Asal Çarpanlar ve Şifreleme

İnsan asal sayıları tanımladığı zamandan itibaren, sürekli asal sayıların ardından koşar oldu. Verilen bir sayı asal mıdır, değil midir? Sayının asal çarpanları nelerdir? Bu sorulara cevap arayışı çoğu zaman bir çok kişiye anlamsız gibi gözükse de, soruların cevapları bulunduğu zaman güvenliğimiz tehlikeye dü­şebilir. Çünkü asallar 1977’den beri şifrelemenin bel kemiği, şifrelemeyse banka hesaplarımızdan tu­tun da ulusal güvenliğimize kadar gizli­lik içeren her türlü konunun güvenliği­nin temeli.

Bilinen ilk şifreleme ör­neğine M.Ö. 1900’lerde Mısırlıların hiye­roglif yazısında rastlanır. O zamandan günümüze değişen çok şey oldu elbette. Bunlardan biri de iletişim sistemleri. Bu­gün düz metinlerimizi ulakla göndermek yerine elektronlarla gönderiyoruz, ancak yolladığımız metin ne olursa olsun hala güvenli bir biçimde ulaşmasını istiyoruz. İşte bu aşamada  kullandığımız aletin yani bilgisayarın doğasına dönüp onun yapısına uygun bir koruma sistemi geliştirmek gere­kir.

Diyelim ki karşı tarafa bir mesaj yol­layacaksınız. Ama kimsenin eline geçme­mesi gerekiyor. Bir yolu şu olabilir. Karşı tarafla mesajlaşmaya başlamadan önce bir toplantı yaparsınız ve kullanacağınız şifreye karar verirsiniz. Böyle iki tarafın da şifreyi bilmesi simetrik şifreleme ör­neğidir.

Fa­kat şifreniz bir şekilde yanlış kişilerin eline geçerse her şey biter! Kaldı ki her zaman şifre konusunda ortak bir karara varmak için toplantı yapmak mümkün olmayabilir. Üstelik konu iki kişi değil de daha çok insan arasında iletişim olunca şifreyi bilen bir o kadar da insan olması gerekir ki durum gittikçe tehlike­li olmaya başlar.

1960’ların sonlarına kadar simetrik şifrelerle idare edilmeye çalışılmış olsa da daha güvenli bir şifreleme sistemine şiddetli bir şekilde ihtiyaç duyulduğu aşikardı.

1970’de İngiliz matematikçi James Ellis yeni bir şifreleme sistemi üzerinde çalışmaya başladı. Basit fikri, bir anahtarı; şifreleme anahtarı ve şifre çözme anahtarı biçiminde ikiye bölmeye dayanıyordu. Her ne kadar kendisi matematiksel bir çözüme ulaşamasa da bu fikir kendinden sonra gelenlere yol gösterdi.

Devamında sahneye İngiliz matematikçi Clifford Cox çıktı. Cox asal çarpanları kullanarak şifreleme fikrini ortaya attı. Çalışmasının temelin­de Euler’in henüz bilgisayarın olmadığı yıllarda ürettiği bir teorem vardı.

p asal ve n sıfırdan farklı olmak üzere np-1=1(mod p)

1977’de üç bilim insanı başkalarının kolay ko­lay çarpanlarına ayıramayacağı sayıyı ilan edip çarpanları yalnızca mesajı ala­cak kişinin bildiğini temel alan güvenli bir algoritma yazmayı başardılar. Böyle­ce “Öyle bir şifre olsun ki onu çözecek anahtar sadece benim elimde olsun” hayali gerçek olmuştu çünkü artık sade­ce sayının asal çarpanlarını bilen kişi metni okumaya hak kazanıyordu. RSA şifrelemesi, Ron Rivest, Adi Shamir ve Leonard Adleman tarafından bulunan ve kendi isimlerinin baş harflerini kullanan açık anahtarlı bir şifreleme yönetimidir.

Her ne kadar bu algoritma çok büyük sayılar sayesinde güvenliğimizi sağlıyor olsa da, biz anlaşılmasını kolaylaştırmak açısından iki küçük asal sayı seçerek işe başlayalım. Seçtiğimiz 2 asal da p=2 ve q=5 olsun ki çarpımları pq=10. Algoritma kurallarımız şöyle di­yor:

Önce A=(p-1)(q-1) çarpanını hesapla­yın:

A =(2-1)(5-1)=4

A ile ortak böleni olmayan ve 10’dan küçük bir sayı seçin: Örneğin e=7

Sonra e x d = 1(mod A) denkliğini sağlayan d sayısını bulun:

7 x 3=1(mod4)] olduğuna göre o zaman d=3

Metni bize gönderecek kişiye ve her­kese ilan ettiğimiz bilgi iki asalın çarpımı(10) ve aklımızdan seçtiğimiz e(7) sa­yısı. İstediğimiz şifre ise metnin karşılık geldiği sayının e dereceden kuvvetinin mod pq sayısında eşiti…

Şimdi bir deneme yapalım: Yollamak istediğimiz şifre DERS olsun, kolaylık olması açısından her harfi bir rakam ile eşleştirelim. D=1 E=2 R=3 S=4

DERS=1234 oldu e=7 ve p.q yani modumuz ise 10

17= 1(mod10)

27= 8(mod10)

37= 7(mod10)

47= 4(mod10)

O zaman bizim yollamamız gereken şifre 1874, bunu kodlarımızı kullanarak DERS şeklinde çevirmekle deşifreyi ta­mamlamış oluruz.

Başlangıçta seçtiğiniz sayının bir değil de 100 basamaklı olduğunu düşünürseniz, bu iki sayının çarpımının çarpanlarının bulunması aylar ya da yıllar alacaktır. Kullanılan algoritma ve harcanan para bu süreyi biraz değiştirse de sonuç yine de istendiği kadar hızlı olmayacaktır.

RSA dünyada en yaygın kullanılan açık anahtarlı algoritmadır. Aynı zamanda tarihte en çok kopyalanan yazılımdır. Dünyadaki her internet kullanıcısı bilerek ya da bilmeyerek RSA ya da bir çeşidini kullanıyor. Bu sistemin başarısı da asal çarpanlarına ayırmanın zorluğundan kaynaklanıyor.

Matematiksel

Yazıyı Hazırlayan: Sibel Çağlar

Kadıköy Anadolu Lisesi, Marmara Üniversitesi, ardından uzun süre özel sektörde matematik öğretmenliği, eğitim koordinatörlüğü diye uzar gider özgeçmişim… Önemli olan katedilen değil, biriktirdiklerimiz ve aktarabildiklerimizdir bizden sonra gelenlere... Eğitim sisteminin içinde bulunduğu çıkmazı yıllarca iliklerimde hissettikten sonra, peki ama ne yapabilirim düşüncesiyle bu web sitesini kurmaya karar verdim. Amacım bilime ilgiyi arttırmak, bilimin özellikle matematiğin zihin açıcı yönünü açığa koymaktı. Yolumuz daha uzun ve zorlu ancak en azından deniyoruz.

Bunlara da Göz Atın

Güvercin Yuvası Prensibi

Güvercin yuvası ilkesi, matematikte teorem ispatlarında sıkça kullanılmasının yanı sıra günlük hayatımızda bizi bir çok ilginç olgularla …

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Gerekli alanlar * ile işaretlenmişlerdir

ga('send', 'pageview');