Temel Matematiksel Kavramlar

Aritmetikte İşlem Önceliği Nasıl Belirlenmiştir?

İlköğretimin ilk yıllarında öğrenciler doğal sayılar konusu ile karşılaştıktan sonra devamında işlem önceliği sırasını öğrenirler daha doğrusu ezberlerler. Bu gereksiz kuralları ezberletmek yerine öğrenciye matematiğin temeli olan fonksiyon kavramı gerekli şekilde öğretilirse, öğrenci zaten aritmetik işlemlerdeki öncelik sırasını sezgisel olarak öğrenecektir. Bu sebepten dolayı aritmetik işlemlerde öncelik sırasını anlayabilmek için öncelikle Peano aksiyomları kavranmalıdır.

Okullarda öğretilen geleneksel işlem önceliği sırası

Peano Aksiyomları İle İşlem Önceliklerinin Belirlenmesi

Amacımız, doğal sayılar kümesi 𝑁 = {1,2, … } nin kuruluşu olsun. Aşağıda, Peano Aksiyomları olarak sunacağımız aksiyomlar, sunuldukları biçimiyle ilk kez R. Dedekind tarafından ifade edilmişlerdir.

Tanım 1.2 Peano belitlerinden yaralanarak, doğal sayıları göstermek için kullana geldiğimiz 2,3,4 … .. sembolleri 2 = 1′,3 = 2′,4 = 3′,… ve benzer biçimde yazılır. Devamında doğal sayılar üzerinde toplama ve çarpma işlemlerini tanımlayabilmemiz için bazı lemma, önerme ve teoremleri vermek ve ispatlamak gerekir. Yazının bütünlüğünü ve anlaşılırlığını bozmamak adına bunları buraya eklemiyoruz. Ancak konunun detaylarını incelemek isteyenler kaynaklara göz atabilirler.

Peano aksiyomlarının neticesinde anlarız ki toplama ve çarpma işlemleri aslında bir fonksiyondur. Aynı zamanda çarpma işlemi de toplamanın bir fonksiyonudur. İşlem sırasının belirlenmesinde de bu fonksiyon kavramı kullanılır.
İşlem sırasındaki öncelik ilk olarak; kuvvet alma daha sonra çarpma ve bölme ve son olarak toplama ve çıkarma olmasının sebebi; kuvvet alma işleminin çarpmanın bir fonksiyonu, çarpmanın da toplamanın bir fonksiyonu olmasıdır. Konuyu kavramak için örnek üzerinde inceleyelim. 4 + 3.5 =?

Burada çarpma işlemi toplamanın bir fonksiyonu olduğundan öncelikle çarpma işlemini yapmamız gereklidir. Buradaki çarpma işlemi de; Peano Aksiyomlarını kullanılarak şu şekilde çözümleriz.

3.5 = 2′. 5 = 2.5 + 5 = 1′. 5 + 5 = 1.5 + 5 + 5 =5+5+5 = 15 buradan da 4 + 3.5 = 4 + 15 = 19 bulunur. İşleri biraz daha karıştırmak ve işin içine bölme ve çıkartma işlemi eklemek isteyebilirsiniz. Ancak hatırlatalım. Bir sayıyı (sıfır olmayan) bir c sayısına bölme”, “1/c ile çarpma” ile aynı şeydir. Ayrıca, “eksi 𝑐”, “artı (−𝑐)” ile aynıdır. Yani aslında bölme işlemi çarpma işlemi ile aynı şeydir ve doğal olarak aynı özelliklere sahiptir.

İşlem Önceliği İle İlgili En Çok Yapılan Hata!

Sosyal Medyayı İkiye Ayıran Matematik Sorusu
Bu soruyu geçtiğimiz yıllarda oldukça çok tartışmıştık.

İnternette yaygın dolaşan gönderilerden bazıları işlem sırası ile ilgilidir. İşin ilginç tarafı bu tip sorular son derece temel bilgiler içerse de verilen cevaplar birbirinden çoğu zaman farklı olur. Şimdi 9 ÷ 3.2 =? örneğini ele alalım. Bilindik söylem bu işlemin soldan sağa doğru yapılması yani önce bölme sonra da çarpma işleminin yapılmasıdır. Ancak bölme işleminin aslında çarpma olduğunu anımsayalım. Yani 3 ile bölmek ile 1/3 ile çarpmak aynı şeydir. O zaman sorumuz aslında 9.1/3.2 biçimindedir. Buradan da elde edeceğimiz cevap 6 olacaktır.

Şimdi kuvvet alma işlemini çarpmadan önce yapılacağını gösterelim. Bildiğimiz gibi 25 = 2.2.2.2.2 = 32 anlamına gelir.
Bu da gösteriyor ki kuvvet işlemi çarpmanın bir fonksiyonudur. Bu durumda da kuvvet alma işleminin çarpmadan önce yapılması gerekir. Sonuç olarak, kuvvet alma işlemi ardışık çarpanlara, çarpma işlemi de ardışık toplamalara indirgeyip, toplama şeklinde bir aritmetik işlem oluşur ve ezberlediğimiz işlem önceliği sırası ortaya çıkar.

Matematik İşlemsel ve Kavramsal Öğrenme Bütünüdür

Matematik eğitiminde yapılan çalışmalar matematikte işlemsel ve kavramsal öğrenme olarak farklı iki öğrenme tipinin olduğunu belirtmektedir. İşlemsel bilgi sembolleri tanıma, işlemleri yürütme gibi becerilerin oluşturduğu kavrama dayanmayan tamamen mekanik bir bilgidir. Diğeri ise; matematiksel kavramları sembolleştirebilme, onları ilişkilendirebilme ve onlarla işlem yapabilme becerilerinin oluşturduğu kavrama dayalı bir bilgidir. Bu iki kavram net çizgilerle birbirinden ayrılmaz. Matematik kavramları soyut yapıları sebebiyle yanlış anlaşılması olası kavramlardır. Öğrenci, bu kavramları öğrenirken, neyi neden yapacağını bilmez ise ortaya kavram yanılgıları çıkar.

Öğrenciye işlem sırası hiçbir gerekçe gösterilmeden ve açıklama yapılmadan verilirse öğrenci sadece ezber yapan ve uygulayan öğrenci rolünü, öğretmen de kural ve yöntemleri bilen ve öğrenciye sunan bir otorite rolünü oynamış olur.
Daha ilköğretimin başlangıç yıllarında doğal sayılar kümesinde dört işlem konusunu öğrenen öğrenciler gördüğünüz gibi farkında olmadan fonksiyon kavramıyla ilgili uygulamalar yaparlar. 2+3=5 işlemindeki toplam operatörü (+), N’den iki elemanı almakta, bu elemanları işleme tabi tuttuktan sonra 5 gibi yeni bir elemana dönüştürmektedir. Bu da onun bir fonksiyon olduğu anlamına gelir. Bu nedenle öğretmenler temel sınıflarda detaya girmeden bunu belirtirlerse ve lise düzeyinde de gerekli ispatlarını yaparlarsa bütüncül öğrenme gerçekleşecektir.

Sonuç olarak, matematik eğitiminde bazı kavramları ezberletmek yerine matematiğin özüne ve bilgiye nasıl ulaşacağını öğretmek amaç olmalıdır. Yazının içeriğine eklenmeyen ispatları incelemek isterseniz: Şükrü İlgün, Süheyla Elmas, Soner Küçük; Aritmetik İşlemlerinde Öncelik Sırası; https://dergipark.org.tr

Matematiksel

Sibel Çağlar

Yola Kadıköy Anadolu Lisesi ile başladım. Ardından gelen tesadüfler, zamanında pek de sevmediğim, matematik ile yolumu kesiştirdi. Sonucunda Marmara Üniversitesinde İng. Matematik öğretmenliğinden mezun oldum. Zaman akıp gitti; bu süreçte ben de çeşitli özel eğitim kurumlarında matematik öğretmenliği ve eğitim koordinatörlüğü yaptım. Bu esnada da bol bol matematik ile ilgili serzenişlere şahit oldum. Ne yapmalı diye düşünürken, aklıma bu site fikri geldi. 2015 yılında matematiksel.org web sitesini kurdum. Amacım bilime ve özelinde matematiğe ilgiliyi arttırmaktı. Matematiğin hayattan kopuk olmadığını kanıtlamaktı. Devamında ekip arkadaşlarının da dahil olması ile kocaman bir aile olduk. Yolumuz uzun ama kesinlikle çok keyifli.

Bir cevap yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak.

Başa dön tuşu