösterdi.

Bazılarımıza yetmiş milyon çok gelmişti.  James Maynard, Zhang’ın yetmiş milyon olarak bulduğu sınırlamayı birdenbire 600’e indirdi.

Dünyanın değişik yerlerindeki matematikçilerin internet aracılığıyla bir proje üzerinde ortak çalışma yapmasına olanak sağlayan Polymath projelerinin sekizincisi Terence Tao başkanlığında bu sınır problemi üzerine kuruldu ve bu sayı 246’ya indi. Sayının en son 2’ye indirilmesini bekliyoruz, ama 246 da şimdilik geceleri huzur içinde uyumamıza yetiyor.

Aslında Her Şey Riemann’la Başladı

Asal sayılardan söz ederken Riemann’dan söz etmemek mümkün değil. Hayatında sayılar kuramı üzerine tek bir makale yazdı. O güne kadar reel sayılar kullanılarak hesaplanan Euler’in bir fonksiyonunu karmaşık sayılara genişletti. Şimdi Riemann Zeta fonksiyonu dediğimiz bu  fonksiyonun sıfır olduğu noktalar ile asal sayıların dağılımı arasında bağlar buldu. Zeta fonksiyonunun sıfırlarının belli bir özelliğe sahip olduklarını gözlemlediğini ama bunu kanıtlayamadığını, zaten ilk etapta bu özelliğin kendi sonuçlarını etkilemeyeceğini yazdı. Bugün Riemann’ın “yapamadım” dediği o ispatı yapana Clay Matematik Enstitüsü bir milyon dolar ödül vaat ediyor.

Her Zaman Para Ödülü Yok

Goldbach ve kendisinin Euler’e yazdığı mektup

Alman matematikçi Christian Goldbach’ın 1742’de Leonhard Euler ile mektuplaşması sonunda ikisinin de doğru olduğunu düşündüğü ama kanıtlayamadığı bir iddia ortaya çıktı: 2’den büyük her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir.

Bugün Goldbach Sanısı olarak bilinen bu iddiayı kanıtlayan kişi hiçbir para ödülü almayacak ama adı tüm matematik kitaplarında ve sayılardan söz edilen her yerde insanlık var oldukça yer alacak. Üstüne kendisi bir milyon dolar verse elde edemeyeceği bir “ölümsüzlük”. Ölümsüzlüğü yeterli görmeyip illa para olsun diyenler üzülmesin. Yüz milyon basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye 150.000 dolar, bir milyar basamaklı bir asal sayı bulan ilk kişiye de 250.000 dolar ödül var. Ödül için Electronic Frontier Foundation’ın web sitesine başvuruluyor.

Asal sayılar hakkında anlatılacak hikâyelerin şu ana kadar çok azına değinebildik. Martin Gardner’in dediği gibi, asal sayılar konusu matematiğin hiçbir dalında olmadığı kadar gizem, zarafet ve heyecan barındırır.

Kaynaklar: 

Prof. Dr. Ali Sinan Sertöz  – Bilim – Teknik dergisi Sayı 596 Temmuz 2017

Tony Crilly – Gerçekten Bilmeniz Gereken 50 Matematik Fikri

Matematiksel

Paylaşmak İsterseniz

Yazıyı Hazırlayan: Matematiksel

Bu yazı gönüllü yazarlarımız tarafından hazırlanmış veya sitemiz editörleri tarafından belirtilen kaynaktan aslına uygun kalınarak eklenmiştir.

Bunlara da Göz Atın

Matematik Henüz Sormadığımız Sorulara Nasıl Cevap Verebilir?

Matematik, evrene ilişkin sorularımıza doğru cevaplar sağlayan bir enstrüman olarak görülebilir. Örneğin, 2 elmamız olduğunu …

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

This site uses Akismet to reduce spam. Learn how your comment data is processed.

ga('send', 'pageview');